【332237】1.2 30°,45°,60°角的三角函数值(2)
30°,45°,60°角的三角函数值
一、填空(每小题3分,共24分)
1.如图1,在平面直角坐标系中,P是∠α的边OA上一点,且P点坐标为(4,3)则sinα=______,cosα=______.
2.已知α是锐角,且2cosα=1,则α=______;若tan(α+15°)=1,则tanα=______.
3.如图2,B、C是河岸边两点,A是对岸岸边一点,测得∠ABC=45°,∠ACB=45°,BC=60 m,则点A到对岸BC的距离是_____m.
图1 图2 图3
4.要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上,猜想一下梯子摆放坡度最小为______.
5.已知tanα·tan30°=1,且α为锐角,则α=______.
6.设β为锐角,且x2+2x+sinβ=0的两根之差为
,则β=______.
7.在△ABC中,∠C=90°.若3AC=
BC,则∠A的度数是______,cosB的值是______.
8.如图3,某建筑物BC直立于水平地面,AC=9米,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20
cm,则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20
cm时,按一阶算,
取1.732)
二、相信你的选择(每小题3分,共24分)
9.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,则4cosB等于( )
A.1 B.2 C.
D.
10.△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=
,cosB=
,则△ABC的形状是(
)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
11.令a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是( )
A.c<b<a B.b<c<a
C.b<a<c D.a<c<b
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,下列式子中不一定成立的是( )
A.tanA=
B.sin2A+sin2B=1
C.sin2A+cos2A=1 D.sinA=sinB
13.在△ABC中,若|sinA-
|+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是(
)
A.45° B.60° C.75° D.105°
已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC+AC=3+
,则BC等于( )
A.
B.3
C.2
D.
+1
15.若等腰三角形腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
16.某人沿着坡度为1∶
的山坡前进了1000
m,则这个人所在的位置升高了(
)
A.1000 m B.500 m
C.500
m D.
m
三、考查你的基本功(共24分)
17.(16分)计算或化简:
(1)sin45°·cos60°-cos45°·sin30°;
(2)5tan30°-2(cos60°-sin60°).
(3)(
tan30°)2005·(2
sin45°)2004;
(4)
(2cos45°-tan45°)-(tan60°+sin30°)0-(2sin45°-1)-1.
18.(8分)已知△ABC中,∠C=90°,AC=m,∠BAC=α(如图),求△ABC的面积.(用α的三角函数及m表示)
19.(9分)“郑集中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到∠A=30°,AC= 40 m,BC=25 m,请求出这块花圃的面积.
20.(9分)如图,某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后便接到气象部门通知,一台风中心正由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B处的货船是否会受到台风的侵袭?说明理由.
21.(10分)(1)如图6中①、②,锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值及余弦值的变化规律.
图6
(2)根据你探索到的规律,试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
参考答案
一、1.
2.60°
3.30 4.
5.60°6.30° 7.60°
8.26
二、9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.B 15.B 16.B
三、17.(1)0;(2)
;(3)
;(4)-2
.
18.解:∵tanα=
,
∴BC=AC·tanα=m·tanα.
S△ABC=
AC·BC=
m2tanα.
19.解:作CD⊥AB.
∵∠A=30°,
∴CD=
AC=
×40=20(m),
AD=
=20
(m),
BD=
=15(m).
(1)当∠ACB为钝角时,AB=AD+BD=20
+15,
∴S△ABC=
AB·CD=
(20
+15)×20=(200
+150)(m2).
(2)当∠ACB为锐角时,AB=AD-BD=20
-15.
∴S△ABC=
AB·CD=
(20
-15)×20=(200
-150)(m2).
20.解:AB=16×20=320(海里),
作BD⊥AC垂足为D.
∵∠BAC=30°,∴sin30°=
,BD=AB·sin30°=160.
∵160<200,∴B处的货船会受到影响.
21.(1)由图①知
sinB1AC1=
,sinB2AC2=
,
sinB3AC3=
.
∵AB1=AB2=AB3且B1C1>B2C2>B3C3,
∴
>
>
.
∴sinB1AC1>sinB2AC2>sinB3AC3.
而∠B1AC1>∠B2AC2>∠B3AC3,
而对于cosB1AC1=
,
cosB2AC2=
,
cosB3AC3=
.
∵AC1<AC2<AC3,
∴cosB1AC1<cosB2AC2<cosB3AC3.
而∠B1AC1>∠B2AC2>∠B3AC3.
由图②知sinB3AC=
,
∴sin2B3AC=
.
∴1-sin2B3AC=1-
=
=
.
同理,sinB2AC=
,1-sin2B2AC=
,
sinB1AC=
,1-sin2B1AC=
.
∵AB3>AB2>AB1,∴
<
<
.
∴1-sin2B3AC<1-sin2B2AC<1-sin2B1AC.
∴sin2B3AC>sin2B2AC>sin2B1AC.
∵∠B3AC,∠B2AC,∠B1AC均为锐角,
∴sinB3AC>sinB2AC>sinB1AC.
而∠B3AC>∠B2AC>∠B1AC.
而对于cosB3AC=
,
cosB2AC=
,
cosB1AC=
.
∵AB3>AB2>AB1,∴
<
<
.
∴cosB3AC<cosB2AC<cosB1AC.
而∠B3AC>∠B2AC>∠B1AC.
结论:锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(2)由(1)知
sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°,
cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
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