第四章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列说法错误的是 　(　　)

A.过一点有无数条直线

B.经过两点有一条直线，并且只有一条直线

C.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的

D.射线AB和射线BA不是同一条射线

2．[母题教材P117习题T3]如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是 　(　　)

A. A'B'＞B'C' B. A'B'＝B'C'

C. A'B'＜B'C' D.不能确定

3．下面四幅图中的∠AOB不等于60°的是 　(　　)

4．[新考法 逐项判断法]如图，下列关系式中与图不符合的是 　(　　)

A. AD－CD＝AB＋BC B. AC－BC＝AD－BD

C. AD－AC＝BD－BC D. AC－BC＝AC＋BD

5．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若AP＝BP，则点P是线段AB的中点；④18.6°＝18°6'；⑤小于平角的角可分为锐角和钝角，其中正确的有 　(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6．[新考法 图形信息法]如图所示，在点A处测得点B的方向是 　(　　)

(第6题)

A.南偏东38° B.南偏东52° C.北偏西38° D.北偏西52°

7．如图所示，点A，O，E在一条直线上，∠BOD＝∠AOC＝90°，那么下列各式中错误的是 　(　　)

(第7题)

A.∠AOB＝∠COD B.∠BOC＝∠DOE

C.∠AOB＝∠BOC D.∠COE＝∠BOD

8．[2024吉安月考]如图，已知圆O的半径为3cm，则扇形甲的面积是　(　　)

(第8题)

A.6πcm² B.3πcm² C. πcm² D.πcm²

9．[2024成都武侯区月考]如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是(　　)

(第9题)

A.∠AOM＝3∠NOC B.∠AOM＝2∠NOC

C.2∠AOM＝3∠NOC D.3∠AOM＝5∠NOC

10．[2024·南通月考新趋势·知识情境化]如图，点N为线段AM上一点，线段MN＝20.第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M₁，N₁；第二次操作：分别取线段AM₁和AN₁的中点M₂，N₂；第三次操作：分别取线段AM₂和AN₂的中点M₃，N₃，……，连续这样操作，则第十次操作所取两个中点分别为M₁₀，N₁₀，则线段M₁₀N₁₀的长度为 　(　　)

A. ×20 B. ×20 C. ×20 D. ×20

二、填空题(每题3分，共15分)

11．计算：12°15'36″＝　　　　°.

12．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形有　　　　条边.

13．上午6点45分，钟面上时针和分针所成的锐角为　　　　°.

14．[2024襄阳期末]已知线段AB＝16cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝5cm，则线段CD＝　　　　.

15．[新考法 分类讨论法]在平面内，∠AOB＝120°，C为∠AOB内部一点，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，射线OD平分∠MON，当｜∠AOC－2∠COD｜＝30°时，∠AOC的度数是　　　　.

三、解答题(共75分)

16．(6分)[2024枣庄月考]如图，C是线段AB外一点，按要求画图.

(1)画射线CB；反向延长线段AB；连接AC，并延长AC到D，使CD＝AC(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)观察画完的图形，比较大小：AB＋AC　　　　BC，所根据的数学道理是　　　　.

17．(6分)[新考向知识情境化]如图，点O是学校的大门，教师的办公室A位于点O的北偏东45°处，学生宿舍B位于点O的南偏东30°处.

(1)请在图中画出射线OA，射线OB，并计算∠AOB的度数；

(2)七年级教室C在∠AOB的平分线上，画出射线OC，并通过计算说明七年级教室C相对于点O的方位角.

18．(6分)[2024西安高新一中期中]地图上有A，B，C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了(如图)，但知道∠BAC＝∠1，∠ABC＝∠2，请你通过尺规作图在图中确定C城市的具体位置.(保留作图痕迹，不写作法)

19．(6分)如图，已知点C在线段AB上，其中AC＝6cm，BC＝4cm，点E是AC的中点，点F在线段CB上，且CF∶BF＝1∶3，求线段EF的长度.

20．(9分)[2024·驻马店期末新考法·等量代换法]如图，已知点C，D在线段AB上，M，N分别是AC，BD的中点.

(1)若AB＝20，CD＝4，求MN的长；

(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长.

21．(10分)[新趋势过程性学习]数学课上，王老师给出了如下问题：

如图①所示，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，若∠COD＝30°，请你补全图形，并求∠AOD的度数.

小明同学：以下是我的解答过程(有空缺部分).

解：如图②，因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝　　　　°.

因为∠COD＝30°，所以∠AOD＝∠AOC－∠　　　　＝　　　　°.

小英同学：符合题目要求的图形还有一种情况.

请你完成以下问题：

(1)请将小明同学的解答过程中的空缺部分补充完整，使其能正确求出图②中∠AOD的度数；

(2)判断小英同学的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请在图③中画出另一种情况的图形，并求出∠AOD的度数.

22．(15分)[新考法由特殊到一般]如图①，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC.

(1)若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数；

(2)若去掉(1)中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数；

(3)若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图②，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系.

23．(17分)[2024·泉州期末新视角·动点探究题]如图，点M是线段AB上一点，AB＝12cm，C，D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示.(C在线段AM上，D在线段BM上)

(1)若AM＝4cm，当点C，D运动了2s时，AC＝　　　　，DM＝　　　　；

(2)若点C，D在运动过程中，总有MD＝3AC.

①求线段AM的值；

②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求 的值.

参考答案

一、1．C　2．C　3．C　4．D　5．B　6．A　7．C　8．B

9．B　【点拨】因为∠MON＝90°，

所以∠AOM＋∠BON＝90°.

所以∠BON＝90°－∠AOM.

所以2∠BON＝180°－2∠AOM.

因为OC平分∠BOM，

所以∠BOM＝2∠BOC.

所以∠AOM＝180°－∠BOM＝180°－2∠BOC＝180°－2∠BON－2∠CON.

所以∠AOM＝180°－(180°－2∠AOM)－2∠CON.

所以∠AOM＝2∠CON.故选B.

10．A　【点拨】因为线段AM和AN的中点分别为M₁，N₁，

所以M₁N₁＝AM₁－AN₁＝ AM－ AN＝ (AM－AN)＝ MN.

因为线段AM₁和AN₁的中点分别为M₂，N₂，

所以M₂N₂＝AM₂－AN₂＝ AM₁－ AN₁＝ (AM₁－AN₁)＝ M₁N₁＝ MN.

因为线段AM₂和AN₂的中点分别为M₃，N₃，

所以M₃N₃＝AM₃－AN₃＝ AM₂－ AN₂＝ (AM₂－AN₂)＝ M₂N₂＝ MN.

……

所以M_nN_n＝ MN.

所以M₁₀N₁₀＝ MN＝ ×20.

故选A.

二、11．12.26　12．2025

13．67.5　【点拨】因为时钟上每大格是30°，时针每分钟转0.5°，所以上午6点45分时针与分针所成的锐角的度数为3×30°－0.5°×45＝67.5°.

14．3cm或13cm　【点拨】因为AB＝16cm，点D是线段AB的中点，

所以BD＝8cm.

当点C在线段AB上时，如图①，DC＝BD－BC＝8－5＝3(cm)；

当点C在线段AB的延长线上时，如图②，DC＝DB＋BC＝8＋5＝13(cm).

综上，CD＝3cm或13cm.

15．45°或15°　【点拨】因为射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，

所以∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC.

所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝ ∠AOC＋ ∠BOC＝ ∠AOB＝60°.

因为射线OD平分∠MON，

所以∠MOD＝ ∠MON＝30°.

若射线OD在∠AOC外部，如图①，

则∠COD＝∠MOD－∠MOC＝30°－ ∠AOC，

即2∠COD＝60°－∠AOC.

因为｜∠AOC－2∠COD｜＝30°，

所以｜2∠AOC－60°｜＝30°，

解得∠AOC＝45°或15°.

若射线OD在∠AOC内部，如图②，

则∠COD＝∠MOC－∠MOD＝ ∠AOC－30°，

所以2∠COD＝∠AOC－60°，即∠AOC－2∠COD＝60°，不满足｜∠AOC－2∠COD｜＝30°.

综上，∠AOC＝45°或15°.

三、16．【解】(1)如图.

(2)＞；两点之间，线段最短

17．【解】(1)如图.

由题意知∠AOM＝45°，∠NOB＝30°，

所以∠AOB＝180°－45°－30°＝105°.

(2)如图.由(1)知∠AOB＝105°.

因为OC平分∠AOB，

所以∠BOC＝ ∠AOB＝52.5°.

所以∠NOC＝∠NOB＋∠BOC＝30°＋52.5°＝82.5°.

所以七年级教室C位于点O的南偏东82.5°处.

18．【解】如图，点C即为所求.

19．【解】因为点E是AC的中点，

所以CE＝ AC＝3cm.

因为CF∶BF＝1∶3，

所以CF＝ BC＝1cm.

所以EF＝CE＋CF＝4cm.

20．【解】(1)因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC＝ AC，ND＝ BD.

所以MN＝MC＋CD＋DN＝ (AC＋BD)＋CD＝ (AB－CD)＋CD＝ ×(20－4)＋4＝12.

(2)由(1)可知MN＝ (AB－CD)＋CD＝ ×(a－b)＋b＝ a＋ b.

21．【解】(1)45；COD；15

(2)小英同学的说法正确.

如图，因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，

所以∠AOC＝45°.

因为∠COD＝30°，

所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋30°＝75°.

22．【解】(1)因为∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，

所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝120°－40°＝80°.

因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠MOC＝ ∠AOC＝ ×80°＝40°，∠NOC＝ ∠BOC＝ ×40°＝20°.

所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°＋20°＝60°.

(2)因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，

所以∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC.

因为∠AOB＝120°，

所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝ ∠AOC＋ ∠BOC＝ (∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.

(3)因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC.

所以∠MON＝∠COM－∠CON＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ (∠AOC－∠BOC)＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.

∠MON与∠AOB的数量关系为∠MON＝ ∠AOB.

23．【解】(1)2cm；2cm

(2)根据C，D的运动速度知BD＝3MC.

因为MD＝3AC，

所以DM＋BD＝3(AC＋CM)，即MB＝3AM.

因为AM＋BM＝AB，

所以AM＋3AM＝AB.

所以AM＝ AB＝3cm.

②当点N在线段AB上时，

因为AN－BN＝MN，AN－AM＝MN，

所以BN＝AM＝3cm.

所以MN＝AB－AM－BN＝12－3－3＝6(cm).

所以 ＝ .

当点N在线段AB的延长线上时，

因为AN－BN＝MN，AN－BN＝AB，

所以MN＝AB＝12cm.

所以 ＝1.

当点N在线段BA的延长线上时，不符合题意.

综上所述， ＝ 或1.