28.1 锐角三角函数——正弦、余弦、正切
一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果
各边长
度都扩大2倍，则锐角A的正弦
值和余弦值(
)
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
2.已知α是锐角，且cosα=
，则sinα=(
)
A.
B.
C.
D.
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶
，则cosA=_______，tanA=_________.
4.设α、β为锐角，若
sinα=
，则α=________；若tanβ=
，则β=_________.
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=
，求AD、AC、BC.
二、综合•
应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=
，则cos(90°－α)=(
)
A.
B.
C.
D.
8.若α为锐角，tana=3，求
的值.
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为
，且α为锐角，求tanα.
10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
图28.1－14
三、回顾•展望达标
11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是(
)
A.
B.
C.
D.
图28.1－15
图28.1－17
图28.1
－16
12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径
，AC=2，则cosB的值是(
)
A.
B.
C.
D.
13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=
，则BC=(
)
A.45
B.5
C.
D.
14.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )
A.
B.
C.
D.
15.课本中
，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.
图28.1－18 图28.1－19
16.计算：2－1－tan60°+(
－1)0+
；
17.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB
=
，∠CAD=30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB
，
BC=5，求AD的长.
[来源:Z#xx#k.Com]
参考答案
一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果
各边长
度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值(
)
A.都没有变化
B.都扩大2倍
C.都缩小2倍
D.不能确定
思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.
答案：A
2.已知α是锐角，且cosα=
，则sinα=(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：由cosα=
，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=
.
答案：C
3.Rt△ABC
中，∠C=90°，AC∶BC=1∶
，则cosA=_______，tanA=_________.
思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=
，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.
答案：
，
4.设α、β为锐角，若sinα=
，则α=________；若tanβ=
，则β=_________.
思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.
答案：60°,30°
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.
答案：0.386 0
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=
，求AD、AC、BC.
思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=
，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.
解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.
在Rt△ABC中，∵tanB=
，∴AC=
AB=
k.∵BD=9,∴k=3.
所以AD=4×3=12，AC=
×3=20.
根据勾股定理
.
二、综合•应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=
，则cos(90°－α)=(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：方法1.运用三角
函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=
.
方法2.利用三角函数中互余角关系“
sinα=cos(90°－α)”.
答案：A
8.若α为锐角，tana=3，求
的值.
思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶
，sinα=
，cosα=
，分别代入所求式子中.
方法2.利用tanα=
计算，因为cos
α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.
答案：原式=
.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
9.已知方程x2－5x·sinα+1
=0的一个根为
，且α为锐角，求tanα.
思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是
，进而可求出sinα=
，然后利用前面介绍过的方法求tanα.
解：设方程的另一个根为x2，则(
)x2=1
∴x2=
∴5sinα=(
)+(
)，解得sinα=
.
设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，
∴tanα=
.
10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
图28.1－14
思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=
，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.
解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，
由题意得，
平行四边形的面积S=
ab.
又因为S=ah=a(bsinα)，所以
ab=absinα，即sinα=
.
所以α=30°.
三、回顾•展望达标
11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是(
)[来源:学科网ZXXK]
图28.1－15
A.
B.
C.
D.
思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.
答案：C
12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径
，AC=2，则cosB的值是(
)
图28.1－17
A.
B.
C.
D.
思路解析：利用∠BCD=∠A计算.
答案：D
13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=
，则BC=(
)
A.45
B.5
C.
D.
思路解析：根据定义sinA=
，BC=AB·sinA.
答案：B
14.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )
图28.1
－16
A.
B.
C.
D.
思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.
答案：B[来源:Z,xx,k.Com]
15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.
图28.1－18
思路解析：正弦、余弦函数的定义.
答案：
，锐角α
16.计算：2－1－tan60°+(
－1)0+
；
思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.
解：2－1－tan60°+(
－1)0+|
|=
－
+1+
=
.
17.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=
，∠CAD=30°.
图28.1－19
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB
，BC=5，求AD的长.
思路解析：圆的切线问
题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.
由sinB=
可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.
AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.
(1)证明：如图，连接OA.
∵sinB=
，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.[来源:学科网ZXXK]
∴∠OAD=60°.
∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.
(2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB.
∴ AC=BC=5.∴OA=5.
在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=
.
∴ AD=
.