期末综合素质评价(一)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1. 【2023·丽水月考】下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. x2－y＝5 B. x－2y＝0 C. ＝1－3y D. 2x－3＝x
2. 【2023·杭州丰潭中学三模】芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一,它作为食物和药物，得到广泛的使用. 经测算，一粒芝麻的质量约为0. 000 002 09 kg,将0. 000 002 09用科学记数法表示为( )
A. 2. 09×10－8 B. 0. 209×10－7 C. 2. 09×10－6 D. 20. 9×10－5
3. 【2023·绍兴绍初教育集团期中】下列计算不正确的是( )
A. a5＋a5＝2a5 B. (－2a2)2＝－2a6
C. 2a2·a－1＝2a D. (2a3－a2)÷a2＝2a－1
4. 如果把中的x和y都扩大到原来的6倍，那么分式的值( )
A. 扩大到原来的6倍 B. 不变
C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的36倍
5. 【2023·北京东城区期末】下列调查方式，最适合全面调查的是( )
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准
B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
C. 了解北京市中学生视力情况
D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
6. 如图，下列条件不能判定AB∥CD的是( )
A. ∠1＝∠2 B. ∠BAD＋∠ADC＝180°
C. ∠ABC＝∠3 D. ∠ADC＝∠3
7. 【母题：教材P105作业题T7】已知xy＝－1，x＋y＝2，则x3y＋x2y2＋xy3＝( )
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
8. 如图，直线a∥b，点A在直线a上，点C，D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是( )
A. 13° B. 15° C. 23° D. 16°
9. 【2023·上海月考】若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为( )
A. 1 B. 1或 C. －1或 D. 以上都不是
10. 【数学文化】《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①，图②. 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项. 把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中x的值为3，那么被墨水所覆盖的图形为( )
A. | B. || C. ||| D. ||||
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11. 使分式有意义的x的取值范围是____________.
12. 分解因式：4x2－16＝____________________.
13. 【2023·天津东丽区期末】已知一个样本含有40个数据，这些数据被分成4组，各组数据的个数之比为1 ∶3 ∶4 ∶2，则第二小组的频数为________.
14. 【2023·宁波北仑区期末】已知是二元一次方程组的解，则a＋b的值是________.
15. 若5m＝6，6n＝5，则2m(3m－n)－m(2n＋6m)＋3的值为________.
16. 图①是一盏可折叠台灯，图②为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB，BC为固定支撑杆，∠A是∠B的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节. 现把灯体CD从水平位置旋转到CD′位置(图②中虚线所示)，此时，CD′所在的直线恰好垂直于支架AB，且∠BCD－∠DCD′＝120°，则∠DCD′＝____________.
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17. (6分)计算：
(1)(－1)2 024＋(－4)－1＋(π－0. 1)0; (2)(2a＋3)(3－2a).
18. (6分)(1)解分式方程：－4＝；
(2)【2023·株洲】先化简，再求值：·，其中x＝3.
19. (6分)【2023·温州月考】在如图所示的5×5方格中，按下列要求作格点三角形(图形的顶点都在正方形格纸的格点上).
(1)将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，使得线段PQ在三角形A′B′C′内部；
(2)连结AA′，CC′，则四边形ACC′A′的面积为________.
20. (8分)某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，乒乓球赠送. 若购买10副直拍球拍和5副横拍球拍花费3 250元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费750元，则两种球拍每副各多少元？
21. (8分)【2023·深圳宝安区期末】因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解,如a2－4ab＋4b2－1,我们可以把它先分组再分解：a2－4ab＋4b2－1＝(a－2b)2－1＝(a－2b＋1) (a－2b－1)，这种方法叫做分组分解法.
请解决下列问题：
(1)分解因式：a2－4b2＋2a－4b；
(2)已知a，b，c是三角形ABC的三边，且满足a2－b2－bc＋ac＝0，请判断三角形ABC的形状，并说明理由.
22. (10分)某校5月组织了学生参加“学习强国”知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(满分为100分)进行统计，绘制如下不完整的频数直方图，若将频数直方图划分的五组从左至右依次记为A，B，C，D，E，绘制如下扇形统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)频数直方图中，A组的频数为________，并补全频数直方图；
(2)扇形统计图中，D组所占的圆心角n＝________度；
(3)若成绩在80分以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
23. (10分)某铁路货运集装箱物流园区启动了二期扩建工程，一项地基基础加固处理工程由A，B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天. 在A工程公司单独建设45天后，B工程公司参与建设，两工程公司又共同建设54天后完成了此项工程.
(1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；
(2)受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程分成两部分，要求两工程公司同时开工建设，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜50，n＜90，求A，B两个工程公司各建设了多少天.
24. (12分)已知点C在射线OA上.
(1)如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
(2)在(1)中，将射线OE沿射线OB平移得O′E′(如图②)，若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系(用含α的代数式表示)；
(3)在(2)中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P(如图③)，若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系.
答案
一、1. B 【点拨】A. x2－y＝5中x的次数是2，不是二元一次方程；C. ＝1－3y不是整式方程，不是二元一次方程；D. 2x－3＝x含有一个未知数，不是二元一次方程.
2. C
3. B 【点拨】(－2a2)2＝4a4.
4. B 【点拨】把中的x和y都扩大到原来的6倍后得＝＝，故不变.
5. B 6. D
7. A 【点拨】∵xy＝－1，x＋y＝2，
∴x3y＋x2y2＋xy3
＝xy(x2＋2xy＋y2)
＝xy(x＋y)2
＝×(－1)×22
＝－2.
8. A 【点拨】延长CB交直线a于点E，如图.
∵AB⊥BC，∴∠ABE＝∠ABC＝90°.
∵∠1＝32°，∴∠AEC＝180°－90°－32°＝58°.
∵a∥b，∴∠ECF＝∠AEC＝58°. ∴∠BCD＝122°.
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝45°.
在△BCD中，∠2＝180°－∠BCD－∠CBD＝13°.
9. B 【点拨】原方程两边同乘3－x，
得－x＋3a＝2a(3－x)，
整理得(2a－1)x＝3a，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当2a－1＝0，即a＝时，整式方程无解，原分式方程无解.
当2a－1≠0时，则x＝，
令最简公分母为0，即3－x＝0，解得x＝3.
∴当＝3，即a＝1时，原分式方程产生增根，无解.
综上所述：a＝1或时，原分式方程无解.
10. C 【点拨】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得
把x＝3代入得
由③得y＝5，
把y＝5代入④得12＋5a＝27，∴a＝3.
故图形为|||.
二、11. x≠ 【点拨】根据题意得2x－3≠0，∴x≠.
12. 4(x＋2)(x－2) 【点拨】4x2－16＝4(x2－4)＝4(x＋2)(x－2).
13. 12 【点拨】∵一个样本含有40个数据，这些数据被分成4组，各组数据的个数之比为1 ∶3 ∶4 ∶2，
∴第二小组的频率为＝.
∴第二小组的频数为40×＝12.
14. 3 【点拨】把代入得
①＋②，得4a＝8，解得a＝2，
②－①，得2b＝2，解得b＝1.
∴a＋b＝2＋1＝3.
15. －1 【点拨】∵5m＝6，6n＝5，
∴(6n)m＝5m＝6，即6mn＝6. ∴mn＝1.
∴2m(3m－n)－m(2n＋6m)＋3＝6m2－2mn－2mn－6m2＋3＝3－4mn＝3－4＝－1.
1
6.
40°
【点拨】如图，延长OA交CD于T，交CD′于N，延长D′C交AB于M，∵CD∥OE，AO⊥OE，
∴∠NTD＝∠O＝90°.
∴∠CTN＝∠CTA＝90°.
∴∠DCD′＋∠CNT＝90°.
∵CD′⊥AB，∴∠2＝90°. ∴∠CNT＋∠1＝90°.
∴∠1＝∠DCD′.
∵∠BAO＝2∠B，∴180°－∠1＝2∠B.
∴180°－∠1＝2(360°－90°－∠1－∠BCD).
∴2∠BCD＋∠1＝360°. ∴2∠BCD＋∠DCD′＝360°.
又∵∠BCD－∠DCD′＝120°，∴∠DCD′＝40°.
三、17.【解】(1)原式＝1－＋1＝. (2)原式＝9－4a2.
18.【解】(1)方程的两边同乘(x－3)得x－4(x－3)＝3，化简，得3x＝9，解得x＝3.
经检验，x＝3是增根，原分式方程无解.
(2)原式＝·
＝·
＝.
当x＝3时，原式＝＝1.
19.【解】(1)如图.
(2)10 【点拨】如图.
四边形ACC′A′的面积＝4×4方格的大正方形－边角处的四个小直角三角形的面积＝4×4－4××1×3＝10.
20.【解】设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，
根据题意得解得
答：直拍球拍每副200元，横拍球拍每副250元.
21.【解】(1)a2－4b2＋2a－4b
＝(a＋2b)(a－2b)＋2(a－2b)
＝(a－2b)(a＋2b＋2).
(2)三角形ABC是等腰三角形. 理由如下：
∵a2－b2－bc＋ac＝0，
∴(a＋b)(a－b)＋c(a－b)＝0，即
(a－b)(a＋b＋c)＝0.
∵a，b，c是三角形ABC的三边，
∴a＋b＋c≠0. ∴a－b＝0. ∴a＝b.
∴三角形ABC是等腰三角形.
22.【解】(1)16
补全频数直方图如图：
(2)126
(3)1－25%－20%－8%＝47%，2 000×47%＝940(名).
答：估计成绩优秀的学生有940名.
23.【解】(1)设B工程公司单独建设完成此项工程需要x天，
根据题意得＋＋＝1，解得x＝120.
经检验，x＝120是所列方程的根，且满足题意.
答：B工程公司单独建设完成此项工程需要120天.
(2)由题意得＋＝1，化简，得2m＋3n＝360，∴n＝120－m.
∵m＜50，n＜90，且m，n均为正整数，
∴m＝48，此时n＝120－×48＝88.
答：A，B两个工程公司各建设了48天和88天.
24.【解】(1)∵CD∥OE，∴∠AOE＝∠OCD＝120°.
∴∠BOE＝360°－∠AOE－∠AOB＝360°－90°－120°＝150°.
(
2)∠OCD＋∠BO′E′＝360°－α.
理由：如图，过点O作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′∥CD.
∴∠AOF＝180°－∠OCD，∠BOF＝
∠E′O′O＝180°－∠BO′E′.
∴∠AOB＝∠AOF＋∠BOF＝180°－∠OCD＋180°－∠BO′E′＝360°－(∠OCD＋∠BO′E′)＝α. ∴∠OCD＋∠BO′E′＝360°－α.
(3)∠AOB＝∠BO′E′.
理由：∵∠CPO′＝90°，∴PO′⊥CP.
∵PO′⊥OB，∴CP∥OB. ∴∠PCO＋∠AOB＝180°.
∴2∠PCO＝360°－2∠AOB.
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°－2∠AOB.
由(2)知∠OCD＋∠BO′E′＝360°－α＝360°－∠AOB，
∴360°－2∠AOB＋∠BO′E′＝360°－∠AOB.
∴∠AOB＝∠BO′E′.