27.1 图形的相似 达标训练

一、基础·巩固达标

1.在比例尺为1∶40 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )

A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km

2如 图27.3－4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则 DE与BC的比是( )

图27.1－4 图27.1－5

A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.2∶3

3.(1)若 ，则 =__________；

(2)若 ,则k=__________.

4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远 处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.

5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?

图27.1－6

6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.

图27.1－7

7.如图27.1－ 8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.

图27.1－8

二、综合•应用达标

8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?

图27.1－9

9.判断下列各组线段是否成比例?

(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；

(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.

10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8个相似的小正方 形.

图 27.1－10

11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.

图27.1－11

三、回顾•展望达标

12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长 ,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.

现给出下列4对几何图形: ①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.

1

3.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：

(1)如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”， 只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.

我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，…

依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S_n.

①若△DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<S_n<3?

(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)

②当n>1时，请写出一个反映S_{n －}1，S_n，S_n+1之间关系的等式(不必证明)

图乙 图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)

参考答案

一、基础·巩固达标

1.在比例尺为1∶40 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )

A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km

思路解析：可设这两地的实际距离为x cm (要注意统一单位)，根据比例尺= 得

54.3∶x=1∶40 000，解得：x=2 172 000(cm)=21.75(km).

答案：C

2如 图27.3－4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则 DE与BC的比是( )

图27.1－4

A.1∶4 B.1∶ 3 C.1∶2 D.2∶3[来源:学+科+网]

思路解析：DE是△ABC的中位线， 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

答案：C

3.(1)若 ，则 =__________；

(2)若 ,则k=__________.

思路解析：连等式时，可用比例系数(即公比)的办法解决.

(1)由 ，得到a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入 中解得;

(2)用“若 =k(b+d+…+n≠0)，则 ”，但要注意只有当 x+y+z≠0时才成立.

本题中，还需考虑x+y+z=0的情况，此时x=－(y+z)，y=－(z+x)，z=－(x+y)，

所以k=－1.

答案：(1)0.5,(2) 或－1

4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远 处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.[来源:学+科+网]

图27.1－5

思路解析：相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x米，则1.5∶1=x∶5，解得x=7.5

答案：7.5

5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?

图27.1－6

思路解析：比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不 相似.

答案：两组图形都不相似

6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.

图27.1－7

思路解析：在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后[来源:学科网]

的位置，再由这些点构造新图形.

答案：(不唯一)

7.如图27.1－ 8， 已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.

图27.1－8

思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、z的比例 式，并得到∠D=∠D′=α、∠C=∠C′=110°，再由梯形的定义和平行的性质即可求出α和β.

解： 因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.

所以 且∠D=∠D ′=α，∠C=∠C′=110°.

解得:x= 3 y=6 z=3.

因为梯形ABCD中，AB∥CD,

所以α=180°－62°=118°,β=180°－110°=70°.

二、综合•应用达标

8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?

图2 7.1－9

思路解析：矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.

解：由图可知：大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；

而小矩形的长为：14－2－2=10，宽为：8－2－2=4，四条边分别是10,4,10,4.

∵14∶10≠8∶4,

∴这两个矩形不相似.[来源:学§科§网]

9.判断下列各组线段是否成比例?

(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；

(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；

(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.

思路解析：要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时)，把它们

按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.

解：(1)四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.

∵3×7≠4×5，即3∶4≠5∶7，

∴3 cm,4 cm,5 cm,7 cm这四条线段不成比例.

(2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.

∵12×50=15×40，即12∶15=40∶50，

∴12 mm,5 cm,15 mm,4 cm这四条线段成比例.

(3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线 段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.

∵5×20=10×10，即5∶10=10∶20，

∴5 mm,1 cm,10 mm,2 cm这四条线段成比例.

10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8个相似的小正方形.

图 27.1－10

答案：

11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.

图27.1－11

思路解析：依据多边形相 似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、α和β

解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，

所以12∶6=8∶y=x∶3.解得y=4，x=6.

由α+β+115°=360°，α=β+15°，

得α=100°，β=85°.

三、回顾•展望达标

12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长 ,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.

现给出下列4对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.

思路解析：根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.

答：①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；

②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；

③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形

状不同；

④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.

13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.

探究：

(1)如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则 可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.

我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，…

依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S_n.

①若△DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<S_n<3?[来源:学#科#网]

(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)

②当n>1时，请写出一个反映S_n－1，S_n，S_n+1之间关系的等式(不必证明)

图乙 图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)

思路解析：本题是阅读理解题，n阶分割实际是把原三角形分为4ⁿ个相同的小三角形，

所以每个小三角形的面积是原三角形的 .

解：(1)正确画出分割线CD(如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线).

理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，

∴△BCD∽△ACB.

(2)①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为 .

∴ S_n= . http://www.czsx.com.cn

当n=5时，S₅= ≈9.77;

当n=6时，S₆= ≈2.44;

当n=7时，S₇= ≈0.61.

∴当n=6时，2＜S₆＜3.

② =S_n－1×S_n+1.