第五章检测题

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(2022·自贡)剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是( D )

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2．(2022·河北)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( D )

A．中线 B．高线 C．对称轴 D．角平分线

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3．(绍兴中考)我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②，它是一个轴对称图形，其对称轴有( B )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．下列说法中正确的有( A )

①任何一个图形都有对称轴；②两个全等三角形一定关于某条直线对称；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC与△A′B′C′全等；④点A，B在直线l的两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆柱形水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( C )

A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm

6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，M为AD上任意一点，则下列结论中错误的是( D )

A．DE＝DF B．ME＝MF C．AE＝AF D．BD＝CD

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7．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q，若击打小球P，经过球台的边AB反弹后恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的( B )

A．点Q₁ B．点Q₂ C．点Q₃ D．点Q₄

8．(2022·海南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是( A )

A．36° B．54° C．72° D．108°

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9．在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°.则∠MGE的度数为( D )

A．50° B．90° C．40° D．80°

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝12，则DE等于( C )

A． B． C． D．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．若一个三角形的一个角的平分线恰好是对边上的高，则这个三角形的形状是__等腰__三角形．

12．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有__3__种．

13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15__度．

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14．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA的平分线的交点，上述结论中，正确的有__①②③④__．(填序号)

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，连接BF，∠A＝50°，AB＋BC＝16 cm，则△BCF的周长和∠EFC分别等于__16_cm，40°__．

三、解答题(共75分)

16．(8分)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝100°，∠C′＝30°.求∠B的度数．

解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝30°，

∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－100°－30°＝50°

17．(9分)如图，AB＝AC，AE⊥BC，DC＝CA，AD＝DB，求∠DAE的度数．

解：∵AD＝DB，∴∠B＝∠DAB，

∴∠ADC＝180°－(180°－2∠B)＝2∠B，

∵DC＝CA，∴∠ADC＝∠DAC＝2∠B，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，

∴∠B＋∠B＋∠DAB＋∠DAC＝180°，

即2∠B＋∠B＋2∠B＝180°，

∴∠B＝36°，∴∠DAC＝72°，∠BAC＝108°，

∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴∠BAC＝∠EAC＝54°，

∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝18°

18．(9分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.

(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；

(2)请计算出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．

解：(1)画图略

(2)重叠部分的面积为×4×4－×2×2＝8－2＝6

19．(9分)如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C，D.

(1)∠PCD＝∠PDC吗？为什么？

(2)OP是CD的垂直平分线吗？为什么？

解：(1)∠PCD＝∠PDC.

理由：∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC

(2)OP是CD的垂直平分线．

理由：∵∠OCP＝∠ODP＝90°，

在△POC和△POD中，

∴△POC≌△POD(AAS)，

∴OC＝OD，

由PC＝PD，OC＝OD，可知点O，P都是线段CD的垂直平分线上的点，

∴OP是线段CD的垂直平分线

20．(9分)如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．

(1)画出直线EF；

(2)设直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．

解：(1)画图略，连接B′B″，作线段B′B″的垂直平分线EF

(2)∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，

∴∠BOM＝∠B′OM，

又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于EF对称，

∴∠B′OE＝∠B″OE，

∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2∠MOE＝2α，即∠BOB″＝2α

21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是BC边上的高．线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE.

(1)填空：∠BAD的度数为__20°__；∠ABC的度数为__70°__；∠ACB的度数为__70°__；

(2)试问：线段AE与BE的长相等吗？请说明理由；

(3)求∠EBD的度数．

解：(2)线段AE与BE的长相等，理由如下：连接CE，∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BE＝CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE＝BE

(3)由(2)可知，∠ABC＝70°，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAD＝20°，∴∠EBD＝∠ABC－∠ABE＝70°－20°＝50°

22．(10分)已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.

(1)如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；

(2)如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．

解：(1)当点D在BC的中点上时，DE＝DF，

证明：∵D为BC中点，

∴BD＝CD，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE＝DF

(2)CG＝DE＋DF.证明：连接AD，

∵S_△ABC＝S_△ADB＋S_△ADC，

∴AB·CG＝AB·DE＋AC·DF，

∵AB＝AC，∴CG＝DE＋DF

23．(12分)如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E，F分别在AB，AC边上，连接AD，DE，DF，且∠ADE＝∠ADF＝60°.

小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法. 请你用以下几种方法证明．

(1)将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABG，使得AC和AB重合，然后通过全等三角形的相关知识获证；

(2)利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证；

(3)利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

解：(1)如图①，将△ACD绕着点A顺时针旋转至△ABG，使得AC与AB重合，连接DG，

∴△ABG≌△ACD，

∴AG＝AD，∠GAB＝∠DAC，

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠GAD＝60°，∴△AGD是等边三角形，

∴∠ADG＝∠AGD＝60°，

∵∠ADE＝60°，∴G，E，D三点共线，

∴△AGE≌△ADF，∴AE＝AF

(2)如图②，在DE上截取DG＝DF，连接AG，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，

∴△ADG≌△ADF，∴AG＝AF，∠1＝∠2，

∵∠ADB＝60°＋∠3＝180°－(180°－∠2－60°)＝60°＋∠2，

∴∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∵∠AEG＝180°－∠BED－180°－(180°－∠3－60°)＝60°＋∠3，∠AGE＝180°－(180°－∠1－60°)＝60°＋∠1，

∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝AF

(3)如图③，过A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，

∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴AG＝AH，

∵∠FDC＝60°－∠1，∴∠AFH＝∠DFC＝60°＋∠1，

∵∠AED＝60°＋∠1，∴∠AEG＝∠AFH，

∴△AEG≌△AFH，∴AE＝AF