2.2.2 圆周角（2）

教学目标

1．进一步巩固圆周角的概念、圆周角定理 ，并能运用定理解决有关问题；

2．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

3．经历圆周角性质推导 的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。

教学重难点

重点：掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系，灵活运用同弧所对的圆周角和圆心角的关系解决问题。

难点：用联系的观点看问题中的条件，注重隐藏条件的发现。

教学设计

一．预习导学

自主学习课本53--55页，了解下列问题：

1.圆周角定理的内容是什么？

2.何谓圆的内接四边形？

二．探究展示

（一）合作探究

在右图中，AB 是⊙O的直径，那么∠C1， ∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？

1. 猜测一下这三个角的度数

2. 动手量一量

3. 你能说出理由吗？[来源

因为A，O，B 在一 条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，

即∠AOB=180°. 故∠C₁=∠C₂ =∠C₃= ×180°= 90°

在上图中， 若已知∠C₁ = 90°，它所对的弦AB是直径吗？

由此得到结论：

直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。

在下图的四边形ABCD 中 ， 两组对角 ∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？

分析如右图所示， 连接OB，OD

∵ ∠A所对的弧为弧BCD

， ∠C所对的弧为弧BAD

又弧BCD与弧BAD所 对的圆心角之和是周角，

∴ ∠A+∠C==180°

由四边形内角和定理可知， ∠ABC +∠ADC = 180°。

由此得到结论：

圆内接四边形的对角互补

（二）展示提升

1．如 图所示，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°，点D在⊙O上 .求∠ADB的度数。

分析： ∠ADB与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，根据前面所学的知识，∠ADB=∠ACB。在∆ABC中，已知ABC=60°，这样只要能求出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可求得∠ADB的度数。

解：∵ BC为直径， ∴ ∠BAC =90°

又 ∠ABC= 60° ∴ ∠C= 30°

又∵ ∠ADB与∠C都是弧AB所对的圆周角，

∴ ∠ADB = ∠C= 30°

设计意图：这是“直径所对的圆周角是直角”这个定理的简单运用。帮助学生理解记忆直径所对的圆周角是直角”这个定理，同时复习巩固“在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等”这个定理。

2．如图， 四边形ABCD为⊙ O的内接四边形， 已知∠BOD 为100°， 求∠BAD 及∠BCD 的度数。

分析：已知∠BOD 为100°，由圆周角定理可以求得∠BAD 的度数。

再根据“圆内接四边形的对角互补”就能求得∠BCD 的度数了。

解：∵圆心角∠BOD 与圆周角∠BAD 所对的弧为弧BD，∠BOD = 100°

∴ ∠BAD =∠BOD =×100 ⁰= 50°

∵ ∠BCD +∠BAD = 180°

∴ ∠BCD = 180°-∠BAD= 180°-50° = 130°[来源:Zxxk.Com]

设计意图：这道题是为了帮助学生在运用中理解记忆“圆内接四边形的对角互补“这个定理。

三．知识梳理

1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

2.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。[

3.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

4.圆内接四边形的对角互补。

四．当堂检测

1 . 如图， 在⊙O 中，AB是直径， C，D是圆上两点 ， 且AC =AD。

求证：BC=BD。

2. 怎样运用三角板， 画出如图所示的圆形件表面上的直径， 并标出圆心， 试说明理由。

3. 如图，圆内接四边形ABCD 的外角∠DCE = 85°， 求∠A 的度数。

五．教学反思

　　　这节课重点讨论圆周角定理的两个推论。这两个推论，为在圆中确定直角，构成垂直关系， 创造了条件。在今后的证明和计 算中经用到，是圆的很重要的性质，需要学生理解和掌握。