第4章 相交线和平行线

章末复习

问题1　画图并回答问题：

(1)如图，点P在∠AOB的边OA上．

①过点P画边OA的垂线交边OB于点C；②画点P到边OB的垂线段PM.

(2)在(1)的条件下，比较PM，PC与OC的大小，并说明理由．

(3)在(1)的条件下，垂线段PM把∠CPO分成两个角，若∠CPM∶∠OPM＝2∶7.求∠CPM的度数．

(4)在(1)的条件下，过点P作直线GN⊥PM(点G在左侧，点N在右侧)，

①则PN与OB的位置关系是________；

②分别写出图中的2对对顶角、同位角、内错角、同旁内角；

③若∠APN＝40°，则∠OPG，∠POC的度数分别为____________．

(5)在(4)的条件下，连结ON，若点F在直线GN上，且满足∠FON＝∠BON，则∠ONG∶∠OFG＝________．

问题2　【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，P为AB，CD之间一点，试说明：∠EPF＝∠AEP＋∠PFC.

　　

小明想到以下的方法，请你帮他完成推理过程．

解：如图①，过点P作PQ∥AB，则∠1＝∠AEP.∵AB∥CD(已知)，

∴CD∥________(平行于同一条直线的两条直线平行)，

∴∠2＝∠PFC(________________________)，

∴∠1＋∠2＝∠AEP＋∠PFC(等式的基本性质)，∴∠EPF＝∠AEP＋∠PFC(等量代换)．

【应用】(1)小明同学进行了更进一步的思考：如图②，直线a∥b，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，且交于点E，猜想并验证∠CEB与∠AFD的数量关系．

【拓展】(2)如图③，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，点P在CD上，点G在MN上，∠MGP＝60°，若动点E在线段MN上移动(不与点M，G，N重合)，连结PE，∠AMN和∠EPC的平分线交于点H，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．

(3)在(2)的条件下，若直线MN的位置如图④所示，请直接写出∠MHP与∠EPG的数量关系．

第4章 相交线和平行线

章末复习

思维导图

①相邻且互补　②相等　③有且只有一条直线　④垂线段　

⑤同位角　⑥内错角　⑦同旁内角　⑧直线外　

⑨有且只有一条直线　⑩平行　⑪同位角相等　⑫内错角相等　⑬同旁内角互补　⑭同位角相等　⑮内错角相等　

⑯同旁内角互补

大单元串联

问题1　解：(1)①②如图所示．

(2)PM＜PC＜OC.

理由：∵PM⊥OC，∴PM＜PC.

∵PC⊥OP，∴OC＞PC，

∴PM＜PC＜OC.

(3)∵OP⊥CP，∴∠OPC＝90°.

∵∠CPM∠OPM＝27，

∴∠CPM＝×90°＝20°.

(4)①平行　②略　③40°，40°　

(5)23或21

问题2　解：【感知】PQ；两直线平行，内错角相等

【应用】(1)∠AFD＝2∠CEB.

如图，过点F作GI∥a，过点E作HJ∥b，则有GI∥HJ∥a∥b，

∴∠GFD＝∠ACD，∠AFG＝∠ABD，

∴∠GFD＋∠AFG＝∠ACD＋∠ABD，

即∠AFD＝∠ACD＋∠ABD.

又∵CE，BE分别平分∠ACD，∠ABD，

∴∠ACD＝2∠ACE，∠ABD＝2∠DBE，

∴∠AFD＝2∠ACE＋2∠DBE＝2(∠ACE＋∠DBE)，

根据HJ∥a∥b，有∠CEJ＝∠ACE，∠BEJ＝∠DBE，

∴∠CEJ＋∠BEJ＝∠ACE＋∠DBE，

即∠CEB＝∠ACE＋∠DBE，

∴∠AFD＝2∠CEB.

【拓展】(2)2∠MHP－∠EPG＝60°.

(3)2∠MHP＋∠EPG＝300°.