28.2 解直角三角形及其应用（二）

一、课前预习 (5分钟训练)

1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC= ，则BD的长是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

图28－2－2－1 图28－2－2－２

3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉 线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）

二、课中强化(10分钟训练)

1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )

A. B. C. D.

2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.

3.如图28－2－2－ 3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°， 求BC长及tanC.

图28－2－2－3

4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（ 的近似值取1.7，结果保留1位小数）

图28－2－2－４

5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

图28－2－2－５

[来源:Zxxk.Com]

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )

A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)

图28－2－2－6 图28－2－2－7

2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.

（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD =100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m， ≈1.732）

图28－2－2－8

4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.

图28－2－2－9

5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据 =1.414 21， =1.732 05）

图28－2－2－10

6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: ≈1.732)

图28－2－2－11

7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.

（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）

（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0. 01米）

图28－2－2－12

8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情 报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.

(结果保留 整数, =2.449, =1.732, =1. 414)

图28－2－2－13

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：AC=BC·tanB=6.

答案：D

2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC= ，则BD的长是( )

图28－2－2－1

A.4 B.3 C.2 D.1

解析：求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.

在Rt△ADC中，CD=3，且cos∠ADC= ，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.

答 案：C

3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）

图28－2－2－２

解析：在Rt△ABD中,∠A=60°，CD=5，∴AC= ,AD= .

答案:

二、课中强化(10分钟训练)[来源:Zxxk.Com]

1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )

A. B. C. D.

解析：根据构成三角形 的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为 .

答案：C

2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.

解析：搞清观察方向，可以借 助示意图来解决.

答案:南偏西15°或西偏南75°

3.如图28－2－2－ 3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°， 求BC长及tanC.

图28－2－2－3

分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.

解：过点A作AD⊥BC于D,

在Rt△ABD中，∠B＝45°，

∵sinB= ,

∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4× = ,

∴BD= .

在Rt△ADC中，AC=6,

由勾股定理 得DC= ,

∴BC=BD+DC= ,

tanC= .

4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测 角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（ 的近似值取1.7，结果保留1位小数）

图28－2－2－４

解：设EF为x米，

在Rt△AEF中,∠AFE=60°，

∴AE=EF·tan60°= x，

在Rt△AGE中,∠AGE=45°，

∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.

∴ x=8+x.解之,得x=4+4 .

∴AE=12+4 ≈18.8.

∴AB=20.4(米).

答:旗杆AB高20.4米.

5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）

图28－2－2－５

解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.

解：设 树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，BE=x－2,∠BAE=30°,cot∠BAE= ,

∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)· = (x－2).

∵∠B′AE=45°,AE⊥BC.

∴B′E=AE= (x－2).

又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,

∴ (x－2)=x+2.∴x=(4+2 )(m).

答：树高BC为(4+2 ) m.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )

图28－2－2－6

A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)

解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在

Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,

∴AE=a·tanα.

在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,

∴AB=a·tanβ.

∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.

答案:D

2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为____________ ____米.

（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1 .2）

[来源:学科网]

图28－2－2－7

解析:AB=BC·tanC=12(米).

答案:12

3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD =100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m， ≈1.732）

图28－2－2－8

解：延长AD，交BC的延长线于点E，

在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200 m，

∴BE=AB·tanA= (m).

AE= =400(m).

在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100 m，

∴DE=CD·cot∠CED= (m),

CE= =200m.

∴AD=AE－DE=400－ ≈227(m),

BC=BE－CE= －200≈146(m).

4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.

图28－2－2－9

解：作三角形的高AD .

在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD= .在Rt△ABD中,∠B=30°,AD= ，

∴BD= ，AB= .

∴CB=BD+CD= + .

5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据 =1.414 21， =1.732 05）

图28－2－2－10

解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°，

∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）.

Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°，

∴AE=CE=80(米).

∴CD=AB－AE≈58.56（米）.

答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.

6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东 航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: ≈1.732)

图28－2－2－11

解:继续向东行驶,有触礁的危险.

过点C作CD垂直AB的延长线于D,

∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.

设CD的长为x,则tan∠CBD= ,

∴BD= x.

∴tan∠CAB=tan30°= .

∴x= .

∴x≈5.2<6.

∴继续向东行驶,有触礁的危险.

7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.[来源:学科网]

（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）

（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0. 01米）

图28－2－2－12

解：（1）如图，在Rt△ABC中，

AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473.

在Rt△ACD中，AD= ≈6.554.

∴AD－AB=6.554－5≈1.55.

即改善后的台阶会加长1.55米,

（2）如图，在Rt△ABC中，

BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.

在Rt△ACD中，CD= ≈5.558，

∴BD=CD－BC=5.558－3.597≈1.96,

即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.

8.如图28－2－2 －13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情 报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.

(结果保留整数, =2.449, =1.732, =1. 414)

图28－2－2－13

解：设OA的长为x，由于点C在 点A的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得

tan30°= +12.

AC²=x²+x² AC= ,∴AC≈46（海里）.

答：该艇的速度是46海里/时.