第四章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．－2πxy的系数是( )
A.－2 B.－2π C.2 D.2π
2．[2024·杭州西湖区一模]下列计算正确的是( )
A.－a2b＋ba2＝0 B.3(a＋b)＝3a＋b
C. x2＋2x2＝3x4 D.2m＋3n＝5mn
3．若多项式(a－2)x｜a｜－x＋1是一个关于x的二次三项式，则a的值为( )
A.－2 B.2 C.－2或2 D.3
4．[2024·无锡高新区期中]若单项式am－1b2与
a2bn的和仍是单项式，则nm的值是( )
A.6 B.4 C.9 D.8
5．[新考法作差法]若M＝a2＋a＋4，N＝a－1，则M，N的大小关系为( )
A. M＜N B. M＞N C. M＝N D. M≥N
6．若关于x的多项式x3＋2mx2－6x2－7x＋3不含二次项，则m等于( )
A.2 B.－2 C.3 D.－3
7．[母题教材P103习题T9]由于换季，某商家决定降低某种衣服的价格，现有三种降价方案：①第一次降价5％，第二次降价6％；②第一次降价6％，第二次降价5％；③第一、二次均降价5.5％.三种方案中，降价最少的是( )
A.方案① B.方案②
C.方案③ D.不确定，因衣服原始售价未知
8．已知m2＋2mn＝3，2n2＋3mn＝5，则代数式2m2＋13mn＋6n2的值是( )
A.18 B.19 C.20 D.21
9．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①，②，③，若要求出阴影部分周长的差，只需知道a，b，c，d中的一个量即可，则要知道的那个量是( )
A. a B. b C. c D. d
10．[新视角·2024·重庆江津区二模·新定义题]对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”.例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到｜1－2｜＋｜2－3｜＋｜1－3｜＝4.
①对－2，3，－5，9进行“差绝对值运算”的结果是47；
②当x＝2时，x，2，5，－6的“差绝对值运算”的值最小，最小值为33；
③若a，b，7的“差绝对值运算”的结果是6，且a－b与a－7同号，a，b均为正整数，且a，b，7互不相等，则a的取值有6个.
以上说法中正确的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．若单项式－x3yn＋5的次数是9，则n的值为 .
12．已知多项式(a－3)x3＋(4－b)x＋3y2－5的值与x无关，则a－b的值为 .
13．若一个多项式减去3x2－x等于x－1，则这个多项式是 .
14．若a，b互为倒数，则a2b－(a－2 024)的值为 .
15．“学如逆水行舟，不进则退”，已知顺水速度为轮船在静水中的速度与水流速度之和，逆水速度为轮船在静水中的速度与水流速度之差，现有一艘轮船在静水中的速度为(3x2－x＋1)km/h，水流速度为(x2－x)km/h.若轮船逆水行驶，那么轮船是 的.(填“前进”或“后退”)
16．[情境题·2023·德阳·游戏活动型]在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小亮参加了“智取九宫格”游戏比赛，游戏规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和分别相等，且均为m.王小亮抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ .
16 |
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7 |
4 |
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三、解答题(共72分)
17．(6分)计算：
(1)(2a2＋1－2a)－(a2－a＋2)；
(2)－2
－(－2a2b＋3ab2).
18．(8分)先化简，再求值：
x2＋2(x2－3xy＋
y2)－3
，其中x，y满足(x－2)2＋｜y＋3｜＝0.
19．(10分)[2024·汕头潮阳区期末]已知有理数a＞0，ab＞0，bc＜0，且｜b｜＜｜c｜＜｜a｜.
(1)在如图所示的数轴上将b，c这两个数表示出来；
(2)计算：｜c＋a｜－2｜b－a｜＋｜b＋c｜＋｜a｜.
20．(10分) [新考向·知识情境化]如图，现有A，B，C三个已化为最简结果的多项式，聪明的小冬发现，其中两个多项式相减后正好等于第三个多项式，但其中一个多项式有一部分看不清楚了.
(1)小敏说：“小冬说的是A－C＝B.”请你判断小敏说的是否正确，并说明理由；
(2)小嘉发现B－C＝A满足小冬发现的情况，求多项式B看不清楚的部分.
21．(12分)[母题教材P105活动1]观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题.
星期日 |
星期一 |
星期二 |
星期三 |
星期四 |
星期五 |
星期六 |
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1 |
2 |
3 |
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6 |
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10 |
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19 |
20 |
21 |
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30 |
31 |
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(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全下图“阶梯框”；
(2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数.
22．(12分)[2024·衡阳珠晖区期末]某超市在“元旦”期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：不超过200元时，不予优惠；高于200元但不超过500元时，九折优惠；高于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.根据优惠方案解决下列问题：
(1)李阿姨一次性购物650元，她实际付款多少元？
(2)李阿姨一次性购物x元(x＞500)，她实际付款多少元？(用含x的代数式表示)
(3)如果李阿姨两次购物货款合计880元，第一次购物的货款为a元(200＜a＜350)，用含a的代数式表示李阿姨两次购物实际付款多少元？
23．(14分)[2024·襄阳襄城区期末]观察下列等式：
①9×9＝81＝(9－1)×10＋(10－9)；
②9×8＝72＝(8－1)×10＋(10－8)；
③9×7＝63＝(7－1)×10＋(10－7)；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请再写出一个等式： ；
(2)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果.
①王老师猜的结果是 ；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理.
答案
一、1. B 2. A
3. A 【点拨】由题意得a－2≠0，｜a｜＝2，
所以a≠2，a＝±2.所以a＝－2.
4. D
【点拨】由题意得am－1b2与
a2bn是同类项，所以m－1＝2，n＝2.所以m＝3.所以nm＝23＝8.
5. B 【点拨】因为M－N＝a2＋a＋4－a＋1＝a2＋5＞0，
所以M＞N.
6. C 【点拨】x3＋2mx2－6x2－7x＋3＝x3＋(2m－6)x2－7x＋3.因为该多项式不含二次项，所以2m－6＝0.所以m＝3.
7. C 【点拨】设该种衣服的原始售价为a元，
方案①降价a－(1－5％)(1－6％)a＝a－89.3％a＝10.7％a(元)，
方案②降价a－(1－6％)(1－5％)a＝a－89.3％a＝10.7％a(元)，
方案③降价a－(1－5.5％)(1－5.5％)a＝a－89.302 5％a
＝10.697 5％a(元).
因为a＞0，所以10.697 5％a＜10.7％a.
所以方案③降价最少.
8. D 【点拨】2m2＋13mn＋6n2＝2m2＋4mn＋9mn＋6n2＝
2(m2＋2mn)＋3(2n2＋3mn)，
把m2＋2mn＝3，2n2＋3mn＝5代入，得2(m2＋2mn)＋3(2n2＋3mn)＝2×3＋3×5＝21.
9. B 【点拨】观察图形可知，正方形①的边长为c，正方形②的边长为b，正方形③的边长为a.
则C阴影六边形＝2a＋2b＋2(d－a)＝2b＋2d，
C阴影四边形＝2c＋2(d－c)＝2d，
所以C阴影六边形－C阴影四边形＝2b＋2d－2d＝2b.
10. A 【点拨】①对－2，3，－5，9进行“差绝对值运算”，得
｜－2－3｜＋｜－2－(－5)｜＋｜－2－9｜＋｜3－(－5)｜＋｜3－9｜＋｜－5－9｜＝5＋3＋11＋8＋6＋14＝47，故①正确；
②x，2，5，－6的“差绝对值运算”的结果为
｜x－2｜＋｜x－5｜＋｜x－(－6)｜＋｜2－5｜＋｜2－(－6)｜＋｜5－(－6)｜
＝｜x－2｜＋｜x－5｜＋｜x＋6｜＋3＋8＋11
＝｜x－2｜＋｜x－5｜＋｜x＋6｜＋22，
｜x－2｜＋｜x－5｜＋｜x＋6｜的几何意义是数轴上表示x的点与表示2，5和－6的点的距离之和，所以当x＝2时，｜x－2｜＋｜x－5｜＋｜x＋6｜的值最小，最小值为11.
所以当x＝2时，x，2，5，－6的“差绝对值运算”的值最小，最小值为11＋22＝33，故②正确；
③因为a，b，7的“差绝对值运算”的结果是6，
所以｜a－b｜＋｜a－7｜＋｜b－7｜＝6.
当a－b＞0，a－7＞0时，a＞7，a＞b.
若b－7＞0，则｜a－b｜＋｜a－7｜＋｜b－7｜＝a－b＋a－7＋b－7＝2a－14＝6，所以a＝10；
若b－7＜0，
则｜a－b｜＋｜a－7｜＋｜b－7｜＝a－b＋a－7－b＋7＝2a－2b＝6.
所以a－b＝3.
当b＝5时，a＝8，当b＝6时，a＝9；
当a－b＜0，a－7＜0时，a＜7，a＜b，
若b－7＞0，
则｜a－b｜＋｜a－7｜＋｜b－7｜＝－a＋b－a＋7＋b－7＝2b－2a＝6.
所以b－a＝3.
所以当b＝8时，a＝5，当b＝9时，a＝6；
若b－7＜0，则｜a－b｜＋｜a－7｜＋｜b－7｜＝－a＋b－a＋7－b＋7＝14－2a＝6，
所以a＝4.
综上，a的取值有6个，故③正确.
二、11.1 12.－1 13.3x2－1
14.2 024 【点拨】因为a，b互为倒数，所以ab＝1.所以a2b－(a－2 024)＝a－a＋2 024＝2 024.
15.前进【点拨】由题意得轮船逆水行驶的速度为(3x2－x＋1)－(x2－x)＝3x2－x＋1－x2＋x＝2x2＋1＞0，
所以轮船是前进的.
16.39 【点拨】设第一列中间的数为x，则第一列的三个数之和为16＋4＋x＝20＋x，把表格中的每一个数据填好，如图.
16 |
1 |
3＋x |
x |
13 |
7 |
4 |
6＋x |
10 |
所以m＝16＋13＋10＝39.
三、17.【解】(1)原式＝2a2＋1－2a－a2＋a－2＝a2－a－1.
(2)原式＝－2a2b＋
ab2－a3＋2a2b－3ab2＝－
ab2－a3.
18.【解】原式＝
x2＋2x2－6xy＋
y2－
x2＋6xy＋
y2＝－2x2＋y2.
因为x，y满足(x－2)2＋｜y＋3｜＝0，(x－2)2≥0，｜y＋3｜≥0，所以x－2＝0，y＋3＝0.所以x＝2，y＝－3.
所以原式＝－2×22＋(－3)2＝－2×4＋9＝1.
19.【解】(1)因为a＞0，ab＞0，bc＜0，
所以b＞0，c＜0.
所以b，c这两个数在数轴上的表示如图.
(2)由(1)和题意可知a＞0，b＞0，c＜0，｜b｜＜｜c｜＜｜a｜，
所以c＋a＞0，b－a＜0，b＋c＜0.
所以原式＝c＋a－2(a－b)＋(－b－c)＋a
＝c＋a－2a＋2b－b－c＋a
＝b.
20.【解】(1)小敏说的不正确.理由如下：
A－C＝(x2＋3x－2)－(2x2－5x＋8)＝x2＋3x－2－2x2＋5x－8＝－x2＋8x－10.
因为B的常数项为6，且－10≠6，所以A－C≠B.
所以小敏说的不正确.
(2)由B－C＝A，得B＝A＋C＝(x2＋3x－2)＋(2x2－5x＋8)＝x2＋3x－2＋2x2－5x＋8＝3x2－2x＋6.
所以多项式B看不清楚的部分是3x2－2x.
21.【解】(1)补全“阶梯框”如图.
(2)由(1)可得“阶梯框”中的数字之和为a－7＋a－6＋a－1＋a＋a＋5＋a＋6＝6a－3＝3(2a－1)，所以“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数.
22.【解】(1)500×0.9＋(650－500)×0.8＝570(元).
答：李阿姨一次性购物650元，她实际付款570元.
(2)由题意得500×0.9＋0.8(x－500)＝0.8x＋50，
所以她实际付款(0.8x＋50)元.
(3)因为200＜a＜350，
所以第二次购物的货款在530元到680元之间.
所以李阿姨两次购物实际付款0.9a＋500×0.9＋0.8×(880－a－500)＝0.9a＋450＋0.8×(380－a)＝0.9a＋754－0.8a＝0.1a＋754(元).
23.【解】(1)9×6＝54＝(6－1)×10＋(10－6)(答案不唯一)
(2)①9
②由(1)得 9a＝(a－1)×10＋(10－a).
因为原两位数的十位数字是a，个位数字是b，
所以原两位数可表示为10a＋b，减去十位数字和个位数字后得10a＋b－a－b＝9a.
所以9a可以表示为十位数字为(a－1)，个位数字为(10－a)的数.
因为(a－1)＋(10－a)＝9，