28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切

一、基础训练

1

图28- 1-1-1

.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有 一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′= ______________,B′C′∶AC′=______________.

2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 ( )

A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定

3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，则sinB等于( )

A. B. C. D.

二、强化训练

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB= ，则cosA等于( )

A. B. C. D.

2.如果α是锐角,且sinα= ,那么cos(90°-α)的值 为( )

A. B. C. D.

3.在△ABC中，∠C＝90°，AC= ，AB= ，则cosB的值为( )

A. B. C. D.

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ,BC=15,则AC=______________.

5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.

图28-1-1-2

三、巩固训练

1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 等于( )

A. B. C. D.

图28-1-1-3 图28-1-1-4

2.如果sin²α+cos²30°=1,那么锐角α的度数是( )

A.15° B.30° C.45° D.60°

3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.

4.在Rt△ABC中，斜边AB= ,且tanA+tanB= ，则Rt△ABC的面积是___________.

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.

7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.

[来源:Z.xx.k.Com]

图28-1-1-5

8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥B C于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.

求:（1）tanC的值；（2）AD的长.

图28-1-1-6[来源:学科网]

9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.

图28-1-1-7

参考答案

一、基础训练

1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′= ______________,B′C′∶AC′=______________.

图28- 1-1-1

解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.

答案：△ AB′C′∽△ABC BC∶AB BC∶AC

2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 ( )

A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定

解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变.[来源:学科网ZXXK]

答案：A

3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，则sinB等于( )

A. B. C. D.

解析：sinA= ,设a=3k,c=5k,∴b=4k.

∴sinB= .

答案：C[来源:Z。xx。k.Com]

二、强化训练

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB= ，则cosA等于( )

A. B. C. D.

解析：tanB= ,设b= k,a=2k.∴c=3k.

∴cosA= .

答案：B

2.如果α是锐角,且sinα= ,那么cos(90°-α)的值 为( )

A. B. C. D.

解析：cos(90°-α)=sinα= .

答案：A

3.在△ABC中，∠C＝90°，AC= ，AB= ，则cosB的值为( )

A. B. C. D.

解析：由勾股定理,得BC= ，

∴cosB= .

答案：C

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ,BC=15,则AC=______________.

解析：∵sinA= ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.

答案：36

5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4， 求sinB的值.

图28-1-1-2

分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.

解：过A作AD⊥BC于D,

∵AB=AC,

∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD= ，

∴sinB= .

三、巩固训练

1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 等于( )

图28-1-1-3

A. B. C. D.

解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan =tan∠DAC= .

答案：A

2.如果sin²α+cos²30°=1,那么锐角α的度数是( )

A.15° B.30° C.45 ° D.60°

解析 ：由sin²α+cos²α=1,∴α=30°.

答案：B

3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.

图28-1-1-4

解析：坡度= ,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC＝7（米）.

答案：７米

4.在Rt△ABC中，斜边AB= ,且tanA+tanB= ，则Rt△ABC的面积是___________.[来源:Zxxk.Com]

解析：∵tanA= ,tanB= ,且AB²=BC²+AC²,由tanA+tanB= ,得 + = ,即AC·BC= .∴S_△ABC= .

答案：

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.

解：根据勾股定理得b=4,sinA= ,cosA= ，tanA= ;sinB= ,cosB= ，tanB= .

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.

解：由三角函数定义知a=btanA，所以a=6，根据勾股定理得c= .

7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.

图28-1-1-5

解：如题图，在Rt△B CD中，∠BDC＝45°,

∴BC＝DC＝6 .在Rt△ABC中，sinA= ,

∴ = .

∴AB=10.

∴AC= =8.

∴AD=AC-CD=8-6=2.

8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥B C于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.

求:（1）tanC的值；（2）AD的长.

图28-1-1-6

解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,

∴AD＝BC＝2DC.

∴tanC=2.

（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,∴EC=2.

∵BC²=BE²+EC²,

∴BC= .∴AD= .

9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离 为500米，求山坡的坡度.

图28-1-1-7

解：∵AC²=AB²-BC²,∴AC= .

∴tanA= ,即山坡的坡度为 .