二次函数的图象与性质
一、填空题:
1.抛物线y=－3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.
2.抛物线y=4x2－1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____.
3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.
4.抛物线y=4x2－3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.
5.抛物线y=ax2－1的图象经过(4,－5),则a=_________.
二、解答题:
6.求符合下列条件的抛物线y=ax2－1的函数关系式:
(1)通过点(－3,2);
(2)与y=
x2的开口大小相同,方向相反;
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.
7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求y与x的函数关系式.
8.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2－1,求m,n 的值.
9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4
米,水位上升3米达到警戒线MN位置时
,水面宽4
米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y与x间的函数关系.
11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C落在边MN上,A,D落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系)
12.图(1)是棱长为a的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第n层,第n层的小正方体的个数记为s,解答下列问题:
(1)按要求填表:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
s |
1 |
3 |
|
|
… |
(2)写出n=10时,s=________.
(3)根据上表中的数据,把s作为点的纵坐标,n作为点的横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上,
求s与n间的关系.
13.如图,AB是高为1.46米的窗户(窗户朝南),该窗户的遮阳篷呈抛物线形, 在图中坐标系内的表达式为y=－x2+0.25. 已知该地一年中冬至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最小为α,夏至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最大为β,且β=73°30′. 若该遮阳篷使冬至日正午时刻太阳光线刚好全部射入室内, 夏至日正午时刻太阳光刚好全部不射入室内.求α的度数及遮阳篷顶部到窗户上沿的距离.
参考答案
1.下
y轴
(0,5)
高
大 5
2.(0,－1)
和
3.y=x2+3
4.下,3
5.
6.(1)2=a×(－3)2－1,9a=3,a=
,
故y=
x2－1;
(2)由已知得a=
,故y=
x2－1;
(3)当x=0时,y=－1;当x=2时,y=a×22－1.
故a×22－1=－5,a=－1,即y=－x2－1.
7.y=60(1－x)
8.将y=mx2+n向下平移2个单位,
得到y=mx2+n－2,
故由已知可得m=3,n－2=－1,
从而m=3,n=1.
9.以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,
设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.
则B点坐标为(2
,0),N点坐标为(2
,3),
故0=24a+c,3=12a+c,解得a=－
,c=6,
即y=
－
x2+6.
其顶点为(0,6),
(6－3)÷0.25=12小时.
10.由已知可得△BCD∽△BAC,
故
,
即BC2=AB·BD,由BC=x,AB=1,BD=1－y
得1－y= x2,
y=－x2+1.
11.以MN为x轴、对称轴为y轴,建立直角坐标系,
则N点坐标为(2,0), 顶点坐标为(0,4).
设y=ax2+c,则c=4,0=4a+4,a=－1,
故y=－x2+4.
设B点坐标为(x,0),c点坐标为( －x,0),
则A点坐标为(x,－x2+4),D点坐标为(－x,－x2+4).
故BC=AD=2x,AB=CD=－x2+4.
周长为4x+2(－x2+4).
从而有－2x2+8+4x=8,－x2+2x=0,
得x1=0,x2=2.
当x=0时,BC=0;
当x=2时,AB=－x2+4=0.
故铁皮的周长不可能等于8分米.
12.(1)6
10 (2)55 (3)略
(4)S=
n2+
n.
13. 由y=0,得－x2+0.25=0,
得x=0.5(舍负),
故OD=0.5(米).
在Rt△AOD中,AO=OD· tan∠ADO
=0.5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69.
又AB=1.46,
故OB≈0.23米.
在Rt△BOD中,
tan∠BDO=
=0.46,
故∠BDO≈24°42′.即α=24°42′.
令x=0,得y=0.25,
故OC= 0.25,
从而BC=0.25+0.23=0.48米.