3　位似

专题一 开放探究题

1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长 都是1个单位）有一点O和△ABC.

(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向）,得到 △ ；

( 2)请用适当的方式描述△ 的顶点 的位置.

专题二 实际应用题

2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )

A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm

3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm²，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm² .

(1)求S与x的关系式；[来源:学.科.网]

(2)当要求四周空白处的面积为18 dm²时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?

(3)在(2)问的条件 下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?

[来源:Zxxk.Com]

专题三 一题多变题

4．已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O是位似中心，OD∶OD′=2∶3，如图所示，求S_{五边形ABCDE}与S_{五边形A′B′C′D′E′}之比是多 少？

（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形A′B′C′D′E′的周长；

（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE与△OD′E′是位似图形吗？

专题四 阅读理解题

5．阅读下面材料：“如果 两个三角形不仅是相似 三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位 似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一 个三角形缩小或放大．”

（1）选择：如图1，点O是等边△PQR的中心，P′、 Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为(　　)

A．2，点P　　　 B．，点P C．2，点O　　　　 D．，点O

（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法：

①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上，

②连结OE并延长交AB于点E′ ，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，过点E′作E′D′∥ED交OB于点D′；

③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．

【知识要点】

1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.[来源:学科网]

2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者－k.

【温馨提示】

1．位似图形的位似中心可以在任何位置.

2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图 形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.

【方法技巧】

1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.

3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.

参考答案

1. 解:（1）按位似作图在O点与△ABC同侧把△ABC缩小一半，得到△ ；第（2）问是一个开放性问题，对描述△ 的顶点 的位置的方式不确 定，如果建立直角坐标系 来描述 的位置，假设以O为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，- 1），C′的坐标为（-2，-1）.

2．B【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.

3．解:(1)根据题意,得S= x+ +2.

(2)根据题意,得x+ +2=18,整理,得x²-16x+64=0,∴(x-8)²=0,∴x=8,∴x+2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为 +2×0.5=5(dm).

(3) 内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2,

∴ .

∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D ′.

∵AC和BD,A′C′和B′D′都相交于O点 ,

∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D ′是位似图形.

4．解:∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD：OD′=2：3，

∴ = = = ．

（1）由题意可知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为 = ，

∴ = = ．

∵C_{五边形ABCDE}=32cm，∴C_{五边形A′B′C′D′E′}=C_{五边形ABCDE}× =32× =48（cm）．

（2）∵五边形ABCDE与五边形A B C D E 是位似图形，∴ = = ，

∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ ODE与△OD′E′的对应点的连线都经过点O，[来源:Zxxk.Com]

∴△ODE与△OD′E′是位似图形．

5．解:(1)由位似的定义，观察图l知：点O是位似中心 ，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D．

(2)证明：∵EC∥E′C′，∴ ，∠CEO=∠C′E′O．　

∵ED∥E′D′，∴ ，∠DEO=∠D′E′O′，

故 ，∠CED=∠C′E ′D′．

∵△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∠CED=60°.

∴C′E′=E′D′，∠C ′E′D′=6 0°，∴△C′D′E′是等边三角形．

[来源:Z*xx*k.Com]