第12章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（母题：教材P146习题T1）下列语句中，不是命题的是（　　）

A.两点确定一条直线 B.过直线外一点作已知直线的垂线

C.同旁内角互补 D.如果a＝b，c＞0，那么ac＞bc

2.下列命题是假命题的是（　　）

A.如果a＞0，b＞0，那么a＋b＞0 B.直角都相等

C.若｜a｜＝6，则a＝6 D.两直线平行，同位角相等

3.下列数据中，可以说明命题“若a²＞b²，则a＞b”是假命题的是（　　）

A.a＝－3，b＝2 B.a＝3，b＝2

C.a＝2，b＝－1 D.a＝3，b＝－2

4.如图，下列推理及依据正确的是（　　）

（第4题）

A.因为DE∥BC，所以∠1＝∠C.依据：同位角相等，两直线平行

B.因为∠2＝∠3，所以DE∥BC.依据：同位角相等，两直线平行

C.因为DE∥BC，所以∠2＝∠3.依据：两直线平行，内错角相等

D.因为∠1＝∠C，所以DE∥BC.依据：两直线平行，同位角相等

5.【2023·扬州梅岭中学二模】某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为32°，那么被测物体表面的倾斜角∠α为（　　）

（第5题）

A.24° B.32° C.36° D.58°

6. 如图，AB、CD、EF两两相交于点P、M、N，连接AC、BE、DF，则图中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝（　　）

（第6题）

A.180° B.360° C.540° D.720°

7.【2023·南京钟英中学月考】给出下列4个命题：①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②互补的两个角中一定有一个锐角；③两直线平行，同位角相等；④一组同旁内角的两条角平分线互相垂直.其中真命题的个数为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.【2023·福州七年级期中】如图，AB∥CD，点E在AB上，∠AEF＝α（10°＜α＜50°），点O，M，N分别在EF，CD，AB上，∠MOE＝∠NOF，∠OMD＝60°，则∠ONE不可能取到的度数为（　　）

（第8题）

A.18° B.50° C.68° D.80°

二、填空题（每题3分，共30分）

9.命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的条件是　　　　　　　，结论是　　　　　　　.

10.【2022·南京市玄武区期中】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……，那么……”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　.

11.命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是　　　　　　　　.

12.下列命题：①同位角相等；②若a＞b，则a－c＞b－c；③四边形是多边形；④同旁内角互补，两直线平行.其中原命题和逆命题都是真命题的是　　　　.（填序号）

13.【2023·上海宝山区期末】如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，CD、BE交于点O，如果∠EOC＝50°，那么∠A＝　　　　°.

（第13题）

14.（母题：教材P166复习题T13）如图，AB∥CD，∠A＝38°，∠C＝∠E，则∠C的度数为　　　　.

（第14题）

15.在△ABC中，∠A＝58°，则∠B和∠C的平分线相交所成的锐角的度数为　　　　.

16.如图，直线l∥m，将含有45°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线m上.若∠1＝25°，则∠2的度数为　　　　.

（第16题）

17.【2023·福州第一中学期末】如图①所示，三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图②），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图③），则∠ABC的大小为　　　　°.

（第17题）

18.【2023·扬州邗江区期末】如图，点M，N分别在∠AOB两边OA，OB上运动（不与点O重合），在运动的过程中，∠AMN＋∠BNM＝224°，ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数为　　　　.

（第18题）

三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）

19.如图，已知∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠3＝∠4，求证：AD∥BC，AE∥BD.请完成下列证明过程.

证明：

∵∠5＝∠6（　　　），

∴AB∥CE（　　　　　　　　　　　　），∴∠3＝　　　　.

∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠BDC（　　　　　　），

∴　　　　∥BD（　　　　　　　　　　　　），∴∠2＝　　　　.

∵∠1＝∠2，∴∠1＝　　　　，∴AD∥BC.

20.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例说明.

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）相等的角是内错角；

（4）等底等高的三角形面积相等.

21.根据真命题“若a－b≥0，则a≥b”，比较多项式x²＋2y²与2xy＋4y－4的大小.

22.【2023·徐州五中月考】证明：直角三角形的两个锐角互余.（在下列方框内画出图形）

已知：

求证：

证明：

23.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF.

24.【2023·北京十三中月考】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，CA平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F.

（1）求∠DAC的大小；

（2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小.

25.（母题：教材P42复习题T19）如图，把△ABC沿DE折叠，点A的落点记为A'，当点A'在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间存在的一种数量关系始终保持不变，请写出这种数量关系，并加以证明.

26.【2023·镇江华阳中学月考】在△ABC中，∠A＝70°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α.

（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图①所示，则∠1＋∠2＝　　　　（用含∠α的代数式表示）；

（2）若点P位于如图②所示的位置，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由.

（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并求出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式.

第12章综合素质评价

一、1.B　2.C　3.A　4.C

5.B 【点拨】如图，因为MN∥AB，OD⊥MN，

所以OD⊥AB，所以∠PQO＝90°，

易知OC⊥AD，

所以∠ACP＝90°，

又因为∠APC＝∠OPQ，

所以∠BAC＝∠COD＝32°，即∠α＝32°.

6.B 【点拨】易知∠A＋∠C＝∠MNB，∠B＋∠E＝∠APM，∠D＋∠F＝∠EMN，∠MNB＋∠APM＋∠EMN＝360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠MNB＋∠APM＋∠EMN＝360°.

7.B 【点拨】①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；②互补的两个角有可能都是直角，原命题是假命题；③两直线平行，同位角相等，是真命题；④两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的两条角平分线互相垂直，原命题是假命题.其中真命题的个数为2，故选B.

8.A 【点拨】如图，设OM交AB于点G，

因为AB∥CD，∠OMD＝60°，

所以∠OGE＝∠OMD＝60°，

因为∠EOG＋∠OGE＋∠GEF＝180°，∠AEF＝α，

所以∠GOE＝120°－α，

因为∠MOE＝∠NOF，所以∠NOF＝120°－α，

所以∠NOG＝180°－240°＋2α＝2α－60°，

所以∠NOE＝∠NOG＋∠GOE＝60°＋α，

所以∠ONE＝180°－∠NOE－∠NEF＝120°－2α，

因为10°＜α＜50°，所以20°＜120°－2α＜100°，

即20°＜∠ONE＜100°.故选A.

二、9.∠1＝∠2，∠2＝∠3；∠1＝∠3

10.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行

11.末位数字是5的数能被5整除　12.②④

13.50 【点拨】因为BE为AC边上的高，所以∠OEC＝90°，又因为∠EOC＝50°，所以∠ECO＝90°－50°＝40°，因为CD为AB边上的高，所以∠ADC＝90°，所以∠A＝90°－∠ECO＝50°.

14.19°　15.61°　16.20°

17.72 【点拨】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A＋∠EDA＝2x，所以∠ABC＝∠C＝2x，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以5x＝180°，所以x＝36°，所以∠ABC＝72°.

18.22° 【点拨】因为∠AMN和∠BNM是△OMN的外角，

所以∠AMN＝∠O＋∠ONM，∠BNM＝∠O＋∠OMN，

所以∠AMN＋∠BNM＝2∠O＋∠ONM＋∠OMN＝224°.

又因为∠O＋∠OMN＋∠ONM＝180°，

所以∠O＝224°－180°＝44°.

因为∠EMN是△FMN的外角，

所以∠EMN＝∠F＋∠FNM，

因为ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，

所以∠EMN＝ ∠AMN，∠FNM＝ ∠ONM.

所以∠F＝∠EMN－∠FNM＝ ∠AMN－ ∠ONM＝ （∠AMN－∠ONM）＝ ∠O＝ ×44°＝22°.

三、19.已知；内错角相等，两直线平行；∠BDC；等量代换；AE；同位角相等，两直线平行；∠ADB；∠ADB

20.【解】（1）同旁内角互补，两直线平行.真命题.

（2）同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线.真命题.

（3）内错角相等.假命题.反例：如图，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2.（反例不唯一）

（4）面积相等的三角形等底等高.假命题.反例：底边是2，高是6的三角形与底边是6，高是2的三角形.（反例不唯一）

21.【解】因为x²＋2y²－（2xy＋4y－4）

＝x²＋2y²－2xy－4y＋4

＝x²－2xy＋y²＋y²－4y＋4

＝（x－y）²＋（y－2）²≥0，

所以x²＋2y²≥2xy＋4y－4.

22.【解】画出图形如图.

已知：在△ABC中，∠C＝90°.

求证：∠A与∠B互余.

证明：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∠C＝90°，

所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°，

所以∠A与∠B互余.

23.【证明】因为∠A＝∠C＝90°，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，

所以∠ADC＋∠ABC＝180°.

因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

所以∠FDC＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC，

所以∠FDC＋∠CBE＝90°.

因为∠C＝90°，所以∠BEC＋∠CBE＝90°，

所以∠FDC＝∠BEC，所以BE∥DF.

24.【解】（1）因为AD∥BC，

所以∠D＋∠BCD＝180°，∠DAC＝∠ACB，

所以∠BCD＝180°－116°＝64°，

因为CA平分∠BCD，

所以∠ACB＝ ∠BCD＝ ×64°＝32°，

所以∠DAC＝∠ACB＝32°.

（2）因为EF∥AC，

所以∠BEF＝∠ACB＝32°，∠BFE＝∠BAC，

因为∠BFE＝3∠B，∠BEF＋∠BFE＋∠B＝180°，

所以3∠B＋∠B＋32°＝180°，

所以∠B＝37°，

所以∠BAC＝∠BFE＝3×37°＝111°.

25.【解】∠A与∠1＋∠2之间的数量关系为2∠A＝∠1＋∠2.

证明如下：

设∠AED＝x，∠ADE＝y，

因为△ABC沿DE折叠，所以∠A'ED＝x，∠A'DE＝y，

因为∠A＋x＋y＝180°，∠1＋2x＝180°，∠2＋2y＝180°，

所以x＋y＝180°－∠A，∠1＋∠2＋2x＋2y＝2×180°，

所以∠1＋∠2＋2（180°－∠A）＝2×180°，

所以2∠A＝∠1＋∠2.

26.【解】（1）∠α＋70°

（2）结论：∠2－∠1＝∠α－70°.

证明如下：

设PD与AB交于点F，根据三角形外角的性质可知，∠AFD＝∠1－∠A＝∠1－70°，∠2＝∠α＋∠PFE，　

因为∠PFE＝∠AFD，所以∠2＝∠α＋∠1－70°，

所以∠2－∠1＝∠α－70°.

（3）如图①，

由三角形外角的性质得：∠AFE＝∠2－∠A＝∠2－70°，∠CFP＝∠1＋∠α，

因为∠AFE＝∠CFP，所以∠2－70°＝∠1＋∠α，

所以∠2－∠1＝∠α＋70°.

如图②，

由三角形外角的性质得：∠AFE＝∠2－∠A＝∠2－70°，∠CFP＝∠1－∠α，

因为∠AFE＝∠CFP，所以∠2－70°＝∠1－∠α，

所以∠2－∠1＝70°－∠α.

综上所述，∠2－∠1＝∠α＋70°或∠2－∠1＝70°－∠α.