【324875】2024七年级数学下册 第8章 幂的运算综合素质评价（新版）苏科版

第8章综合素质评价

一、选择题（每题3分，共24分）

1.【2023·宿迁期中】计算a²·a³的结果是（　　）

A.a^－1 B.2a⁵ C.a⁵ D.a⁶

2. 下列运算正确的是（　　）

A.2a－a＝1 B.a³·a²＝a⁵

C.（ab）²＝ab² D.（a²）⁴＝a⁶

3.【2023·遂宁】纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000 001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.000 000 5毫米，数据0.000 000 5用科学记数法可以表示为（　　）

A.0.5×10^－6 B.0.5×10^－7

C.5×10^－6 D.5×10^－7

4.计算：（a·a³）²＝a²·（a³）²＝a²·a⁶＝a⁸，其中第一步运算的依据是（　　）

A.同底数幂的乘法法则 B.幂的乘方法则

C.乘法分配律 D.积的乘方法则

5.已知a^a－1÷a＝a，则a＝（　　）

A.3 B.1

C.－1 D.3或±1

6.【2023·南京鼓楼实验中学月考】我们知道：2¹＝2，2²＝4，…，2¹⁰＝1 024，那么2^－20接近于（　　）

A.10^－4 B.10^－6

C.10^－8 D.10^－10

7.已知（x－1）^｜x｜－1有意义且值为1，则x的值为（　　）

A.±1 B.－1

C.－1或2 D.2

8.如图，已知点P从距原点8个单位的点M处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M₁处，第二次从点M₁跳到OM₁的中点M₂处，第三次从点M₂跳到OM₂的中点M₃处，…，依次这样进行下去，第2 024次跳动后，该点到原点O的距离为（　　）

A.2^－2 024 B.2^－2 023 C.2^－2 022 D.2^－2 021

二、填空题（每题3分，共30分）

9.计算：（－3xy³）³＝　　　　　.

10.【2023·无锡二模】已知x²ⁿ＝2，则x⁶ⁿ的值为　　　　.

11.【2023·南京竹山中学月考】计算：（π－3.14）⁰－ ＝　　　　.

12.已知2^a÷4^b＝8，则a－2b的值是　　　　.

13.若0＜x＜1，则x^－1，x，x²的大小关系是　　　　　　.

14. 已知3^x＋1＝6，2^y＋2＝108，则xy的值为　　　　.

15.设x＝5^a，y＝125^a＋1（a为正整数），用含x的代数式表示y，则y＝　　　　.

16.梯形的上、下底的长分别是4×10³cm和8×10³cm，高是1.6×10⁴cm，此梯形的面积是　　　　　.

17.【2023·南师附中期中】若2³＋4³＋6³＋8³＋10³＋12³＋14³＋16³＋18³＝16 200，则3³＋6³＋9³＋12³＋15³＋18³＋21³＋24³＋27³＝　　　　.

18. 我们知道，同底数幂的乘法法则为a^m·aⁿ＝a^m＋n（m，n为正整数）.类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g（m＋n）＝g（m）·g（n），若g（1）＝－ ，则g（2023）·g（2024）＝　　　　　　　　.

三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分）

19.（母题：教材P61复习题T1）计算：

（1）a³·a²·a＋（a²）³； （2）（2m³）³＋m¹⁰÷m－（m³）³.

20.计算：

（1）0.6²⁰²³×（－ ）²⁰²⁴； （2）（－2）^－2＋ ×（2 025－π）⁰.

21.已知2^a＝4^b（a，b是正整数）且a＋2b＝8，求2^a＋4^b的值.

22.（1）比较2²¹与3¹⁴的大小；

（2）比较8⁶与4¹¹的大小.

23.（1）已知2×8^x×16＝2²³，求x的值；

（2）（母题：教材P48习题T4）已知a^m＝2，aⁿ＝3，求a^3m－2ⁿ的值.

24.（母题：教材P59习题T6）某农科所要在一块长为1.2×10⁵ cm，宽为2.4×10⁴ cm的长方形实验地上培育新品种粮食，已知培育每种新品种粮食需一块边长为1.2×10⁴ cm的正方形实验地，这块长方形实验地最多可以培育多少种新品种粮食？

25.【2023·无锡宜兴实验中学期中】若a⊕b＝c，则a^c＝b，例如：2⊕8＝3，则2³＝8.

（1）根据上述规定，若4⊕64＝x，则x＝　　　　；

（2）若2⊕3＝a，2⊕5＝b，2⊕15＝c，求a、b、c之间的数量关系.

26.【2023·泰州外国语学校月考】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），若a^m＝b，则（a，b）＝m.我们叫（a，b）为“雅对”.例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）＋（3，5）＝（3，15）成立.证明如下：

设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3^m＝3，3ⁿ＝5，故3^m·3ⁿ＝3^m＋n＝3×5＝15，则（3，15）＝m＋n，即（3，3）＋（3，5）＝（3，15）.

（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　　　　；（　　　，16）＝4；

（2）计算：（5，2）＋（5，7）＝　　　　，并说明理由；

（3）利用“雅对”定义说明（2ⁿ，3ⁿ）＝（2，3），对于任意非零整数n都成立.

第8章综合素质评价

一、1.C　2.B　3.D　4.D

5.D

6.B 【点拨】因为2¹⁰＝1 024≈10³，所以2²⁰＝（2¹⁰）²≈（10³）²＝10⁶，所以2^－20＝ ≈ ＝10^－6.

7.C 【点拨】因为（x－1）^｜x｜－1＝1，

所以 x－1＝1或

由 解得x＝－1；

由x－1＝1，解得x＝2；

当 时，x无解.

综上，x的值为－1或2.

8.D 【点拨】由题意可得OM＝8，点P从M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M₁处，此时点P到原点O的距离为8× ＝4＝2²＝2^3－1，

第二次从点M₁跳动到OM₁的中点M₂处，此时点P到原点O的距离为8× × ＝8× ＝2＝2^3－2，

第三次从点M₂跳动到OM₂的中点M₃处，此时点P到原点O的距离为8× × × ＝8× ＝2⁰＝2^3－3，

……，

第n次从点M_n－1跳动到OM_n－1的中点M_n处，此时点P到原点O的距离为8× ＝2^3－n，

所以第2 024次跳动后，该点到原点O的距离为2^{3－2 024}＝2^－2 021.　

二、9.－27x³y⁹　10.8　11.4　12.3　13.x²＜x＜x^－1

14.3 【点拨】因为3^x＋1＝3×3^x＝6，

所以3^x＝2.

因为2^y＋2＝108，所以2^y＝27.

所以2^y＝（3^x）^y＝27，即3^xy＝3³.

所以xy＝3.

15.125x³【点拨】y＝125^a＋1＝125×125^a＝125×（5³）^a＝125×（5^a）³＝125x³.

16.9.6×10⁷ cm²【点拨】梯形的面积为（4×10³＋8×10³）×（1.6×10⁴）÷2＝9.6×10⁷（cm²）.

17.54 675 【点拨】因为2³＋4³＋6³＋8³＋10³＋12³＋14³＋16³＋18³＝2³×（1³＋2³＋3³＋…＋9³）＝16 200，所以1³＋2³＋3³＋…＋9³＝2 025，所以3³＋6³＋9³＋12³＋15³＋18³＋21³＋24³＋27³＝3³×（1³＋2³＋3³＋…＋9³）＝27×2 025＝54 675.

18.－ 【点拨】g（2 023）·g（2 024）＝g（2 023＋2 024）＝g（4 047）＝g（1＋1＋1＋…＋1）＝[g（1）]^{4 047}＝ ＝－ .

三、19.【解】（1）原式＝a⁶＋a⁶＝2a⁶.

（2）原式＝8m⁹＋m⁹－m⁹＝8m⁹.

20.【解】（1）原式＝0.6²⁰²³× ×

＝（－1）²⁰²³× ＝（－1）× ＝ .

（2）原式＝ ＋ ×1＝ ＋3＝3 .

21.【解】因为2^a＝4^b＝2^2b，所以a＝2b.

又因为a＋2b＝8，所以4b＝8，解得b＝2.

所以a＝4，所以2^a＋4^b＝2⁴＋4²＝32.

22.【解】（1）2²¹＝（2³）⁷＝8⁷，3¹⁴＝（3²）⁷＝9⁷.

因为8＜9，所以8⁷＜9⁷，即2²¹＜3¹⁴.

（2）8⁶＝（2³）⁶＝2¹⁸，4¹¹＝（2²）¹¹＝2²².

因为18＜22，所以2¹⁸＜2²²，即8⁶＜4¹¹.

23.【解】（1）因为2×8^x×16＝2×2^3x×2⁴＝2²³，所以1＋3x＋4＝23，解得x＝6.

（2）因为a^m＝2，aⁿ＝3，

所以a^3m－2ⁿ＝a^3m÷a²ⁿ＝（a^m）³÷（aⁿ）²＝2³÷3²＝ .

24.【解】[（1.2×10⁵）÷（1.2×10⁴）]×[（2.4×10⁴）÷（1.2×10⁴）]＝20（种）.

答：这块长方形实验地最多可以培育20种新品种粮食.

25.【解】（1）3

（2）因为2⊕3＝a，2⊕5＝b，2⊕15＝c，

所以2^a＝3，2^b＝5，2^c＝15，

因为3×5＝15，所以2^a×2^b＝2^c，所以2^a＋b＝2^c，

所以a＋b＝c.

26.【解】（1）3；±2

（2）（5，14）

理由如下：设（5，2）＝m，（5，7）＝n，则5^m＝2，5ⁿ＝7，

所以5^m·5ⁿ＝5^m＋n＝2×7＝14，

所以（5，14）＝m＋n，

所以（5，2）＋（5，7）＝（5，14）.

（3）设（2ⁿ，3ⁿ）＝a，（2，3）＝b，所以（2ⁿ）^a＝3ⁿ，2^b＝3，

所以（2ⁿ）^a＝（2^b）ⁿ，即2^an＝2^bn，所以an＝bn，

因为n为非零整数，所以a＝b，

即（2ⁿ，3ⁿ）＝（2，3），对于任意非零整数n都成立.