第二章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．[2023·深圳]下列图形中，为轴对称的图形的是(　　)

A 　 B C D

2．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是(　　)

A B C D

3．下列条件不能得到等边三角形的是(　　)

A．有两个内角是60°的三角形

B．有一个角是60°的等腰三角形

C．腰和底边的长相等的等腰三角形

D．有两个角相等的等腰三角形

4．[2023·济南月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，若∠B＝54°，则∠DAC等于(　　)

(第4题)

A．36° B．45° C．54° D．72°

5．[2023·临沂期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是AB边上的高，则AD的长为(　　)

(第5题)

A．2．5 B．3 C．3．5 D．4

6．[2023·泰安期末]如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，连接AD．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为(　　)

(第6题)

A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm

7．如图，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为(　　)

(第7题)

A．108° B．115°

C．122° D．130°

8．[2023·潍坊月考]如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积等于(　　)

(第8题)

A．9 B．15 C．21 D．30

9．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共能画出(　　)

(第9题)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．[2023·日照开学]如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若∠B＝40°，则∠CDE等于(　　)

(第10题)

A．20° B．30° C．35° D．40°

11．[新考向知识情境化][2023·东营期末]如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠BCD＝(　　)

(第11题)

A．16° B．28° C．44° D．45°

12．如图，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于(　　)

(第12题)

A．90° B．75° C．70° D．60°

二、填空题(每题3分，共18分)

13．[2023·淄博张店区月考]设A，B两点关于直线MN对称，则　　　　垂直平分　　　　．

14．[2023·泰安泰山区月考新视角·操作实践题]如图，在3×4的正方形网格中已将2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，则可选择的位置共有　　　　处．

(第14题)

15．[2023·滨州滨城区期中]在△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝

　　　　°．

16．[2023·淄博期末]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC．若AB＝9，AD＝4，则△ADE的周长为　　　　．

(第16题)

17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　　　　°．

(第17题)

18． [新视角动点探究题]如图，点P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边

OA，OB上运动，若∠AOB＝30°，OP＝6，则△PMN的周长的最小值为　　　　．

(第18题)

三、解答题(共66分)

19．(8分)[2023·烟台栖霞市期中]如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角形(所有顶点都在方格的格点上)．

(1)请你画出这三个图形关于直线MN的对称图形；

(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称

轴的条数．

20．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，E为BC上一点，点A和点E关于BD对称，点B和点C关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．

21．(9分)[2023·潍坊月考]如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．

(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的　　　　，射

线AE是∠DAC的　　　　；

(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．

22．(9分)如图所示，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，BO，CO相交于点O，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积．

23．(10分)[2023·威海文登区期中]如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

(1)求∠F的度数；

(2)若CD＝2，求DF的长．

24．(10分)[2023·菏泽牡丹区月考]如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC．

(1)试说明：△ABC是等腰三角形；

(2)若AE＝8，GC＝2BG，求BC长．

25．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，点D是线段BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

(1)试说明：△ABD≌△ACE；

(2)当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．

答案

一、1． D　2． C　3． D　4． A　5． B　6． A　7． D　8． B

9． B　【点拨】如图，共3个．

10． A　【点拨】因为AD＝BD，∠B＝40°，

所以∠BAD＝∠B＝40°，

由题意得∠ADC＝180°－∠ADB＝∠B＋∠BAD＝40°＋40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－40°－40°＝100°，

所以∠CDE＝∠ADE－∠ADC＝100°－80°＝20°，

故选A．

11． A　【点拨】如图，延长ED，交AC于点F，

因为△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，

所以∠A＝∠ACB＝28°，

因为AB∥DE，

所以∠CFD＝∠A＝28°，

易知∠CDE＝180°－∠CDF＝∠CFD＋∠ACD＝72°，

所以∠ACD＝72°－28°＝44°，

所以∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝16°，

故选A．

12． D　【点拨】因为AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠MAN＝15°，所以∠BCA＝∠MAN＝15°，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD．

所以∠CBD＝∠BDC＝180°－∠ABC＝180°－(180°－∠BCA－∠MAN)＝∠BCA＋∠MAN＝15°＋15°＝30°，

所以∠BCD＝180°－(∠CBD＋∠BDC)＝180°－(30°＋30°)＝120°，

所以∠ECD＝∠CED＝180°－∠BCD－∠BCA＝180°－120°－15°＝45°，

所以∠CDE＝180°－(∠ECD＋∠CED)＝180°－(45°＋45°)＝90°，

所以∠EDF＝∠EFD＝180°－∠CDE－∠BDC＝180°－90°－30°＝60°，

所以∠DEF＝180°－(∠EDF＋∠EFD)＝180°－(60°＋60°)＝60°．

二、13．直线MN；线段AB

14．7　【点拨】如图所示，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，可选择的位置共有7处，分别是标有数字1，2，3，4，5，6，7的位置．

15．60　16．13

17．24　【点拨】因为DE是AC的垂直平分线，

所以EA＝EC，所以∠EAC＝∠C，

又因为∠FAE＝19°，所以∠FAC＝∠EAC＋19°＝∠C＋19°，

因为AF平分∠BAC，

所以∠BAF＝∠FAC＝∠C＋19°，

则∠C＋19°＋∠C＋19°＋∠C＋70°＝180°，

解得∠C＝24°．

18．6　【点拨】如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN．

易知此时△PMN的周长最小．

因为点P关于OA的对称点为点C，所以PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA．

因为点P关于OB的对称点为点D，

所以PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB．所以OC＝OD＝OP＝6，

∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°．

所以△COD是等边三角形，

所以CD＝OC＝OD＝6，

所以PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝6．

故△PMN的周长的最小值为6．

三、19．【解】(1)所画图形如图所示．

(2)这个整体图形共有4条对称轴．

20．【解】由点A和点E关于BD对称，

易知∠ABD＝∠EBD，所以∠ABC＝2∠EBD．

因为点B和点C关于DE对称，所以DB＝DC，

所以∠EBD＝∠C，所以∠ABC＝2∠C．

又因为∠A＝90°，所以∠ABC＋∠C＝2∠C＋∠C＝180°－90°＝90°，

所以∠C＝30°，所以∠ABC＝2∠C＝60°．

21．【解】(1)垂直平分线；平分线

(2)因为直线DF是线段AB的垂直平分线，

所以DB＝DA，所以∠BAD＝∠B＝40°，

因为∠B＝40°，∠C＝50°，

所以∠BAC＝90°，

所以∠DAC＝50°．

又因为射线AE是∠DAC的平分线，

所以∠DAE＝25°．

22．【解】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，

因为BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，

所以OE＝OF＝OD＝3，

因为△ABC的周长是20，所以AB＋BC＋AC＝20，

所以S_△ABC＝ AB·OE＋ BC·OD＋ AC·OF＝ ×(AB＋BC＋AC)×3＝ ×20×3＝30．

23．【解】(1)因为△ABC是等边三角形，

所以∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．

因为DE∥AB，

所以∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，

因为EF⊥ED，所以∠DEF＝90°，所以∠F＝30°．

(2)因为∠DEF＝90°，∠DEC＝60°，

所以∠FEC＝30°，

由(1)知∠F＝30°，所以∠F＝∠FEC，所以CE＝CF．

因为∠EDC＝∠DEC＝60°，

所以CE＝DC＝2，所以CF＝2．

所以DF＝DC＋CF＝2＋2＝4．

24．【解】(1)因为AE∥BC，

所以∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．

因为AE平分∠DAC，所以∠DAE＝∠CAE，

所以∠B＝∠C，所以AB＝AC，

所以△ABC是等腰三角形．

(2)因为F是AC的中点，所以AF＝CF，

在△AFE和△CFG中，

所以△AFE≌△CFG(ASA)，所以GC＝AE＝8．

因为GC＝2BG，所以BG＝4，

所以BC＝BG＋GC＝12．

25．【解】(1)因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

所以△ABD≌△ACE(SAS)．

(2)因为△ABD≌△ACE，所以BD＝CE，

所以四边形ADCE的周长＝AD＋DC＋CE＋AE＝AD＋DC＋BD＋AE＝BC＋

2AD＝4＋2AD．

所以当AD最短时，四边形ADCE的周长取最小值，

易知AD⊥BC时周长取最小值．

因为AB＝AC，BC＝4，所以当BD＝ BC＝2时，AD⊥BC，此时四边形ADCE

的周长取最小值．