第9章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（母题：教材P67例题）计算a·（－ab）²的结果是（　　）

A.－a³a² B.a³b²

C.a²b² D.－a²b²

2.把多项式m²n－mn因式分解，结果正确的是（　　）

A.n（m²－m） B.m（mn－n）

C.mn（m－1） D.mn（m＋1）

3.【2023·成都】下列计算正确的是（　　）

A.（－3x）²＝－9x² B.7x＋5x＝12x²

C.（x－3）²＝x²－6x＋9 D.（x－2y）（x＋2y）＝x²＋4y²

4.（母题：教材P70练一练T3）下列多项式中，与单项式－3a²b的积是6a³b²－2a²b²－3a²b的是（　　）

A.－2ab－ b B.－2ab＋ b

C.－2ab－ b＋1 D.－2ab＋ b＋1

5.【2023·徐州七年级期中】如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为20＝6²－4²，所以称20为“和融数”.下面4个数中为“和融数”的是（　　）

A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020

6.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分（阴影部分）沿虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图②），利用图①和图②中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是（　　）

A.（a－b）²＝a²－2ab＋b²

B.（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²

C.a（a＋b）＝a²＋ab

D.（a＋b）（a－b）＝a²－b²

7. 已知a＋b＝3，ab＝1，则多项式a²b＋ab²－a－b的值为（　　）

A.－1 B.0 C.3 D.6

8.【2023·江苏暑假作业】在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式x⁴－y⁴，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x²＋y²），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x²＋y²＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x³－xy²，取x＝50，y＝20，用上述方法产生的密码不可能是（　　）

A.503070 B.507030 C.307040 D.703050

二、填空题（每题3分，共30分）

9.2x³y²与12x⁴y的公因式是　　　　.

10.（母题：教材P70例1）计算：2a（3a－4b）＝　　　　.

11.已知x²－2（m＋3）x＋9是一个完全平方式，则m＝　　　　.

12.【2023·邵阳】因式分解：3a²＋6ab＋3b²＝　　　　.

13.【2023·扬州二模】若代数式（x－2）（x－k）（x－4）化简运算的结果为x³＋ax²＋bx＋8，则a＋b＝　　　　.

14.【2023·深圳】已知a，b满足a＋b＝6，ab＝7，则a²b＋ab²的值为　　　　.

15.已知代数式x²＋2x＋5可以利用完全平方公式变形为（x＋1）²＋4，进而可知x²＋2x＋5的最小值是4.以此方法，多项式a²－2ab＋2b²－6b＋27的最小值为　　　　.

16.有足够多如图①的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙地拼成如图②的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：　　　　　　　　　.

17. 若一个整数能表示成a²＋b²（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如：因为5＝2²＋1²，所以5是一个“完美数”.已知M是一个“完美数”，且M＝x²＋4xy＋5y²－12y＋k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　　　　.

18.【2023·石家庄四十二中月考】已知两个正数a，b，可按规则c＝ab＋a＋b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，以此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.

（1）若a＝1，b＝3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是　　　　；

（2）若a＞b＞0，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（a＋1）^m（b＋1）ⁿ－1（m，n为正整数），则m＋n＝　　　　.

三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）

19.（母题：教材P89复习题T1）计算：

（1）[xy（x²－xy）－x²y（x－y）]·3xy²；

（2）2（m－1）²－（2m＋3）（2m－3）.

20.分解因式：

（1）5x²y－25x²y²＋40x³y； （2）x²（a－b）²－y²（b－a）².

21.【2023·盐城一模】先化简，再求值：（x－3）²＋（x＋2）（x－2）＋3x（2－x），其中x＝－2.

22.已知代数式（ax－3）（2x＋4）－x²－b化简后不含x²项和常数项，求a，b的值.

23.求2（3＋1）（3²＋1）（3⁴＋1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）的结果的个位数字.

24.欢欢与乐乐两人分别计算（2x＋a）（3x＋b），欢欢抄成2x（3x＋b），得到的结果为6x²＋4x；乐乐抄成（2x－a）（3x＋b），得到的结果为6x²－5x－6.

（1）式子中的a、b的值各是多少？

（2）请计算出原题的正确答案.

25.【2023·嘉兴改编】观察下面的等式：3²－1²＝8×1，5²－3²＝8×2，7²－5²＝8×3，9²－7²＝8×4，….

（1）尝试：13²－11²＝8×　　　　；

（2）归纳：（2n＋1）²－（2n－1）²＝8×　　　　（用含n的代数式表示，n为正整数）；

（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.

26.【2023·淮安淮阴中学月考】如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，图②是用这几类卡片拼成的大长方形，从整体上看，大长方形的面积为长乘以宽，即（a＋3b）（a＋2b）；从局部看，这个大长方形是由1张A型卡片、5张B型卡片、6张C型卡片拼成，故面积又可看成a²＋5ab＋6b².于是就有等式（a＋3b）（a＋2b）＝a²＋5ab＋6b².

（1）仔细分析图③，我们可以从图③得出的等式是　　　　　　　　；

（2）小明用若干张卡片拼成一个长为（2a＋b）、宽为（a＋2b）的长方形，需要A型卡片　　　　张，B型卡片　　　　张，C型卡片　　　　张；

（3）如果用上述拼图的方法能够将多项式a²＋mab＋12b²（m为正整数）因式分解，那么在①13，②7，③8，④12这些数中，m的值可能为　　　　；（请填写序号）

（4）现有A型卡片2张，B型卡片3张，C型卡片3张，从这8张卡片中取出6张（每种型号都要取），能拼成一个长方形的情况有几种？请你运用图形面积的不同表示方法，直接写出所有符合上述情况的等式.

第9章综合素质评价

一、1.B　2.C　3.C　4.D

5.D 【点拨】设这两个连续偶数为n，n＋2，应用平方差公式进行计算可得（n＋2）²－n²＝4n＋4，令各选项与其相等计算n的值，即可得出答案.

6.D 【点拨】题图①中阴影部分的面积等于a²－b²，题图②中阴影部分的面积是 （2a＋2b）（a－b）＝（a＋b）·（a－b），根据两个阴影部分的面积相等，可知（a＋b）（a－b）＝a²－b².

7.B 【点拨】a²b＋ab²－a－bs

＝（a²b－a）＋（ab²－b）

＝a（ab－1）＋b（ab－1）

＝（ab－1）（a＋b）.

将a＋b＝3，ab＝1代入，得原式＝0.

8.C 【点拨】x³－xy²＝x（x²－y²）＝x（x＋y）（x－y）.

因为x＝50，y＝20，所以各个因式的值为x＝50，x＋y＝70，x－y＝30，

所以产生的密码不可能是307040.

二、9.2x³y　10.6a²－8ab　11.－6或0　12.3（a＋b）²

13.－3 【点拨】（x－2）（x－k）（x－4）＝（x²－kx－2x＋2k）（x－4）＝x³－4x²－kx²＋4kx＋8x－2x²＋2kx－8k＝x³－（6＋k）x²＋（6k＋8）x－8k.

因为化简运算的结果为x³＋ax²＋bx＋8，

所以k＝－1，a＝－（6＋k）＝－5，b＝6k＋8＝2，

所以a＋b＝－3.

14.42

15.18 【点拨】a²－2ab＋2b²－6b＋27＝a²－2ab＋b²＋b²－6b＋9＋18＝（a－b）²＋（b－3）²＋18.所以最小值为18.

16.a²＋3ab＋2b²＝（a＋2b）（a＋b）【点拨】用两种不同方法表示长方形的面积.

17.36 【点拨】M＝x²＋4xy＋4y²＋y²－12y＋k＝（x＋2y）²＋y²－12y＋k.

因为M是一个“完美数”，所以y²－12y＋k是一个完全平方式，所以k＝ ＝36.

18.（1）255；（2）13 【点拨】（1）依题意，第一次扩充得到c＝ab＋a＋b＝3＋1＋3＝7，

第二次扩充：a＝3，b＝7，c＝21＋3＋7＝31，

第三次扩充：a＝7，b＝31，c＝7×31＋7＋31＝255.

（2）依题意，第一次扩充得到c₁＝ab＋a＋b＝（a＋1）（b＋1）－1，

因为a＞b＞0，所以第二次扩充得到c₂＝[（a＋1）（b＋1）－1＋1]（a＋1）－1＝（a＋1）²（b＋1）－1，

第三次扩充得到c₃＝[（a＋1）²（b＋1）－1＋1][（a＋1）（b＋1）－1＋1]－1＝（a＋1）³（b＋1）²－1，

第四次扩充得到c₄＝[（a＋1）³（b＋1）²－1＋1][（a＋1）²（b＋1）－1＋1]－1＝（a＋1）⁵（b＋1）³－1，

第五次扩充得到c₅＝[（a＋1）⁵（b＋1）³－1＋1][（a＋1）³（b＋1）²－1＋1]－1＝（a＋1）⁸（b＋1）⁵－1.

所以m＝8，n＝5，所以m＋n＝13.

三、19.【解】（1）原式＝（x³y－x²y²－x³y＋x²y²）·3xy²＝0.

（2）原式＝2（m²－2m＋1）－[（2m）²－3²]＝2m²－4m＋2－（4m²－9）＝2m²－4m＋2－4m²＋9＝－2m²－4m＋11.

20.【解】（1）原式＝5x²y（1－5y＋8x）.

（2）原式＝（a－b）²（x²－y²）＝（a－b）²（x－y）（x＋y）.

21.【解】原式＝x²－6x＋9＋x²－4＋6x－3x²＝－x²＋5.

当x＝－2时，原式＝－（－2）²＋5＝1.

22.【解】原式＝2ax²＋4ax－6x－12－x²－b＝（2a－1）x²＋（4a－6）x＋（－12－b）.

因为代数式化简后不含x²项和常数项，

所以2a－1＝0，－12－b＝0，所以a＝ ，b＝－12.

23.【解】原式＝（3－1）（3＋1）（3²＋1）（3⁴＋1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）＝（3²－1）（3²＋1）（3⁴＋1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）＝（3⁴－1）（3⁴＋1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）＝（3⁸－1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）＝…＝（3⁶⁴－1）（3⁶⁴＋1）＝3¹²⁸－1.

因为3¹＝3，3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，3⁵＝243，……，

所以3ⁿ的个位数字按3、9、7、1每4个循环一次.128÷4＝32，所以3¹²⁸的个位数字是1，所以3¹²⁸－1的结果的个位数字是0，即2（3＋1）（3²＋1）（3⁴＋1）（3⁸＋1）…（3⁶⁴＋1）的结果的个位数字是0.

24.【解】（1）由题意，得2x（3x＋b）＝6x²＋4x，（2x－a）（3x＋b）＝6x²－5x－6，所以6x²＋2bx＝6x²＋4x，6x²－（3a－2b）x－ab＝6x²－5x－6.所以2b＝4，3a－2b＝5，解得a＝3，b＝2.

（2）（2x＋3）（3x＋2）＝6x²＋4x＋9x＋6＝6x²＋13x＋6.

25.【解】（1）6　（2）n

（3）（2n＋1）²－（2n－1）²

＝（2n＋1＋2n－1）（2n＋1－2n＋1）

＝4n·2

＝8n.

26.【解】（1）（3a＋b）（a＋2b）＝3a²＋7ab＋2b²

（2）2；5；2 【点拨】如图①所示，用不同的方法计算面积时能得到（2a＋b）（a＋2b）＝2a²＋5ab＋2b².

所以需要A型卡片2张，B型卡片5张，C型卡片2张.

（3）①②③【点拨】当m＝13时，a²＋13ab＋12b²＝（a＋12b）（a＋b），可以，符合题意；

当m＝7时，a²＋7ab＋12b²＝（a＋3b）（a＋4b），可以，符合题意；

当m＝8时，a²＋8ab＋12b²＝（a＋2b）（a＋6b），可以，符合题意；

当m＝12时，a²＋12ab＋12b²，不能，不符合题意.

（4）（a＋b）（a＋2b）＝a²＋3ab＋2b²和（a＋b）（2a＋b）＝2a²＋3ab＋b².

【点拨】有2种情况，

①如图②，A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片2张，

可得等式为（a＋b）（a＋2b）＝a²＋3ab＋2b²；

②如图③，A型卡片2张，B型卡片3张，C型卡片1张，

可得等式为（a＋b）（2a＋b）＝2a²＋3ab＋b².

综上，符合上述情况的等式为（a＋b）（a＋2b）＝a²＋3ab＋2b²和（a＋b）（2a＋b）＝2a²＋3ab＋b².