期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为(　　)

A． B． C． D．

2．已知a＞b，则一定有－4a□－4b，“□”中应填的符号是(　　)

A．＞ B．＜ C．≥ D．＝

3．【2022·德阳】下列事件中，属于必然事件的是(　　)

A．抛掷硬币时，正面朝上

B．明天太阳从东方升起

C．经过红绿灯路口，遇到红灯

D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”

4．如图，直线m，n分别截∠A的两边，且m∥n.下列各角的度数关系中正确的是(　　)

A． ∠2＋∠5＞180° B．∠2＋∠3＜180°

C．∠1＋∠6＞180° D．∠3＋∠4＜180°

5．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有4个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB.能使△ABC≌△BAD的条件有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6 ．【2022·泸州】如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是(　　)

A．30° B．40°

C．50° D．70°

7．关于x，y的方程组的解为若点P(a，b)总在直线y＝x的上方，那么k的取值范围是(　　)

A．k＞1 B．k＞－1 C．k＜1 D．k＜－1

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若CE＝5，AC＝12，则BE的长是(　　)

A ．5

B．10

C．12

D．13

9．【数学文化】【2022·遂宁】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为(　　)

A． B．

C． D．

1 0．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，根据图象得到的正确结论是(　　)

A．方程组的解为

B．n＋b＜0

C．当x＞－3时，ax＋b＞mx＋n

D．当x＝0时，ax＋b＝－1

1 1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，延长BC到点F，连接DF，若∠F＝30°，则EF的长为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

12．若关于x的不等式组有解且最多有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题(每题3分，共18分)

13．命题“如果a＞0 ，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是________命题(填“真”或“假”).

14．【2023·金华】下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是________．

“偏瘦”	“标准”	“超重”	“肥胖”
80	350	46	24

15．已知关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是______________．

16．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是________．

17．某种家用小电器的进价为每件240元，以每件360元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的________折出售．

18．如图，MN∥EF，点C为两直线之间的点，若∠MAC的平分线与∠FBC的平分线所在的直线相交于点D，则∠ACB与∠ADB之间的数量关系是______________________．

三、解答题(23题10分， 24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)

19．(1)【2022·台州】解方程组：

(2)解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．

20．【2023·大连】如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F.BC＝DE， AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.

21．如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数(指针指向分界线时，则重转)．

(1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________．

(2)写出此情境下一个不可能发生的事件．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴交于点A，且经过点B(2，m)，已知点C的坐标是(5，0)．

(1)求直线BC的表达式．

(2)若D为线段BC上一点，且S_△ABD＝S_△AOB，求点D的坐标．

23．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨．

(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1 800吨，则A，B两种型号的机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，BE，相交于点F.

(1)求证：BE⊥CD.

(2)若∠BAC＝30°，试判断△CBD的形状，并说明理由．

25．在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1.

(1)如图①，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P，连接OH.

①求线段OP的长度；

②求证：∠OHP＝45°；

(2)如图②，若D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段CA的延长线于点N，则S_△BDM－S_△ADN的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

答案

一、1．B　2．B　3．B　4．A　5．D　6．B

7．B　【点拨】解方程组

得

∵点P(a，b)总在直线y＝x的上方，

∴b＞a，∴k＋1＞－k－1，

解得k＞－1.

8．D　　9．D

10．B　【点拨】∵一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象交于点(－3，2)，

∴方程组的解为

由图象可知b＝－2，0＜n＜1，∴n＋b＜0.

由图象可知当x＞－3时，ax＋b＜mx＋n.

∵一次函数y＝ax＋b的图象过点(0，－2)，

∴当x＝0时，ax＋b＝－2.

11．B　【点拨】∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴AC＝4，∠ACB＝60°.∵∠F＝30°，

∴∠CDF＝∠ACB－∠F＝60°－30°＝30°，

∴∠CDF＝∠F，∴CD＝CF.

∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝2，

∴CF＝2.在Rt△DEC中，∠DCE＝60°，

∴∠CDE＝30°，∴EC＝CD＝1，

∴EF＝EC＋CF＝1＋2＝3.

12．A　【点拨】解不等式＋1≥，得x≤－3，

解不等式x－1≥，得x≥a＋2，

∴不等式组的解集为a＋2≤x≤－3.

∵该不等式组有解且最多有4个整数解，

∴－7<a＋2≤－3，

∴－9<a≤－5，

∴符合条件的所有整数a的个数为4.

二、13．假　　14．　15．－＜m≤4

16．32　【点拨】∵AD＝DE，S_△BDE＝96，

∴S_△ABD＝S_△BDE＝96.

过点D分别作DG⊥AC于点G，DF⊥AB于点F.

∵AD平分∠BAC，∴DG＝DF.

又∵AB＝3AC，∴S_△ACD＝S_△ABD＝×96＝32.

17．七

18． ∠ACB＝180°－2∠ADB

【点拨】如图，过点C作CG∥MN，过点D作DH∥MN .

∵ MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠6＝∠4，∠FBC＝∠5，

∴∠ACB＝∠4＋∠5＝∠6＋∠FBC，

∠ADB＝∠ADH－∠BDH＝∠1－∠2.

∵∠MAC的平分线与∠FBC的平分线所在直线相交于点D，

∴∠MAC＝2∠1，∠FBC＝2∠3＝2∠2，

∴∠ACB＝∠6＋∠FBC＝180°－∠MAC＋2∠2＝180°－2∠1＋2∠2＝180°－2(∠1－∠2)＝180°－2∠ADB.

三、19．【解】(1)

②－①，得y＝1.把y＝1代入①，得x＋2＝4，解得x＝2.

所以原方程组的解为

(2)解不等式①，得x＜3.解不等式②，得x≥1.

所以不等式组的解集是1≤x＜3.

将解集表示在数轴上如图所示．

20．【证明】∵∠ACB＋∠ACF＝180°，

∠ACF＋∠AED＝180°，

∴∠ACB＝∠AED.

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴AB＝AD.

21．【解】(1)

(2)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是3”．(答案不唯一)

22．【解】(1)将点B(2，m)的坐标代入y＝x＋3，得m＝×2＋3＝6，∴B(2，6)．

设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

将点B(2，6)，C(5，0)的坐标分别代入y＝kx＋b，

得解得

∴直线BC的表达式为y＝－2x＋10.

( 2)如图，连接OD，由S_△ABD＝S_△AOB可知OD∥AB,

∴直线OD的表达式为y＝x，

联立方程

得∴点D的坐标为.

23．【解】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，

根据题意得

解得

答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物 80吨．

(2)设A型机器人采购m台，B型机器人采购(20－m)台，总费用为w万元，

则w＝3m＋2(20－m)＝m＋40.

根据题意得100m＋80(20－m)≥1 800，解得m≥10.

在w＝m＋40中，

∵1＞0，∴w随着m的增大而增大．

∴当m＝10时，w有最小值，w_最小＝10＋40＝50.

此时20－m＝10.

∴当A型机器人采购10台，B型机器人采购10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．

24．(1)【证明】∵∠ACB＝90°，且DE⊥AB，

∴∠EDB＝∠ACB＝90°.

在Rt△EBC和Rt△EBD中，

∴Rt△EBC≌Rt△EBD，

∴∠CBE＝∠DBE.

∵BD＝BC，∴△BDC是等腰三角形．

∴BF⊥CD，即BE⊥CD.

(2)【解】△CBD是等边三角形．理由如下：

∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠CBD＝60°.

又∵BD＝BC，∴△CBD是等边三角形．

25．(1)①【解】∵BO⊥AC，AH⊥BC，

∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，

∴∠OBC＋∠C＝∠OAP＋∠C＝90°，

∴∠OBC＝∠OAP.

在△OAP和△OBC中，

∴△OAP≌△OBC(ASA)，∴OP＝OC＝1.

②【证明】如图①，过点O分别作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N, 则 ∠OMC＝∠ONP＝90°.

易知∠MON＝90°，

∴∠COM＝90°－∠MOP＝∠PON.

在△COM和△PON中，

∴△COM≌△PON(AAS)．∴OM＝ON.

又∵OM⊥BC，ON⊥AH.∴HO平分∠AHC.

∴∠OHP＝∠AHC＝45°.

(2)【解】S_△BDM－S_△ADN的值不发生改变．

如图②，连接OD.

∵BO⊥AC，OA＝OB，∴∠BOA＝90°，

∠BAO＝∠ABO＝45°.

∵D为AB的中点，∴∠DOA＝45°.

∴∠DOM＝90°＋45°＝135°，∠DAN＝135°，∠ADO＝90°，

∴∠DAN＝∠DOM.∵MD⊥ND，∴∠MDN＝90°.

∴∠NDA＝90°－∠MDA＝∠MDO.

在△ODM和△ADN中，

∴△ODM≌△ADN(ASA)，∴S_△ODM＝S_△ADN，

∴S_△BDM－S_△ADN＝S_△BDM－S_△ODM＝S_△BOD＝S_△AOB＝×AO·BO＝××3×3＝.