检测内容：第四章 三角形
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)
A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm
2．下列线段是△ABC的AC边上的高的是(A)
A．线段BF B．线段CD C．线段AE D．线段AF
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3．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，若DE＝8，BC＝5，则AE的长为(A)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是(A)
A．65° B．80° C．85° D．90°
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5．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，补充下列哪一个条件后不能判定△ABC≌△DEF(C)
A．BC＝EF B．∠ACB＝∠DFE
C．AC＝DF D．∠A＝∠D
6．如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至点C，使CO＝AO，延长BO至点D，使DO＝BO.若测量得CD＝10 m，则A，B间的距离为(D)
A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m
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7．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为(C)
A．12 B．14 C．16 D．18
8．把△ABC沿直线EF对折，折叠后的图形如图所示，若∠A＝60°，∠1＝96°，则∠2的度数为(A)
A．24° B．25° C．26° D．30°
9. 如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的阴影部分的面积是(A)
A．50 B．62 C．65 D．68
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10．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，角平分线BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列4个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD＋CE.其中正确的结论有(B)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，小明的爸爸买了一张竹床，打开后有两个三角形△ABC和△A′B′C′，设计这两个三角形的主要原因是__三角形具有稳定性__．
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12．如图，已知AC＝BC，要使AD＝BE，还需要添加的一个条件是__∠A＝∠B(答案不唯一)__(填一个即可).
13．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠C＝70°，∠DAE＝10°，则∠B＝__50°__.
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14．在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，AD，CE所在的直线交于点F，若AB＝CF，CD＝5，BD＝2，则△ACF的面积为__7.5或17.5__．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为__12.5__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)在△ABC中，∠B＝∠A＋20°，∠C＝∠B＋20°，求△ABC的三个内角的度数．
解：在△ABC中，因为∠B＝∠A＋20°，∠C＝∠B＋20°，所以∠C＝∠A＋40°，所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋∠A＋20°＋∠A＋40°＝180°，所以∠A＝40°，所以∠B＝60°，∠C＝80°
17．(8分)如图，在Rt△ABC中，点D，E，F在边BC上，且BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC于点F.
(1)以AD为中线的三角形是__△ABC__，以AE为角平分线的三角形是__△ABD__，以AF为高线的钝角三角形是__△ABE，△ABD，△ADE__；
(2)若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
解：(2)在Rt△ABC中，因为∠BAC＝90°，∠B＝35°，所以∠C＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.又因为AF⊥BC，所以∠CAF＝90°－∠C＝90°－55°＝35°
18．(8分)如图，已知线段a及锐角α，求作△ABC，使∠C＝90°，∠B＝2∠α，BC＝a(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
解：作图略，作法：①作∠MCN＝90°；②在CN上截取CB＝a；③以点B为顶点，以BC为一边，在∠MCN的内部作∠CBD＝∠α，BD交CM于点D；④再以点B为顶点，以BD为一边，在∠DBN的内部作∠DBA＝∠α，BA交CM于点A，则△ABC就是所要求作的三角形
19．(12分)如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E，F，D是EF的中点，CF＝AF.
(1)请说明：CD＝BD；
(2)若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．
解：(1)因为BE⊥AE，CF⊥AE，所以∠BED＝∠CFD.因为D是EF的中点，所以ED＝FD.在△CFD与△BED中，因为∠CFD＝∠DEB，DF＝DE，∠CDF＝∠BDE，所以△CFD≌△BED(ASA)，所以CD＝BD
(2)由(1)知△CFD≌△BED，所以CF＝BE＝6.又因为AF＝CF，所以AF＝6.因为D是EF的中点，所以DF＝DE＝3，所以AD＝AF＋DF＝9，所以S△ACD＝AD·CF＝×9×6＝27
20．(12分)如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长至点F，使DF＝BD，过点F作AB的平行线段MF，连接MD并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使点A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
解：在△BDE和△FDM中，因为BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM，所以△BDE≌△FDM(SAS)，所以∠BEM＝∠DMF，所以BE∥MF.又因为AB∥MF，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以点A，C，E在一条直线上
21．(12分)如图，BD，CE是△ABC的高，点F，G分别在射线BD，CE上，且BF＝AC，CG＝AB，连接AG，AF.
(1)如图①，请写出线段AG，AF的关系并说明理由；
(2)如图②，请写出线段AG，AF的关系并说明理由．
解：(1)AG＝AF，AG⊥AF，理由如下：因为BD，CE是△ABC的高，所以BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠ADB＝∠AEC＝90°，所以∠ABF＝90°－∠BAC＝∠ACG.又因为BF＝AC，AB＝CG，所以△ACG≌△FBA(SAS)，所以AG＝AF，∠G＝∠BAF，所以∠GAB＋∠BAF＝∠GAB＋∠G＝90°，所以AG⊥AF
(2)AG＝AF，AG⊥AF，理由如下：因为BD，CE是△ABC的高，所以BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC＝∠D＝90°，所以∠ACG＋∠CAE＝90°，∠FBA＋∠BAD＝90°.又因为∠CAE＝∠BAD，所以∠ACG＝∠FBA.又因为BF＝AC，AB＝CG，所以△ACG≌△FBA(SAS)，所以AG＝AF，∠G＝∠BAF，所以∠BAF＋∠EAG＝∠G＋∠EAG＝90°，所以∠GAF＝180°－(∠BAF＋∠EAG)＝90°，所以AG⊥AF
22．(15分)(1)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__EF＝BE＋DF__；
(2)探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达点E，F处，且OE，OF之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
解：(2)仍然成立，理由如下：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，因为∠B＋∠ADC＝180°＝∠ADG＋∠ADC，所以∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，因为所以△ABE≌△ADG(SAS)，所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又因为∠EAF＝∠BAD，所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.在△AEF和△AGF中，因为所以△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF
(3)连接EF，延长AE，BF相交于点C，因为∠AOB＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°，∠EOF＝70°，所以∠EOF＝∠AOB.又因为OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝(90°－30°)＋(70°＋50°)＝180°，所以符合探索延伸中的条件，所以EF＝AE＋BF＝2×(45＋60)＝210(海里)