第九章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1.[2022·永州]下列多边形具有稳定性的是(　　)

2. 以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是(　　)

A.2，2，4 B.1，2，3 C.3，4，5 D.3，4，8

3.[2023·邢台三中模拟]如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上，展开后得到折痕AD，则AD是△ABC的(　　)

A.高线 B.中线 C.垂线 D.角平分线

　　　 　　　 　　　

(第3题)　　　　　(第4题)　　　　　(第5题)　　　　　(第8题)

4.[2023·深圳]如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝(　　)

A.70° B.65° C.60° D.50°

5.[2023·保定十七中期末]如图，在△ABC中，若∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数为(　　)

A.16° B.18° C.20° D.22°

6.下列说法中错误的是(　　)

A.一个三角形中至少有一个角不小于60°

B.直角三角形只有一条高

C.三角形的中线不可能在三角形外部

D.三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分

7.[2023·唐山十二中期末]若等腰三角形的两边长分别为4 cm和10 cm，则该等腰三角形的周长为(　　)

A.18 cm B.24 cm C.26 cm D.18 cm或24 cm

8.将含30°角的一个直角三角尺和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于(　　)

A.80° B.100° C.110° D.120°

9.[2022·淄博]某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°，城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为(　　)

A.23° B.25° C.27° D.30°

　　 　　 　　

(第9题)　　　　　　(第10题)　　　　　　(第12题)　　　　　(第13题)

10.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)

A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠2＞∠1＞∠A

C.∠A＞∠2＞∠1 D.∠2＞∠A＞∠1

11.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)

A.∠A＝2∠B＝3∠C

B.∠A－∠B＝∠C

C.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5

D.∠A＝ ∠B＝ ∠C

12.(母题：教材P108习题B组T2)如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于(　　)

A.360° B.300° C.180° D.240°

13.[2023·宜昌]如图，小颖按如图方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c.如果∠1＝70°，则∠2的度数为(　　)

A.110° B.70° C.40° D.30°

14.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　　)

A.90° B.100° C.130° D.180°

　　　 　　　 　　　

(第14题)　　　　　　(第15题)　　　　　　(第16题)　　　　　　(第19题)

15.如图，P是等边三角形ABC中AC边上的任意一点，AD是△ABC的高，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，则(　　)

A.PE＋PF＞AD B.PE＋PF＜AD

C.PE＋PF＝AD D.以上都有可能

16.如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝ ∠CGE.其中正确的结论有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17.已知a，b，c是△ABC的三边长，满足｜a－7｜＋(b－2)²＝0，c为奇数，则c＝　　　　.

18.一个三角形的三个内角的度数比是2∶2∶1，则最小的一个内角是　　　　度.

19.[2022·荆门]如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG∶GD＝BG∶GE＝CG∶GF＝2∶1.已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为　　　　.

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20.已知：如图，AC∥DE，∠ABC＝70°，∠E＝50°，∠D＝75°.

求∠A和∠ABD的度数.

21.已知一等腰三角形的周长是16 cm.

(1)若其中一边长为4 cm，求另外两边的长；

(2)若其中一边长为6 cm，求另外两边的长.

22.(母题：教材P111习题A组T2)如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.

23. 在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”.

(1)已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由.

(2)在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数.

24.如图，点D是△ABC的边BC上一点，且BD∶CD＝2∶3，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为20 cm^2.

( 1)求△CDE的面积；

(2)求△BEF的面积.

25.如图，在△ABC中，D是CB延长线上的点，AC＝b，AB＝c，BC＝a，∠1＝30°，∠ABC＝100°.

(1)化简｜a－b－c｜－｜a＋c－b｜；

(2)当∠DBE为多少度时，BE∥AC，请说明理由；

(3)当∠ABE∶∠2＝3∶5时，直线BE与AC平行吗？为什么？

26.【问题背景】(1)如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A＋∠B＝∠C＋∠D；

【简单应用】(2)如图②，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，求∠P的度数；

【问题探究】(3)如图③，△AOB的外角∠FAD的平分线所在的直线是AP，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，请猜想∠P的度数，并说明理由.

【拓展延伸】(4)在图④中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，则∠P与∠C、∠B之间的数量关系为　　　　　　　　　.(用含α，β的式子表示∠P，不必说明理由)

答案

一、1.D

2.C 【点拨】A、2＋2＝4，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；

B、1＋2＝3，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；

C、3＋4＞5，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；

D、3＋4＜8，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意.

故选C.

3.A　4.A　5.B　6.B

7.B 【点拨】题中没有指出哪条边是腰，故应该分两种情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形.

8.C　9.B　10.B

11.A 【点拨】本题运用了方程思想.由∠A＝2∠B＝3∠C可得∠B＝ ∠A，∠C＝ ∠A.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋ ∠A＋ ∠A＝ ∠A＝180°，所以∠A＝ ，故△ABC不是直角三角形；由B选项可得∠A＝∠B＋∠C＝ (∠A＋∠B＋∠C)＝90°；

C选项中∠C＝ (∠A＋∠B＋∠C)＝ ×180°＝90°；

由D选项可得2∠A＋3∠A＋∠A＝180°，

所以∠A＝30°，

所以∠C＝3∠A＝90°.所以选A.

12.C

13.C 【点拨】如图，

由题意得∠4＝30°，c∥b，

∴∠3＝∠1＝70°.

∵∠3＝∠4＋∠5＝70°，

∴∠5＝40°.

∴∠2＝∠5＝40°.

故选C.

14.B 【点拨】正方形每个内角为90°，等边三角形每个内角为60°.利用平角定义可得以下三个式子：

∠BAC＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，

∠ABC＝180°－60°－∠3＝120°－∠3，

∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2.

在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴90°－∠1＋120°－∠3＋120°－∠2＝180°，

∴∠1＋∠2＝150°－∠3＝150°－50°＝100°.

1 5.C 【点拨】本题运用巧添辅助线法和等面积法.如图所示，连接BP，则S_△ABC＝S_△ABP＋S_△CBP，即 BC·AD＝ AB·PE＋ BC·PF.因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC，所以PE＋PF＝AD.

16.C 【点拨】①∵EG∥BC，

∴∠CEG＝∠ACB.

又∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠ACB＝2∠DCB.

∴∠CEG＝2∠DCB.

故①正确；

②∵∠CEG＝∠ACB，

而∠GEC与∠GCE不一定相等，

∴CA不一定平分∠BCG.

故②错误；

③∵∠A＝90°，

∴∠ADC＋∠ACD＝90°.

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD.

∴∠ADC＋∠BCD＝90°.

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB＝90°，

即∠GCD＋∠BCD＝90°.

∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；

④∵∠ABC＋∠ACB＝90°，

CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB.

∴∠DFB＝∠EBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝45°.

∵∠CGE＝90°，

∴∠DFB＝ ∠CGE，故④正确.

故选C.

二、17.7　18.36　19.18

三、20.【解】∵AC∥DE，∠E＝50°，∠D＝75°，

∴∠ACB＝∠E＝50°，∠BFC＝∠D＝75°.

又∵∠ABC＝70°，

∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－50°＝60°.

∴∠ABD＝∠BFC－∠A＝75°－60°＝15°.

21.【解】(1)当底边长为4 cm时，

腰长为(16－4)÷2＝6(cm).

当腰长为4 cm时，底边长为16－4×2＝8(cm).

∵4＋4＝8，∴不能组成三角形.

∴另外两边的长分别是6 cm，6 cm.

(2)当底边长为6 cm时，

腰长为(16－6)÷2＝5(cm).

当腰长为6 cm时，底边长为16－6×2＝4(cm).

∴另外两边的长分别是5 cm，5 cm或6 cm，4 cm.

22.【解】∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

且∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，

∴∠A＝180°－66°－54°＝60°.

在△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠A＝60°，

∴∠ABE＝180°－90°－60°＝30°.

又∠CFB＝90°，∴∠BHF＝60°.

∵∠BHF＋∠BHC＝180°，

∴∠BHC＝120°.

在△ACF中，∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，

∴∠ACF＝180°－90°－60°＝30°.

23.【解】(1)△ABC是“特征三角形”.理由如下：

因为∠A＝30°，∠B＝50°，

所以∠C＝180°－30°－50°＝100°.

所以∠C＝2∠B，所以△ABC是“特征三角形”.

(2)因为△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，

①当∠D是“主特征角”时，∠D＝2∠E，所以∠E＝ ∠D＝ ×96°＝48°；

②当∠F是“主特征角”时，∠F＝2∠E，

设∠E＝x°，则∠F＝2x°，

因为∠D＋∠E＋∠F＝180°，∠D＝96°，

所以x＋2x＋96＝180，

解得x＝28，所以∠E＝28°.

24.【解】(1)∵△ABD和△ADC不等底、等高，

BD∶CD＝2∶3，

∴S_△ABD＝ S_△ABC＝ ×20＝8(cm²).

∴S_△ADC＝20－8＝12(cm²).

∵E是AD的中点，

∴S_△CDE＝ S_△ADC＝ ×12＝6(cm²).

(2)∵E为AD的中点，

∴S_△BDE＝ S_△ABD＝ ×8＝4(cm²).

∴S_△BCE＝S_△BDE＋S_△CDE＝4＋6＝10(cm²).

∵F是CE的中点，

∴S_△BEF＝ S_△BCE＝ ×10＝5(cm²).

25.【解】(1)∵a－b＜c，a＋c＞b，

∴a－b－c＜0，a＋c－b＞0，

∴｜a－b－c｜－｜a＋c－b｜

＝－(a－b－c)－(a＋c－b)

＝－a＋b＋c－a－c＋b

＝2b－2a.

(2)当∠DBE为50°时，BE∥AC.理由如下：

∵∠ABC＝100°，∠DBE＝50°，

∴∠EBA＝180°－∠ABC－∠DBE＝180°－100°－50°＝30°.

又∵∠1＝30°，

∴∠EBA＝∠1.

∴BE∥AC.

(3)当∠ABE∶∠2＝3∶5时，直线BE与AC平行.理由：在△ABC中，∠ABC＝100°，∠1＝30°，

∴∠2＝180°－∠ABC－∠1＝180°－100°－30°＝50°.

∵∠ABE∶∠2＝3∶5，

∴∠ABE＝30°＝∠1.

∴BE∥AC.

26.【解】(1)在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，在△COD中，∠C＋∠D＋∠COD＝180°.

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.

(2)∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

由(1)的结论得

∠P＋∠3＝∠ABC＋∠2，

∠P＋∠1＝∠ADC＋∠4，

∴2∠P＋∠1＋∠3＝∠2＋∠4＋∠ABC＋∠ADC.

∴∠P＝ (∠ABC＋∠ADC).

又∵∠ABC＝35°，∠ADC＝15°，

∴∠P＝25°.

(3)∠P＝32°.理由如下：如图.

∵△AOB的外角∠FAD的平分线所在的直线是AP，CP平分△OCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

∵∠PAD＝180°－∠2，∠PCD＝180°－∠3，

∴∠P＋(180°－∠2)＝∠ADC＋(180°－∠3).又易得∠P＋∠1＝∠ABC＋∠4，

∴2∠P＝∠ABC＋∠ADC.

∴∠P＝ (∠ABC＋∠ADC).

又∵∠ABC＝35°，∠ADC＝29°，

∴∠P＝ ×(35°＋29°)＝32°.

(4)∠P＝ α＋ β