第十章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)

A．40° B．50° C．60° D．70°

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)

A．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 B．∠A＋∠B＝90°

C．a∶b∶c＝2∶3∶4 D．b²＝a²－c²

3．下列命题的逆命题是真命题的是(　　 )

A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等

C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|

4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)

A．AC＝AD B．∠ABC＝∠BAD

C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD

5．【2022·大庆】下列说法不正确的是(　　)

A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C．有两个角互余的三角形是直角三角形

D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BDAD的值为(　　)

A． B． C． D．

7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为(　　)

A．55 B．16 C．6 D．4

8．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在(　　)

A．△ABC三条角平分线的交点处

B．△ABC三条中线的交点处

C．△ABC三条高线所在直线的交点处

D．△ABC三边垂直平分线的交点处

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 (　　)

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

10．如图，已知点E，C，D在同一直线上，△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是(　　)

A．26° B．22° C．34° D．30°

11．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3

1 2．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是(　　)

A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC

B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE

C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC

D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE

二、填空题(每题3分，共18分)

13．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中_____________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是___________________．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长为________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD＝PB，则PD＝________．

16．【2023·重庆】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．

17．【新考法】如图，依据尺规作图的痕迹，∠α的度数为________°.

18．如图，已知∠MON＝30°，点A₁，A₂，A₃，…在射线ON上，点B₁，B₂，B₃，…在射线OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均为等边三角形，若OA₁＝1，则△A₆B₆A₇的边长为________．

三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)

19．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.求证：BC＝EF.

20．如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝7.

(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE.

(2)求△ABE的周长．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠CAB交CB于点D，求CD的长．

22．【2023·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.

(1)求证：△ADE≌△ADF.

(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．

23．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CM＝BM，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.

(1)求∠ECM的度数．

(2)求证：CE＝CM.

(3)若AB＝4，求线段FC的长．

24．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.

操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时：

(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明．

(2)设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是__________，并加以证明．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.

(1)求点B的坐标．

(2)连接BQ，在点P运动的过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

答案

一、1．D　

2．C　【点拨】A．∵∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，

∴∠A＋∠B＝∠C.又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形；

B．∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－90°＝90°.

∴△ABC是直角三角形；C．设a＝2x，b＝3x，c＝4x.∵a²＋b²＝4x²＋9x²＝13x²，c²＝16x²，∴a²＋b²≠c².∴△ABC不是直角三角形；D．∵b²＝a²－c²，∴b²＋ c²＝a².∴△ABC是直角三角形．

3．C　4．A　5．A　6．C

7．D　【点拨】由题意可知∠CAB＝∠BED＝90°，∠CBD＝90°，CB＝BD，

∴∠ACB＝∠EBD＝90°－∠ABC.

在△ABC和△EDB中，

∴△ABC≌△EDB(AAS)．∴AB＝ED.

∵正方形a，c的面积分别为5和11，

∴AC²＝5，AB²＝DE²＝11.

∴BC＝＝＝4，

即正方形b的边长为4.

8．D　9．C

10．A　【点拨】∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，

∴∠DCG＝180°－∠D－∠CGD＝66°.

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠ACB＝2∠DCG＝132°.

∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝132°.

∴∠E＝180°－∠D－∠F＝180°－22°－132°＝26°.

11．C

12．A　【点拨】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

若CD＝BE，又∵BC＝CB，

∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，

因此无法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命题．

若∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD，

∴CD＝BE.故B是真命题．

若BD＝CE，则AD＝AE，

在△ABE和△ACD中，，

∴△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE.

又∵∠ABC＝∠ACB，

∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命题．

若∠DCB＝∠EBC，则在△DBC和△ECB中，

∴△DBC≌△ECB，

∴BD＝CE，故D是真命题.

二、13．有两个角是直角；内错角相等，两直线平行

14．2　

15．2　【点拨】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，

∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝6.

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAB＝∠CAB＝30°.∵PD＝PB，

∴∠PDB＝∠B＝30°.

∴∠APD＝∠B＋∠PDB＝60°.

∴∠ADP＝180°－∠APD－∠DAB＝90°.

∴AP＝2PD.∵AP＋BP＝AB，∴2PD＋PD＝6.

∴PD＝2.

16．3　【点拨】∵∠BAC＝90°，

∴∠EAB＋∠EAC＝90°.

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.

∴∠ACF＋∠EAC＝90°.∴∠ACF＝∠BAE.

在△AFC和△BEA中，

∴△AFC≌△BEA.

∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1.

∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.

17．60

18．32　【点拨】∵△A₁B₁A₂是等边三角形，

∴A₁B₁＝A₂B₁，∠A₁B₁A₂＝∠B₁A₁A₂＝∠A₁A₂B₁＝60°.

∴∠OA₁B₁＝120°.∵∠MON＝30°，

∴∠OB₁A₁＝180°－120°－30°＝30°.

∴OA₁＝A₁B₁＝A₂B₁＝1.又∵∠A₁B₁A₂＝60°，

∴∠A₂B₁B₂＝180°－60°－30°＝90°.

∵△A₂B₂A₃是等边三角形，

∴∠B₂A₂A₃＝60°.∴∠B₁A₂B₂＝60°.

∴∠B₁B₂A₂＝90°－∠B₁A₂B₂＝30°.

∴A₂B₂＝2B₁A₂＝2.

同理得出B₃A₃＝2B₂A₃＝2A₂B₂，

∴B₃A₃＝4B₁A₂＝4.

以此类推，A₆B₆＝32B₁A₂＝32.

三、19．【证明】∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，

即AB＝DE.∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF.

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SAS)．

∴ BC＝EF.

20．【解】(1)如图．

(2)∵DE垂直平分AC，

∴AE＝EC.

∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.

∵AB＝5，BC＝7，

∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，

即△ABE的周长为12.

21．【解】过点D作DE⊥AB于点E.

∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝ED.

在Rt△ACD和Rt△AED中，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AE＝AC＝5.

∴BE＝AB－AE＝13－5＝8.

在Rt△ACB中，BC＝＝＝12.

设CD＝ED＝x，则BD＝12－x，

在Rt△DEB中，BD²＝ED²＋BE²，

∴(12－x)²＝x²＋8²，解得x＝.

∴CD＝.

22．(1)【证明】∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD.

由作图知AE＝AF.

在△ADE和△ADF中，

∴△ADE≌△ADF(SAS)．

(2)【解】∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，

∴∠EAD＝∠BAC＝40°.

由作图知AE＝AD.∴∠AED＝∠ADE.

∴∠ADE＝×(180°－40°)＝70°.

∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.

23．(1)【解】∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，

∴∠ABC＝40°.

∵∠ACE＝30°，∴∠ECB＝90°－30°＝60°.

∵CM＝BM，∴∠MCB＝∠ABC＝40°.

∴∠ECM＝∠ECB－∠MCB＝60°－40°＝20°.

(2)【证明】∵EF⊥AC，∴∠AFE＝∠CFE＝90°.

∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，

∴∠AEF＝90°－∠A＝40°，∠CEF＝90°－∠ACE＝60°.

∴∠CEM＝180°－∠AEF－∠CEF＝80°.

∵∠MCB＝∠B＝40°，

∴∠CMA＝∠MCB＋∠B＝80°.

∴∠CMA＝∠CEM.∴CE＝CM.

(3)【解】∵∠A＝50°，∠CMA＝80°，

∴∠ACM＝180°－∠A－∠CMA＝50°.

∴∠A＝∠ACM.

∴AM＝CM＝BM＝CE＝AB＝2.

在Rt△EFC中，∠EFC＝90°，∠ECF＝30°，

∴EF＝CE＝1.

∴FC＝＝.

24．(1)DE∥AC

【证明】∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，

∴AC＝CD.

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.

∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°.

∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE.

∴DE∥AC.

(2)S₁＝S₂

【证明】由(1)知△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD.

∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，

∴AD＝AC＝AB.

∴BD＝AD.∴S_△BDC＝S_△ADC.

又∵DE∥AC，

∴S_△ADC＝S_△AEC.∴S_△BDC＝S_△AEC，

即S₁＝S₂.

25．【解】(1)如图，过点B作BC⊥x轴于点C.

∵A(0，2)，∴OA＝2.

∵△AOB为等边三角形，

∴ ∠AOB＝60°，OB＝OA＝2.

∴∠BOC＝30°.

又∵∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝1，

∴OC＝＝.

∴点B的坐标为(，1)．

(2)∠ABQ的大小始终不变．

∵△APQ，△AOB均为等边三角形，

∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.

∴∠PAQ－∠OAQ＝∠OAB－∠OAQ，

即∠PAO＝∠QAB.

在△APO与△AQB中，

∴△APO≌△AQB(SAS)．

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.

(3)∵△ABO是等边三角形，

∴∠ABO＝60°.∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°，

∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.∴∠OBQ＝30°.

又∵OB＝2，

∴OQ＝OB＝1.∴BQ＝＝.

由(2)可知△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝.

∴点P的坐标为(－，0)．