期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[新考向·数学文化]我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献.刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”.例：如果把收入10元，记作＋10元，那么支出15元，应记作(　　)

A.－15元 B.0元 C.±15元 D.15元

2．下列运算中，正确的是(　　)

A.3a＋2b＝5ab B.2a³＋3a²＝5a⁵

C.3a²b－3ba²＝0 D.5a²－4a²＝1

3．在下列生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是(　　)

①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③弯曲的公路改直，能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上.

A.①② B.①④ C.②③ D.③④

4．[2024·扬州邗江区期末]下面立体图形的平面展开图与名称不相符的是(　　)

A B C D

5．[2024·广州番禺区一模]表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的有(　　)

(1)abc＞0；(2)－c＞a＞－b；(3) ＞ ；(4)｜c｜＞｜a｜.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个含45°角的三角板的直角顶点重合，∠1＝26°50'28″，则∠2的度数是(　　)

A .56°50'28″

B.33°9'32″

C.26°50'28″

D.63°9'32″

7．一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁＝ ，a_n＝ (n为不小于2的整数)，则a₄的值为(　　)

A. B. C. D.

8．若无论k取什么数，关于x的方程 － ＝1(a，b是常数)的解总是x＝1，则a－b的值是(　　)

A.－ B. C. D.－

9．如图，线段AB表示一根对折后的绳子，现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为32 cm.若AP＝ PB，则这条绳子的原长为(　　)

A.48 cm B.96 cm

C.48 cm或96 cm D.64 cm或96 cm

10．某校为了奖励在“数学知识竞赛“中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒.甲、乙两种盲盒原来的单价和为30元.因市场变化，甲种盲盒降价10％，乙种盲盒提价20％，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了5％.甲、乙两种盲盒原来的单价各是多少元？(　　)

A.20，10 B.25，5 C.22，8 D.18，12

二、填空题(每题3分，共18分)

11．如果温度上升3 ℃，记作＋3 ℃，那么下降2 ℃，记作　　　　.

12．[新视角结论开放题]写出一个系数是1，次数是4的单项式　　　　.

13．已知x＝3是关于x的方程 ＋ ＝1的解，n满足关系式｜m＋n｜＝2，则mn的值是　　　　.

14．[新考法分类讨论法]在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是　　　　cm.

15．[新考法程序计算法]如图，某数学活动小组编制了一个有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序进行运算，即可计算出结果.(其中“ ”表示一个有理数)

若“ ”表示的数为3.(1)若输入的数为－2，则运算结果是　　　　；

(2)若运算结果是 ，则输入的数是　　　　.

16．[母题·2024·广州越秀区期中·教材P188复习题T11]如图，已知在长方形纸片ABCD中，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上，将三角形AEF沿EF翻折，点A落在点A₁处，将三角形DEG沿EG翻折，点D落在点D₁处.有以下四个结论：①若∠A₁ED＝2n°，则∠AEF＝(90－n)°；②若∠FEG＝90°，则A₁，D₁，E三点不一定在同一条直线上；③若∠FEG＝m°(m＞90)，则∠A₁ED₁＝(2m－180)°；④若∠FEG＝m°(m＜90)，则∠A₁ED₁＝(180－2m)°.其中正确的结论有　　　　.

三、解答题(共72分)

17．(6分)计算、解方程：

(1)1×(－2)³－4×(－3)＋5；

(2) －1＝ .

18．(8分) [新考法逆向思维法]下面是一道整式运算的答案，部分答案在破损处看不见了.

【解】原式＝□＋2(3y2－2x)－4(2x－y2)＝－11x＋7y2.

(1)求破损部分的整式；

(2)若｜x－2｜＋(y＋3)²＝0，求破损部分整式的值.

19．(8分)[2024·杭州上城区期末]如图，已知线段a和射线AP.

(1)用圆规在射线AP上截取AB＝3a(保留作图痕迹)；

(2)点C为线段AB的中点，点D在直线AB上，且AD＝a，请你补全图形，并直接写出CD的长.(用含a的式子表示)

20．(10分)[新考向·2024·北京海淀区·期末历史文化]故宫文物医院(故宫博物院文保科技部)传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的有现代科学理念和架构的“文物综合性医院”.半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿.文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作.如果让一名文物修复师单独修复该文物.需要720个月完成.假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？

21．(12分)已知a是最大的负整数，b是－5的相反数，且a，b分别是点A，B在数轴上对应的数.

(1)求a，b的值，并在数轴上标出点A，B；

(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值.

22．(14分)[2024·北京朝阳区期末]如图，长方形的一组邻边长分别为10，m(10＜m＜15)，在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片(图中阴影所示)，这样得到长方形ABCD和长方形EFGH.

(1)线段FG，EF之间的等量关系是　　　　.

(2)记长方形ABCD的周长为C₁，长方形EFGH的周长为C₂，对于任意的m的值，C₁＋C₂的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举出反例.

23．(14分)[新视角存在性探究题]如图，点O是直线MN上一点.将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射线OB.设旋转时间为t秒(0≤t≤12).

(1)当t＝4时(如图①)，求∠AOB的度数.

(2)当射线OA与射线OB重合时(如图②)，求t的值.

(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由.

答案

一、1. A　2. C　3. B　4. B　5. C　6. A

7. A 【点拨】将a₁＝ 代入a_n＝ 中，得到a₂＝ ＝ .

将a₂＝ 代入a_n＝ 中，得到a₃＝ ＝ ，

将a₃＝ 代入a_n＝ 中，得到a₄＝ ＝ .

8. C 【点拨】因为无论k取什么数，关于x的方程 － ＝1(a，b是常数)的解总是x＝1，

所以 － ＝1.

所以4k＋2a－1＋bk＝6.所以(4＋b)k＝7－2a.

所以4＋b＝0，7－2a＝0.

所以a＝ ，b＝－4.

所以a－b＝ －(－4)＝ .

9. C 【点拨】当PB的2倍最长时，得PB＝16 cm，

所以AP＝ PB＝8 cm，

所以AB＝AP＋PB＝24 cm，这条绳子的原长为2AB＝48 cm；

当AP的2倍最长时，得AP＝16 cm.因为AP＝ PB，所以PB＝2AP＝32 cm，所以AB＝AP＋PB＝48 cm.

所以这条绳子的原长为2AB＝96 cm.

10. B 【点拨】设甲种盲盒原来的单价为x元，则乙种盲盒原来的单价为(30－x)元.根据题意，得

x(1－10％)＋(30－x)(1＋20％)＝30×(1－5％)，

解得x＝25，此时30－x＝30－25＝5.

二、11.－2 ℃　12. a³b(答案不唯一)

13.－3或1 【点拨】将x＝3代入方程 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，

解得m＝－1.

将m＝－1代入关系式｜m＋n｜＝2，得｜n－1｜＝2，

解得n＝3或n＝－1.所以mn的值为－3或1.

14.2或8 【点拨】分两种情况讨论：

如图①，当点O在点B的左侧时，

因为AB＝5 cm，OB＝1.5 cm，

所以OA＝AB－OB＝3.5 cm.

因为点O是线段AC的中点，

所以OC＝OA＝3.5 cm.

所以BC＝OC－OB＝2 cm.

如图②，当点O在点B的右侧时，

因为AB＝5 cm，OB＝1.5 cm，

所以OA＝AB＋OB＝6.5 cm.

因为点O是线段AC的中点，

所以OC＝OA＝6.5 cm.所以BC＝OC＋OB＝8 cm.

综上，BC的长是2 cm或8 cm.

15.(1)－7　(2)9

16.①③④【点拨】由折叠的性质，得∠AEF＝∠A₁EF，∠DEG＝∠D₁EG.

对于①，若∠A₁ED＝2n°，

因为∠AEF＋∠FEA₁＋∠A₁ED＝180°，

所以2∠AEF＋2n°＝180°.

所以∠AEF＝(90－n)°.故①正确；

对于②，若∠FEG＝90°，则∠FEA＋∠DEG＝90°.

易知∠FEA₁＋∠GED₁＝90°，

所以点A₁，D₁，E三点一定在同一条直线上.故②错误；

对于③，若∠FEG＝m°(m＞90)，则∠AEF＋∠DEG＝180°－m°.所以∠A₁ED₁＝180°－(∠AEF＋∠A₁EF)－(∠DEG＋∠D₁EG)＝180°－2(∠AEF＋∠DEG)＝(2m－180)°.故③正确；

对于④，若∠FEG＝m°(m＜90)，则∠AEF＋∠DEG＝180°－m°.

所以∠A₁ED₁＝(∠AEF＋∠FEA₁)＋(∠DEG＋∠GED₁)－180°＝2(∠AEF＋∠DEG)－180°＝(180－2m)°.故④正确.

三、17.【解】(1)原式＝－8＋12＋5＝9.

(2)去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).

去括号，得9y－3－12＝10y－14.

移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.

合并同类项，得－y＝1.

系数化为1，得y＝－1.

18.【解】(1)设破损部分的整式为A，根据题意，得

A＝－11x＋7y²＋4(2x－y²)－2(3y²－2x)

＝－11x＋7y²＋8x－4y²－6y²＋4x

＝－3y²＋x.

(2)因为｜x－2｜＋(y＋3)²＝0，

所以x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3.

则－3y²＋x＝－3×(－3)²＋2＝－27＋2＝－25.

19.【解】(1)如图，线段AB即为所求.

(2)补全图形如图.

CD的长为 a或 a.

20.【解】设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作.

由题意，得 ＋ ＝1，

解得x＝12.

答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作.

21.【解】(1)因为a是最大的负整数，b是－5的相反数，所以a＝－1，b＝5.

因为a，b分别是点A，B在数轴上对应的数，

所以将点A，B标注在数轴上，如图.

(2)由题意易得t秒后点P所表示的数为3t－1，点Q所表示的数为t＋5.

根据题意，得3t－1＝t＋5，解得t＝3，

所以t的值为3.

22.【解】(1)EF＝2FG

(2)C₁＋C₂的值是一个确定的值.

C₁＋C₂＝40.理由如下：

设FG＝a，则EF＝2a，

所以C₂＝2(FG＋EF)＝6a.

因为长方形的一组邻边长分别为10，m，

所以BC＝10－2a，AB＝m－2a，m－a＝10，

所以C₁＝2(AB＋BC)＝20＋2m－8a.

所以C₁＋C₂＝20＋2m－8a＋6a＝20＋2m－2a＝20＋2(m－a)＝40.

23.【解】(1)当t＝4时，∠AOM＝4×5°＝20°，∠BON＝4×3×5°＝60°，

所以∠AOB＝180°－∠AOM－∠BON＝100°.

(2)根据题意，得(5t)°＋3×(5t)°＝180°，解得t＝9.

所以当射线OA与射线OB重合时，t的值是9.

(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM，如图.

因为∠BON＝3×(5t)°＝(15t)°，

所以∠BOM＝180°－(15t)°＝(180－15t)°.

因为射线OB平分∠AOM，

所以5t＝2(180－15t)，解得t＝ .

所以t的值为 .