30°,45°,60°角的三角函数值

一、填空

1.下图表示甲、乙两山坡情况,其中tanα_____tanβ,_____坡更陡.(前一空填“>”“<”或“=”,后一空填“甲”“乙”)

2.在△ABC中,∠C=90°，BC=3，AB=4.则∠B的正弦值是_____.

3.小明要在坡度为 的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.

4.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA=_____，tanA=_____.

5.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则sinB=_____.

6.观察一副三角尺，把两个角拼在一起，其和仍为锐角，此和是_____度.

7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB=_____.

8.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2 米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.

二、选择

9.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA= ，则sinB等于（ ）

A.   B. C. D.1

10.在△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有（ ）

A.sinA= B.cosB=

C.tanA= D.cosB=

11.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）

A. (m²) B. (m²)

C.1600sinα(m²) D.1600cosα(m²)

12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则BC∶AC∶AB等于（ ）

A.1∶2∶5 B.1∶ ∶

C.1∶ ∶2 D.1∶2∶

13.小刚在距某电信塔10 m的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是 60°，则塔高（ ）

A.10 m B.5 m C.10 m D.20 m

14.李红同学遇到了这样一道题： tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ）

A.40° B.30° C.20° D.10°

15.在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（ ）

A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形

C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形

16.把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.都不正确

三、解答

17.(16分)计算或化简：

(1) cos30°+ sin45°;

(2) ·tan 30°;

(3)(sin60°+cos 45°)(sin 60°－cos 45°);

(4)6tan² 30°－ sin 60°－2sin 45°;

18.(8分)根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.

(1)BC=8，∠B=60°.

(2)∠B=45°，AC= .

19.(5分)在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，AC=6，CD=5，求sin∠ACD、cos∠ACD和tan∠ACD.

20.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α.

(1)求sinα、cosα、tanα的值;

(2)若∠B=∠CAD，求BD的长.

21.(5分)一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？( 取1.73)

22.(6分)如图，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.

(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;

(2)给出具体的数值，求出AB的长.

23.(6分)要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= ，∠ABC=30°，tan30°= = = .在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值.请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值.

参考答案

一、1.< 乙 2. 3.3 4. 1 5. 6.75 7. 8. 60°

二、9.B 10.C 11.A 12.C 13.A 14.D 15.B

16.B

三、17.(1) (2) (3) (4) －

18.(1)∠A=30° AB=16 AC=8 .

(2)∠A=45° BC= AB=2 .

19.解：∵∠BCA=90°，CD是中线,

∴CD= AB=AD=BD.

∴∠A=∠ACD,AB=2CD=10.

∴BC= =8.

则sinACD=sinA= = ,

cosACD=cosA= = ,

tanACD=tanA= = .

20.解：在Rt△ACD中,

∵AC=2，DC=1,

∴AD= = .

(1)sinα= = = ,

cosα= = = ,

tanα= = .

(2)∵∠B=α，∠C=90°,

∴△ABC∽△DAC_.

∴ = .∴BC= =4.

则BD=BC－CD=4－1=3.

21.解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°,

AC=20×(11－10)=20(海里).

∴tanBAC= ,即tan60°= .

∴BC=20tan60°=20 ≈34.6(海里).

22.(1)方案：至某点C时，三角板60°角一直角边与BC重合，另一边与AC重合，然后用米尺量出BC的长度，此法就可求出AB的长.

(2)设BC=10米，∠C=60°,

则在Rt△ABC中，tanC= ,

∴AB=BC·tan60°=10× =10 (米).

23.此处只给出两种方法(还有其他方法).

(1)如下图.

延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D=15°.

tan15°= = =2－ ，

(2)如下图，延长CA到E，使CE=CB，

连接BE，则∠ABE=15°.

∴tan15°=2－ .