第六章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列各数中为无理数的是(　　)

A. B. C．π D．0.13

2．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比(分数)表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指(　　)

A．质数 B．实数 C．无理数 D．有理数

3．下列说法不正确的是(　　)

A．10的算术平方根是 B．－8是64的一个平方根

C．27的立方根是3 D.的平方根是

4．如图，数轴上表示实数的点可能是(　　)

A．点P B．点Q C．点R D．点S

5．下列说法正确的是(　　)

A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．任何一个数都有平方根和立方根

D．任何数的立方根都只有一个

6．若＋|y－2|＝0，则(x＋y)^{2 024}的值为(　　)

A．－1 B．1 C．±1 D．0

7．若x，y分别是4－的整数部分和小数部分，则x－y＝(　　)

A. B．－ C．1＋ D．2－

8．制作一个表面积为30 cm²的无盖正方体纸盒，则这个正方体纸盒的棱长是(　　)

A. cm B. cm C. cm D．± cm

9．已知x－1的立方根是1，则x的平方根是(　　)

A．0 B．±1 C．± D.

10．如图，在数轴上以单位长度为边长画正方形，以－1对应的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是－1，与负半轴的交点P表示的数是(　　)

A．1－ B．－－1 C．－1.414 D．－

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．比较大小：____1(填“＞”“＜”或“＝”)．

12.－的相反数是________，绝对值是的数是________．

13．魔方是匈牙利建筑师鲁比克发明的一种智力玩具，如图是一个二阶魔方，由8个完全相同的小正方体组成．

已知该魔方的体积为64 cm³，那么该魔方的棱长为________．

14．已知≈45，那么≈________________________________

________________________________________(结果精确到0.01)．

15．一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝________．

16．一个数值转换器，原理如图所示．当输入x为512时，输出y的值是________．

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)计算：

(1)(－1)²＋－；

(2)－2 ＋；

(3)－2²÷＋×－|－3|；

(4)2 －＋－(－1)^{2 025}.

18．(8分)求下列各式中x的值：

(1)5x²＝10；

(2)(x＋2)³＝－；

(3)x²－1＝；

(4)2(x＋1)³＋16＝0.

19．(8分)已知a的倒数是－，的相反数是0，c是－1的立方根，求a²＋b²＋c²的值．

20. (8分)厦门某中学准备在旗杆附近用石砖建一个面积为81平方米的花坛．有以下两种方案：

方案一：建成正方形；

方案二：建成圆形．

如果从节省工料的角度考虑，你选择哪种方案？请说明理由．(提示：花坛周长越小，越节省工料，π取3.14)

21．(10分)阅读下列材料：

“为什么不是有理数”．

假设是有理数，那么存在两个互质的正整数a，b，

使得＝，于是有2a²＝b².∵2a²是偶数，

∴b²也是偶数，∴b是偶数．

设b＝2c(c是正整数)，则b²＝4c²，∴4c²＝2a²，

∴2c²＝a²，∴a也是偶数，

∴a，b都是偶数，不互质，与假设矛盾，

∴不是有理数．

用类似的方法，请证明不是有理数．

22．(10分)阅读材料：

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出：39，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．

你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？他是按照下面的方法确定的：由10³＝1 000，100³＝1 000 000，就能确定是两位数；由59 319的个位上的数是9，且只有9³＝729，个位数是9，由此可确定的个位上的数是9；如果划去59 319后面的三位319得到数59，而3³＝27，4³＝64，由此可确定的十位上的数是3，因此＝39.

根据上述材料，完成下列问题：

(1)已知110 592是一个整数的立方，请求出它的立方根；

(2)是我们没有学过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你求出它的值．

答案

一、1.C　2.C　3.D　4.B　5.D　6.B　7.A　8.A

9．C　10.B

二、11.<　12.－；±3　13.4 cm

14．4.50　15.2　16.

三、17.解：(1)原式＝1＋－2＝.

(2)原式＝－1－2 ＋2＝1－.

(3)原式＝－4÷2－1×＋－3＝－2－＋－3＝－5.

(4)原式＝2×－＋－(－1)＝1－5＋＋1＝－.

18．解：(1)依题意，得x²＝2，根据平方根的定义，得x＝±.

(2)根据立方根的定义，得x＋2＝－，∴x＝－.

(3)依题意，得x²＝，根据平方根的定义，得x＝±.

(4)依题意，得(x＋1)³＝－8，根据立方根的定义，得x＋1＝－2，∴x＝－3.

19．解：∵a的倒数是－，∴a＝－.

∵的相反数是0，∴＝0，即b＝0.

∵c是－1的立方根，∴c＝＝－1.

∴a²＋b²＋c²＝(－)²＋0²＋(－1)²＝3.

20．解：选择方案二．理由如下：设正方形的边长为a米．

由题意得a²＝81，解得a＝±9.

因为a>0，所以a＝9，所以4a＝36.

因此按方案一建成的正方形花坛的周长为36米．

设圆的半径为r米．由题意得πr²＝81，

解得r＝±，即r≈±5.08.

因为r>0，所以r≈5.08，所以2πr≈31.9.

因此按方案二建成的圆形花坛的周长约为31.9米．

因为31.9<36，所以方案二用料少一些，因此选择方案二．

21．解：假设是有理数，

那么存在两个互质的正整数m，n，使得＝，

于是有3m²＝n²，

∵3m²是3的倍数，∴n²也是3的倍数，

∴n是3的倍数，

设n＝3t(t是正整数)，则n²＝9t²，∴9t²＝3m²，

∴3t²＝m²，

∴m也是3的倍数，

∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，

∴不是有理数．

22．解：(1)∵1 000<110 592<1 000 000，

∴10<<100，

∴是一个两位数．

∵只有8³＝512，个位数字是2，

∴个位上的数是8.

划去110 592后三位592，得到数110，

∵64<110<125，

∴4<<5，

∴十位上的数是4，

∴＝48.

(2)∵10 000<65 536<100 000 000，

∴10<<100，

∴是一个两位数．

划去65 536的后四位5 536，得到数6，

∵1<6<16，

∴1<<2，

∴十位上的数是1.

∵65 536的个位上的数是6，

∴的个位上的数可能是2，4，6，8，

∵14⁴<65 536，18⁴>65 536，

∴＝16.