第三章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．[新考向数学文化]勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国

汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了对勾股定理的证明，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标的设计基础就是“赵爽弦图”．下列图案中是“赵爽弦图”的是(　　)

A B C D

2．在直角三角形中，若两直角边长分别为6和8，则斜边长为(　　)

A．7 B．8 C．9 D．10

3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是(　　)

A．a²＋b²＝c² B．b²＋c²＝a² C．a²＋c²＝b² D．2c²－a²＝b²

4．[2024·枣庄台儿庄区月考]下列各组数是勾股数的是(　　)

A．3，4，7 B．1．5，2，2．5 C．5，12，13 D．1，3，5

5．如图，分别以直角三角形的三边为一边向外作正方形A，B，C．已知S_A＝64，S_B＝225，那么正方形C的边长是(　　)

(第5题)

A．15 B．16 C．17 D．18

6．[新考向身边的数学]海面上有一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，快艇的速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇与A处的距离为(　　)

A．25km B．24km C．7km D．1km

7．在△ABC中，若∠B＝38°，BC²－AC²＝AB²，则∠C的度数为(　　)

A．38° B．52° C．62° D．90°

8．如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠ABC＝(　　)

(第8题)

A．30° B．40° C．45° D．60°

9．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，将一根细线的两头绕盒子的侧面分别绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为(　　)

(第9题)

A．12 B．15 C．18 D．21

10． [新考向折叠法]如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是(　　)

(第10题)

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

11．已知在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，若a＋b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积是(　　)

A．24 B．36 C．48 D．60

12．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S₁，均重叠部分的面积为S₂，则(　　)

(第12题)

A．S₁＞S₂ B．S₁＜S₂

C．S₁＝S₂ D．S₁，S₂大小无法确定

二、填空题(每题3分，共18分)

13．[2023·枣庄月考]在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB²＋AC²＋BC²＝　　　　．

14．[新考向身边的数学]一架飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶的正上方4000m处，过了10s，该飞机距离这个男孩头顶5000m，则该飞机平均每小时飞行　　　　km．

15．若△ABC的三边a，b，c满足(a－3)²＋｜5－c｜＝－(b－4)²，则△ABC的形状为　　　　．

16．[情景题生活应用]在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯的长度至少是　　　　m．

(第16题)

17．如图所示，这个长方体的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8cm．地面上A处的一只蚂蚁要爬到B处寻找食物，需要爬行的最短路程是　　　　cm．

(第17题)

18．[2023·济南期末]如图，已知在△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝2，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD交AC于点E，其中BD＝3，则AB的长为　　　　．

(第18题)

三、解答题(共66分)

19．(8分)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC＋1，求Rt△ABC的面积．

20．(8分)[情景题生活应用]将穿好彩旗的旗杆竖直固定在操场上，此时旗杆的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h．

21．(8分)[2023·泰安期中新考向数学文化]《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EA'＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(A'D＝5尺)，求秋千绳索OA的长度．

22．(10分)[2023·济南济阳区月考新考向知识情境化]如图，学校的长方形操场ADCE的边上有一块空地(阴影部分)需要绿化，连接AC，测出AD＝4，AC＝5，BC＝12，AB＝13，求需要绿化部分的面积．

23．(10分)[2023·枣庄薛城区月考情景题生活应用]如图，某社区在相邻两楼之间修建一个上面是以AB为直径的半圆，下面是长方形的仿古通道，已知AD＝2．3米，CD＝2米．现有一辆卡车装满家具后，高2．5米，宽1．6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．

24．(10分)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．

(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，试说明：∠C＝90°；

(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．

25．(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD(是一个长方形)倒下到AB'C'D'的位置，连接AC，AC'，CC'，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．

(1)试用与a，b有关的代数式表示梯形BCC'D'的面积；

(2)试用与a，b，c有关的代数式分别表示△ABC，△AD'C'，△AC'C的面积；

(3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理：a²＋b²＝c²．

答案

一、1． B　2． D　3． C　4． C　5． C　6． C　7． B　8． C

9． B　【点拨】将长方体盒子的侧面展开，如图所示，连接AB'，则AB'的长即为所用的最短细线长，由题意知AA'＝4＋2＋4＋2＝12，A'B'＝AB＝9，由勾股定理得AB'²＝AA'²＋A'B'²＝12²＋9²＝225，则AB'＝15，即细线的最短长度为15．

10． A　【点拨】由折叠知DN＝EN．设CN＝xcm，则EN＝(8－x)cm，由题意知EC＝ BC＝4cm．

在Rt△ECN中，EN²＝EC²＋CN²，

即(8－x)²＝4²＋x²，

解得x＝3，即CN＝3cm．故选A．

11． A　【点拨】在Rt△ABC中，c²＝a²＋b²＝100．

因为a＋b＝14，所以(a＋b)²＝196，

即a²＋b²＋2ab＝196，所以ab＝48，

所以S_△ABC＝ ab＝ ×48＝24．

12． C　【点拨】因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，所以该直角三角形的斜边为c，

所以c²＝a²＋b²，

由题意知S₁＝c²－a²－b²＋b(a＋b－c)＝ab＋b²－bc，S₂＝b(a＋b－c)＝ab＋b²－bc，

所以S₁＝S₂，故选C．

二、13．8

14．1080　【点拨】如图，由题意知AB＝4000m，AC＝5000m，

∠B＝90°．在Rt△ABC中，BC²＝AC²－AB²＝5000²－4000²＝9000000，所以BC＝3000m，所以该飞机平均每小时飞行 ＝1080(km)．

15．直角三角形

16．17　【点拨】由题意知这段台阶的水平长度的平方为13²－5²＝12²，故水平长度为12m，由平移可知地毯的长度等于台阶的高度和水平长度的和，所以地毯的长度为12＋5＝17(m)．

17．17　【点拨】如图所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．在Rt△ABD中，

因为AD＝AN＋DN＝5＋10＝15(cm)，BD＝8cm，

所以AB²＝AD²＋BD²＝15²＋8²＝17²，

所以AB＝17cm．

所以需要爬行的最短路程是17cm．

18． 　【点拨】如图，以AB为边向外作等边三角形ABF，连接CF，

因为△ABF，△ACD是等边三角形，

所以AF＝AB＝FB，AC＝AD，∠FBA＝∠FAB＝∠CAD＝60°，

所以∠FAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，

即∠FAC＝∠BAD．

在△ACF和△ADB中，

所以△ACF≌△ADB(SAS)，所以FC＝BD＝3，

因为∠ABC＝30°，

所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC＝90°．

根据勾股定理得FB＝ ＝ ，

所以AB＝ ．

三、19．【解】设BC＝x，则AB＝x＋1．

因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

所以AB²＝AC²＋BC²，

所以(x＋1)²＝5²＋x²，解得x＝12，即BC＝12，

所以S_△ABC＝ AC·BC＝ ×5×12＝30．

20．【解】易知彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，连接AC，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，

所以AC²＝AB²＋BC²＝90²＋120²＝150²，

所以AC＝150cm，

所以h＝400－150＝250(cm)．

21．【解】设OA＝OA'＝x尺，

由题意知EC＝A'D＝5尺，AC＝1尺，

所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，OE＝OA－AE＝(x－4)尺，

在Rt△OEA'中，OE＝(x－4)尺，OA'＝x尺，EA'＝10尺，根据勾股定理得x²＝(x－4)²＋10²，

整理得8x＝116，解得x＝14．5．

答：秋千绳索OA的长度为14．5尺．

22．【解】在Rt△ACD中，AD＝4，AC＝5，则由勾股定理可得CD＝3．

在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，

所以AC²＋BC²＝25＋144＝169，AB²＝13²＝169，

所以AC²＋BC²＝AB²，所以∠ACB＝90°，

所以需要绿化部分的面积＝S_△ABC－S_△ACD＝ ×5×12－ ×3×4＝24．

答：需要绿化部分的面积为24．

23．【解】这辆卡车能通过这个通道．

理由：因为卡车宽1．6米，

所以要求卡车能否通过，只需比较距通道中轴线0．8米处的通道高度与车高即可．

如图，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF²＝OE²－OF²＝1²－0．8²＝0．36，所以EF＝0．6米．

所以EH＝EF＋FH＝0．6＋2．3＝2．9(米)．

因为2．9＞2．5，所以这辆卡车能通过这个通道．

24．【解】(1)因为在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，所以CB＝2CD＝16，CA＝2CE＝12，

易知CB²＋CA²＝16²＋12²＝400，AB²＝20²＝400，

所以CB²＋CA²＝AB²，所以∠C＝90°．

(2)因为在△ABC中，E为边AC的中点，AE＝6，

所以AC＝2AE＝12，

在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD＝13，AC＝12，由勾股定理可得CD²＋AC²

＝AD²，所以CD＝5，所以CB＝2CD＝10，所以S_△ABC＝ AC·CB＝ ×12×10

＝60．

25．【解】(1)梯形BCC'D'的面积＝ (a＋b)²．

(2)由题意知∠CAD＝∠C'AD'，∠CAC'＝∠CAD＋∠B'AC'，∠B'AC'＋∠C'AD'

＝90°，

所以∠CAC'＝90°，

所以△ACC'为直角三角形．

易知S_△ACC'＝ c²，S_△ABC＝S_△AD'C'＝ ab．

(3)由题图可知S_梯形BCC'D'＝S_△ACC'＋S_△ABC＋S_△AD'C'，

所以 (a＋b)²＝ c²＋2× ab．

整理得a²＋b²＝c²．