第6章 综合素质评价
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是一对( )
(第1题)
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．[真实情境体育赛事]北京时间2024年3月31日，在世乒联冠军赛韩国站男单决赛中，我国运动员夺得冠军后，跑到如图所示的赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路AB走才能使所走的路程最少，这是因为( )
(第2题)
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
3．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是( )
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
4．用一副三角板(其中一个内角分别为45°与60°)不能画出的角度是( )
A．15° B．75° C．105° D．55°
5．如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足的关系是( )
(第5题)
A．对顶角 B．相等 C．互补 D．互余
6．[2024厦门期中]如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是( )
(第6题)
A．点C到AB的距离等于4 B．点B到AC的距离等于3
C．点A到直线l2的距离等于4 D．点C到直线l1的距离等于4
7．[2024泰州校级月考]如图，对于下列条件：
(第7题)
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°．
其中一定能得到AD∥BC的条件有( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．[2024南通一模]如图，直线l1∥l2，含有30°的直角三角板的一个顶点C落在l2上，直角边交l1于点D，连接BD，BD⊥l2，若∠1＝72°，则∠2的度数是( )
(第8题)
A．48° B．58° C．42° D．18°
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．已知∠β＝47°30'，则∠β的余角的度数是 °．
10．[2024江阴校级月考]如图所示，可以用字母表示出来的不同射线有 条．
(第10题)
11．如图，某公园需从点A到点B修建观光桥，为了使游客观赏湖面风光的路线变长，选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是“基本事实：两点之间， ．”
(第11题)
12．[2024南通期末]从一个多边形的一个顶点出发最多能引出6条对角线，则这个多边形是 边形．
13．如图所示，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，则外角∠ACD＝ ．
(第13题)
14．如图，AB＝18cm，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD∶CB＝1∶3，则DB的长为 ．
(第14题)
15．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝ °．
(第15题)
16．[2024宿迁期末]已知∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足为O，则∠BOD＝ ．
17．[新考法对称法]如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为BC边上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 °．
(第17题)
18．[新考法分类讨论思想]一副三角板按如图所示(共顶点A)叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD＝ 时，DE∥AB．
(第18题)
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题．(注此题作图不要求写出画法和结论)
(1)作射线AC；
(2)作直线BD与射线AC相交于点O；
(3)分别连接AB，AD；
(4)我们容易判断出线段AB＋AD与BD的大小关系是 ，理由是 ．
20．(8分)[2024扬州江都区期末]如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝2cm．
(1)图中共有 条线段；
(2)求AC的长；
(3)若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
21．(8分)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC＝40°，求∠EOD的度数；
(2)若∠AOC＋∠BOD＝90°，求∠EOD的度数．
22．(10分)[2024南京建邺区校级期中]在下列解题过程的空白处填上适当的内容(推理的理由或数学表达式等)．
如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．试说明EF∥GH．
解：因为∠1＋∠2＝180°(已知)，∠AEG＝∠1(对顶角相等)，
所以 ．
所以AB∥CD( )．
所以 ( )．
因为∠3＝∠4(已知)，
所以∠3＋∠AEG＝∠4＋ (等式的基本性质)，
所以 ．
所以EF∥GH．
23．(10分)[2024盐城期中]【教材回顾】如下是苏科版七年级上册教材第187页，关于同旁内角的定义．
如图①，两条直线a，b被第三条直线c所截形成八个角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角． |
【类比探究】
(1)如图②，具有∠1与∠2这种位置关系的一对角叫作同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来；
(2)如图③，直线a∥b，当∠2＝48°时，∠1的度数是 ；
(3)如图④，已知∠1＋∠2＝180°，试说明直线a∥b，并用文字叙述由此你能得出什么结论．
24．(10分)[2024扬州广陵区校级月考]将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
(1)①若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为 ．
②若∠ACB＝128°，求∠DCE的度数．
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
(3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块直角三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
25．(12分)[2024南京高新区校级期中]如图①，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
(2)如图②，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①若β＝40°，求α的度数．
②当点G在运动的过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B
8．A 点拨：如图，设AB与l1相交于点E．
因为l1∥l2，∠1＝72°，
所以∠DEB＝∠1＝72°．
所以∠AED＝108°．
又因为∠A＝30°，所以∠ADE＝42°．
因为BD⊥l2，l1∥l2，所以BD⊥l1．
所以∠BDE＝90°．
又因为∠ADE＋∠BDE＋∠2＝180°，
所以∠2＝48°．
二、9．42．5 10．3 11．线段最短 12．九 13．50°
14．15cm 15．108 16．20°或160° 17．110
18．30°或150° 点拨：由题意得∠ADE＝30°，如图①，当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE；如图②，当∠BAD＋∠ADE＝180°时，可得AB∥DE，则∠BAD＝180°－∠ADE＝150°．
三、19．解：(1)(2)(3)如图所示．
(4)AB＋AD＞BD；两点之间，线段最短
20．解：(1)6
(2)因为点B为CD的中点，所以CD＝2BD．
又因为BD＝2cm，所以CD＝4cm．
又因为AD＝8cm，所以AC＝AD－CD＝4cm．
(3)分两种情况讨论：当点E在点A的左边时，
则BE＝BA＋EA．
因为BA＝AD－BD＝6cm，EA＝3cm，所以BE＝9cm．
当点E在点A的右边时，
则BE＝AB－EA＝6－3＝3(cm)．
综上，BE的长为3cm或9cm．
21．解：(1)因为直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，
所以∠BOD＝∠AOC＝40°，∠AOC＋∠BOC＝180°．
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－40°＝140°．
因为OE平分∠BOC，
所以∠EOB＝
∠BOC＝
×140°＝70°．
所以∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝70°＋40°＝110°．
(2)同(1)可得∠BOD＝∠AOC，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠EOB＝
∠BOC．
因为∠AOC＋∠BOD＝90°，所以∠BOD＝∠AOC＝45°．
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°．
所以∠EOB＝
∠BOC＝
×135°＝67．5°．
所以∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝67．5°＋45°＝112．5°．
22．∠AEG＋∠2＝180°；同旁内角互补，两直线平行；∠AEG＝∠DGE；两直线平行，内错角相等；∠DGE；∠FEG＝∠HGE
23．解：(1)如图①．
(2)132° 点拨：如图②．
因为a∥b，所以∠3＋∠4＝180°．
因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°．
又因为∠2＝48°，所以∠1＝132°．
(3)如图③．
因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，
所以∠2＝∠3．所以a∥b．
由此可得出结论：同旁外角互补，两直线平行．
24．解：(1)①140°
②因为∠ACB＝128°，∠ECB＝90°，所以∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝128°－90°＝38°．
又因为∠ACD＝90°，所以∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝90°－38°＝52°．
(2)猜想∠ACB＋∠DCE＝180°．理由如下：
因为∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
所以∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋90°＝180°．
(3)存在．
当∠ACE＝30°时，AD∥BC；
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE；
当∠ACE＝120°时，AD∥CE；
当∠ACE＝135°时，BE∥CD；
当∠ACE＝165°时，BE∥AD．
25．解：(1)AB∥CD．理由如下：因为EM平分∠AEF，
所以∠AEM＝∠FEM．
又因为∠FEM＝∠FME，所以∠AEM＝∠FME．
所以AB∥CD．
(2)①因为AB∥CD，∠EGF＝β＝40°，
所以∠AEG＝180°－∠EGF＝140°．
因为EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
所以∠HEF＝
∠FEG，∠MEF＝
∠AEF．
所以∠MEH＝
(∠FEG＋∠AEF)＝
∠AEG＝70°．
因为HN⊥ME，
所以∠ENH＝90°．所以∠EHN＝90°－70°＝20°，
即α＝20°．
②猜想：α＝
β或α＝90°－
β．理由如下：
因为点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如题图②，当点G在点F的右侧时，
由①知∠AEG＝180°－∠EGF＝180°－β，
∠MEH＝
∠AEG，∠ENH＝90°，
所以∠EHN＝90°－∠MEH＝90°－
(180°－β)＝
β，
即α＝
β；
如图，当点G在点F的左侧时，
因为AB∥CD，
所以∠AEG＝∠EGF＝β．
因为EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
所以∠HEF＝
∠FEG，∠MEF＝
∠AEF．
所以∠MEH＝∠MEF－∠HEF
＝
(∠AEF－∠FEG)
＝
∠AEG
＝
β．
又因为HN⊥ME，所以∠ENH＝90°．
所以∠EHN＝90°－∠MEH＝90°－
β，
即α＝90°－
β．