第4章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2024·江苏徐州期中]如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝70°，下列条件中能判断a∥b的是(　　)

(第1题)

A．∠2＝20° B．∠2＝70° C．∠2＝110° D．∠2＝140°

2．[母题教材P171例2]如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是(　　)

(第2题)

A．30° B．40° C．60° D．150°

3．[2023·临沂]在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是(　　)

A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定

4．[2024·河南安阳模拟预测]如图，先在纸上画两条直线a，b，使a∥b，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若∠2＝50°，则∠1的度数是(　　)

(第4题)

A．30° B．40° C．50° D．60°

5．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为(　　)

(第5题)

A．40° B．50° C．60° D．140°

6．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是(　　)

(第6题)

A．50° B．40° C．35° D．45°

7．如图，点A是直线m外一定点，点B，C是直线m上的两定点，点P是直线m上一动点．已知AB＝6cm，BC＝10cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA＝8cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是(　　)

(第7题)

A．4．5cm B．6cm C．4．8cm D．2．4cm

8．[新考法折叠对称法]将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC等于(　　)

(第8题)

A．73° B．56° C．68° D．146°

9．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于(　　)

(第9题)

A．81° B．99° C．108° D．120°

10．如图，直线AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC．下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG＋∠EFM＝90°；④3∠EHG－∠EFM＝180°．其中正确的是(　　)

(第10题)

A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④

二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图，与∠1构成同位角的是　　　　　，与∠2构成同旁内角的是　　　　　．

(第11题)

12．[情境题 生活应用]为响应国家新能源建设，某市公交站装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光线(平行光线)与水平线最大夹角为64°，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为46°，要使AB∥CD，需要将电池板CD逆时针旋转m°(0＜m＜90)，则m等于　　　　　．

(第12题)

13．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF∶∠BOC＝1∶4，则∠BOE的度数为　　　　　．

(第13题)

14．[母题教材P198复习题T4]希望村计划在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在　　　　处建桥最合适，理由是　　　　．

(第14题)

15．如图，小明从A处出发，沿北偏东60°的方向行走至B处，又沿北偏西20°的方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是　　　　．

(第15题)

16．[2023·河南师大附中期中]如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将三角形ABC沿着BC方向平移acm(0＜a＜5)，得到三角形DEF，连结AD，则阴影部分的周长为　　　　　cm．

(第16题)

17．如图，射线a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3的度数是　　　　．

(第17题)

18．如图，直线l₁∥l₂，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝　　　　　．

(第18题)

三、解答题(23题12分，24题14分，其余每题10分，共66分)

19．[母题 教材P198复习题T4]如图是一条河，C是河岸AB外一点．

(1)过点C要修一条与河平行的绿化带(用直线表示)，请作出正确的示意图；

(2)现欲用水管从河岸AB将水引到C处，从河岸AB上的何处开口，才能使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．

20．[2024·厦门一中期中]如图，已知AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠A与∠D互补，判断直线AE与DF的位置关系，并说明理由．

21．[新趋势 跨学科]如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表镜子摆放的位置，并且AB∥CD，EF是进入潜望镜的光线，MN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明：MN∥EF．

22．[2024·广东清远期中]直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，OG平分∠BOF．

(1)如图①，

①∠AOD的余角有　　　　　；(填写所有符合情况的角)

②若∠AOD∶∠COG＝2∶3，求∠AOD的度数．

(2)如图②，探究∠AOD与∠COG是否存在数量关系，如果存在，请直接写出∠AOD与∠COG的数量关系，若不存在，请说明理由．

23．[立德树人 文化遗产]为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图②的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，求∠CEA的度数．

24．[新考法 变式探究法]已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．

(1)如图①，若∠EMF＝80°，则∠AEM＋∠CFM＝　　　　　；

(2)如图②，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝ ∠AEM，∠CFN＝ ∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数(用含α的式子表示)，并说明理由；

(3)如图③，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝ ∠AEM，∠CFP＝ ∠CFM，∠BEQ＝ ∠BEM，∠DFQ＝ ∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系．

参考答案

一、1. C　2. A　3. C　4. B　5. B

6. B【点拨】由邻补角的定义得到∠EAC＝180°－∠BAC＝80°，由角平分线的定义，得到∠DAC＝40°，由平行线的性质得到∠C＝∠DAC＝40°.

7. C　8. A

9. B【点拨】如图，过点B作MN∥AD，

则∠ABN＝∠A＝72°.

∵CH∥AD，

∴CH∥MN，

∴∠NBC＋∠BCH＝180°，

∴∠NBC＝180°－∠BCH＝180°－153°＝27°.

∴∠ABC＝∠ABN＋∠NBC＝72°＋27°＝99°.

10. D【点拨】∵∠FMA＝∠FGC，∴AB∥CD，

∴①正确.

如图，过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，

∵AB∥CD，∴∠AMG＋∠FGC＝180°，FP∥AB∥HQ∥CD.

∴∠AEH＝∠EHQ，∠GHQ＝∠HGC.

设∠NEB＝x，∠HGC＝y，

则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，

∴∠EHG＝∠EHQ＋∠GHQ＝∠AEH＋∠HGC＝∠NEB＋∠HGC＝x＋y，∠EFM＝180°－∠FEM－∠FME＝∠BEF－∠FME＝∠BEF－∠AMG＝∠BEF－（180°－∠FGC）＝x＋2x－（180°－2y－y）＝3x＋3y－180°，

∴2∠EFM＝6x＋6y－360°，

∴∠EHG≠2∠EFM，∴②错误.

∴∠EHG＋∠EFM＝x＋y＋3x＋3y－180°＝4x＋4y－180°≠90°，∴③错误.

3∠EHG－∠EFM＝3（x＋y）－（3x＋3y－180°）＝180°，∴④正确.

综上所述，正确的是①④，故选D.

二、11.∠B；∠1

12.20【点拨】∵电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，∴AB与水平线的夹角为90°－64°＝26°.要使AB∥CD，需要CD与水平线的夹角为26°，∴需将电池板CD逆时针旋转46°－26°＝20°.

13.60°　14. MA；垂线段最短　15.向右转80°

16.12【点拨】根据平移的性质得到DE＝AB＝4cm，EC＝（5－a）cm，AD＝BE＝acm，根据周长公式计算，得到答案.

17.105°【点拨】过∠1顶点作射线c∥a∥b，如图，

∵∠2＋∠5＝180°，

∴∠5＝180°－∠2＝180°－140°＝40°.

∴∠4＝180°－∠1－∠5＝180°－65°－40°＝75°.

∴∠3＝180°－∠4＝180°－75°＝105°.

18.140°

三、19.【解】（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线MN，则MN为绿化带.

（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短.设计的理由是垂线段最短.

20.【解】AE∥DF.理由如下：

∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCE.

∵∠A与∠D互补，∴∠A＋∠D＝180°.

∴∠DCE＋∠D＝180°，∴AE∥DF.

21.【解】∵AB∥CD，∴∠2＝∠3.

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.

又∵∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠4＋∠6＝180°，

∴∠5＝∠6.∴MN∥EF.

22.【解】（1）①∠AOE，∠BOF

②∵CD⊥EF，

∴∠BOC＋∠BOF＝90°.

∵∠AOD＝∠BOC，∠AOD∶∠COG＝2∶3，

∴∠BOC∶∠COG＝2∶3.

∵OG平分∠BOF，

∴∠BOG＝∠FOG，

设∠BOC＝2x，∠COG＝3x，则∠FOG＝∠BOG＝x，

∴∠FOG＋∠COG＝4x＝90°，

解得x＝22.5°.

∴∠AOD＝∠BOC＝2×22.5°＝45°.

（2）∠AOD＋2∠COG＝90°.理由如下：

由（1）可知，∠BOG＝∠FOG.

∵∠AOD＋∠AOF＝90°，∴∠BOC＋∠AOF＝90°.

∵∠AOF＋∠FOG＋∠BOG＝180°，即（90°－∠BOC）＋2（∠COG＋∠BOC）＝180°，

∴∠BOC＋2∠COG＝90°.

∴∠AOD＋2∠COG＝90°.

23.【解】延长DC交AE于点F.

∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EFD＝80°.

∵∠ECD＝110°，∴∠ECF＝70°.

∴∠CEA＝180°－80°－70°＝30°.

24.【解】（1）80°

（2）∠ENF＝ α.理由如下：

如图，过点M作MG∥AB，

则∠AEM＝∠EMG，∵AB∥CD，∴MG∥CD.

∴∠GMF＝∠MFC.

∴∠EMF＝∠EMG＋∠GMF＝∠AEM＋∠MFC.

过点N作NH∥AB，则∠AEN＝∠ENH，CD∥NH，

∴∠HNF＝∠CFN，

∴∠ENF＝∠ENH＋∠HNF＝∠AEN＋∠CFN.

∵∠AEN＝ ∠AEM，∠CFN＝ ∠CFM，

∴∠ENF＝ ∠AEM＋ ∠CFM＝ （∠AEM＋∠CFM）＝ ∠EMF.

又∵∠EMF＝α，∴∠ENF＝ α.

（3）n∠Q＋m∠P＝360°.