七年级数学下学期期中精选50题（压轴版）
一．选择题（共4小题）
1．（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组
给出下列结论：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a+1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解答】解：①将a＝1代入原方程组，得
解得
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程组，得
若x，y是互为相反数，则x+y＝0，
即2a+1+2﹣2a＝0，方程无解．
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y为自然数的解有
，
，
，
．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．
2．（余杭区期中）在关于x，y的二元一次方程组
的下列说法中，正确的是（ ）
①当a＝3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a＝﹣4时，解得x与y相等；③x，y满足关系式x+5y＝﹣12；④若9x•27y＝81，则a＝10．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a即可判断；②根据x＝y列出方程，求出a即可判断；③在原方程中，我们消去a，即可得到x，y的关系；④把底数统一化成a，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a．
【解答】解：
，
由①得：x＝2y+a+6③，
把③代入②中，得：y＝
④，
把④代入③中，得：x＝
，
∴原方程组的解为
．
①∵方程的两根互为相反数，
∴x+y＝0，
即
，
解得：a＝3，
∴①正确；
②当x与y相等时，x＝y，
即
，
解得：a＝﹣4，
∴②正确；
③在原方程中，我们消去a，得到x，y的关系，
②﹣①×2得：x+5y＝﹣12，
∴③正确；
④∵9x•27y＝81，
∴（32）x•（33）y＝34，
∴32x•33y＝34，
∴32x+3y＝34，
∴2x+3y＝4，
将方程组的解代入得：
＝4，
解得：a＝10，
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法．
3．（萧山区期中）已知关于x，y的方程组
，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
解得
所以这个公共解为
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组．
4．（南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c＝0时，a＝6；
当c＝1时，a＝4；
当c＝2时，a＝2；
当c＝3时，a＝0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键．
二．解答题（共46小题）
5．（太和县期末）已知：△ABC和同一平面内的点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．
①依题意，在图1中补全图形；
②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．
（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．
（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．
【分析】（1）根据过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，进行作图；根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠EDF；
（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；
（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．
【解答】解：（1）①补全图形如图1；
②∠EDF＝∠A．
理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF；
（2）DE∥BA．
证明：如图，延长BA交DF于G．
∵DF∥CA，
∴∠2＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
∴DE∥BA．
（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．
理由：如左图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，
∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；
如右图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，
∴∠EDF+∠BAC＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
6．（饶平县校级期中）如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．
（1）说明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度数．
【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；
（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数．
【解答】解：（1）∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝28°，
∴∠DEF＝∠EFP＝28°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，
∴∠AGF＝∠GFP＝80°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+28°＝108°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝
∠GFE＝54°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣54°＝26°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题．
7．（奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ∠3＝∠1+∠2 ；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ 85 °．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．
【分析】（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．
（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
由题可知：∠BAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案为：∠1+∠2＝∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝
∠ABD，∠2＝
∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．
8．（栾城区期末）已知，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，请问AC⊥DG吗？请写出推理过程．
【分析】要证AC⊥DG，由题意知，只需证AB∥DG，根据平行线的性质及判定，利用等量代换求出∠1＝∠3即可．
【解答】解：AC⊥DG．
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG，
∵AC⊥AB，
∴DG⊥AC．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
9．（奉化区期末）已知EM∥BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝ 60° ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．
【分析】（1）过A作AQ∥EM，判定AQ∥BN，根据平行线的性质可求解；
（2）①由（1）的结论可求解∠ABN＝100°，利用角平分线的定义可求∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；
（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，根据4∠A＝3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）过A作AQ∥EM，
∴∠E+∠EAQ＝180°，
∵EM∥BN，
∴AQ∥BN，
∴∠QAB+∠B＝180°，
∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，
∴∠ABN＝100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝50°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝
∠AEM，∠FBC＝
∠ABN，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝
∠ABN，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣
∠AEM﹣
∠ABN＝180°﹣
（360°﹣∠A）＝
∠A，
即∠A＝2∠EFD；
（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，
由题意得4•2x＝3（90+x），
解得x＝54°，
答：∠EFB的度数为54°．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．
10．（中山区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且AB∥DE，∠1＝∠2．
求证：AF∥BC．
【分析】先由AB∥DE得出∠2＝∠B，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠B，进而可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠2＝∠B．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴AF∥BC．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
11．（禅城区期末）在元旦期间，某商场投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，两种商品的成本价和销售价如下表所示：
-
商品
单价（元/件）
成本价
销售价
甲
24
36
乙
33
48
（1）该商场购进两种商品各多少件？
（2）这批商品全部销售完后，该商场共获利多少元？
【分析】（1）设商场购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，列出方程组解答即可；
（2）根据总利润＝甲的利润+乙的利润，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设商场购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，由题意得：
，
解得：
，
答：商场购进甲种商品300件，购进乙种商品200件．
（2）根据题意得：
300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
＝3600+3000
＝6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
12．（汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝
＝4﹣
x（x、y为正整数）．要使y＝4﹣
x为正整数，则
x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣
x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为
．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 
．
（2）若
为自然数，则满足条件的正整数x的值有 B
A．3个B．4个C．5个D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组
的解是正整数，求整数k的值．
【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）根据题意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝8的正整数解为
，
故答案为
；
（2）正整数有9，6，5，4，共4个，
故选B；
（3）
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得：y＝
，
∵x，y是正整数，k是整数，
4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，﹣4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
13．（润州区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得：
．
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：
，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
14．（杭州期中）甲、乙两人同解方程
时，甲正确解得
乙因为抄错c而解得
，请回答下列问题：
（1）求2a+3b﹣4c的值；
（2）求4a×8b÷42c的值（结果保留幂的形式）．
【分析】（1）根据方程的解得概念得出
，解之求得a、b、c的值，代入计算可得；
（2）将a、b、c的值代入原式，再利用幂的运算法则计算可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：
，
解得：a＝4、b＝5、c＝﹣2，
则原式＝2×4+3×5﹣4×（﹣2）
＝8+15+8
＝31；
（2）原式＝44×85÷4﹣4
＝28×215÷2﹣8
＝231．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15．（杭州一模）若关于x、y的方程组
与
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m、n的值．
【分析】（1）联立两方程中不含m，n的方程求出相同的解即可；
（2）把求出的解代入剩下的方程中求出m与n的值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得：
，
解得：
；
（2）将x＝2、y＝﹣1代入方程组，得：
，
解得：
．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
16．（蒙阴县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
17．（椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求
的值．
【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；
理由如下：
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有
所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；
＝﹣2．
【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应．
18．（汝阳县期中）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣1．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，整式的乘法公式计算即可；
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣5＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的应用，属于中考常考题型．
19．（杭州期中）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0，
，b的形式，试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．
【分析】由于
有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，则
＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．
【解答】解：由题可得：a≠0，a+b＝0，
∴
＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
又∵2n﹣1为奇数，﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数，﹣1的偶数次方得1，
∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知条件求出未知数a，b的值．
20．（伊通县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴
，
∴
；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
21．（绍兴期中）先化简再求值：（2a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1），其中a＝﹣
．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+1＝4a+2，
当a＝﹣
时，原式＝﹣6+2＝﹣4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（莆田期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）写出由图2所表示的数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；写出由图3所表示的数学等式： （a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac ；
（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c＝11，bc+ac+ab＝38，求a2+b2+c2的值．
【分析】（1）运用几何直观理解、通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式然后再通过化简可得．
（2）可利用（1）所得的结果进行等式变换直接代入求得结果．
【解答】解：（1）由图2可得正方形的面积为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
由图3可得阴影部分的面积是：
（a﹣b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2﹣2bc﹣2（a﹣b﹣c）c﹣2（a﹣b﹣c）b＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
即：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
故答案为：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
（2）由（1）可得：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝112﹣2×38＝45
【点评】本题主要是在完全平方公式的几何背景图形的基础上，利用其解题思路求得结果．
23．（湘潭期末）王老师家买了一套新房，其结构如图所示，（单位：米）他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
【分析】（1）根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的面积和题目中的信息，可以求得王老师需要花多少钱．
【解答】解：（1）卧室的面积是：2b（4a﹣2a）＝4ab（平方米），
厨房、卫生间、客厅的面积是：b•（4a﹣2a﹣a）+a•（4b﹣2b）+2a•4b＝ab+2ab+8ab＝11ab（平方米），
即木地板需要4ab平方米，地砖需要11ab平方米；
（2）11ab•x+4ab•3x＝11abx+12abx＝23abx（元）
即王老师需要花23abx元．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
24．（杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
【分析】（1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式进而求出答案；
（3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a﹣b）2＝49，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2＝25；
（3）∵a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
25．（郾城区期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C
A．提取公因式法B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；
（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；
（3）仿照题中方法将原式分解即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，
故答案为：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4；
故答案为：不彻底；（x﹣2）4；
（3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
26．（饶平县校级期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．
（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．
【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC＝∠1＝35°，然后由邻补角的定义求得∠2的度数即可；
（2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC＝180°，然后由∵∠A＝∠C，再证得∠C+∠ADC＝180°，从而可证得BC∥AD；
（3）由AE∥CF可证明∠BDF＝∠DBE，由BC∥AD，可证明∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义可知，∠ADB＝
∠BDF，从而可证明∠DBC＝
∠EBD．
【解答】解：（1）∵AE∥CF，
∴∠BDC＝∠1＝35°，
又∵∠2+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；
（2）BC∥AD．
理由：∵AE∥CF，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴BC∥AD．
（3）∵AE∥CF，
∴∠BDF＝∠DBE．
∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB＝
∠BDF，
∴∠DBC＝
∠EBD．
∴BC平分∠DBE．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质的应用，掌握平行线的性质是解题的关键．
27．（饶平县校级期末）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF＝∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC＝90°（ 等量代换 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
【分析】灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC＝90°，即可得CD⊥AB．
【解答】解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．
28．（蒙阴县期中）如图，点E在直线DC上，点B在直线AF上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠D，请说明理由．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME （对顶角相等）
∴∠1＝∠DME
∴BC∥EF （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠B＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴ DE ∥ AB （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠D （两直线平行，内错角相等） ．
【分析】先根据∠1＝∠2，∠2＝∠DME即可得出∠1＝∠DME，进而判定BC∥FE，即可得出∠3+∠B＝180°，再根据∠3＝∠4，可得∠4+∠B＝180°，进而得到DE∥AB，再根据平行线的性质，可得∠A＝∠D．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME（对顶角相等）
∴∠1＝∠DME
∴BC∥FE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴DE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；DE，AB；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
29．（洞口县模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1＝∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，再由已知条件得出∠1＝∠DCE，即可得出结论．
【解答】解：DG∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCE，
∴DG∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1＝∠DCE是解决问题的关键．
30．（柯桥区期中）如图，CD∥AB，∠DCB＝75°，∠CBF＝25°，∠EFB＝130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？请说明理由．
【分析】两直线的位置关系有两种：平行和相交，根据图形可以猜想两直线平行，然后根据条件探求平行的判定条件．
【解答】解：EF∥AB，
理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝75°
∴∠CBA＝∠DCB＝75°（两直线平行，内错角相等），
∵∠FBA＝∠CBA﹣∠CBF，∠CBF＝25°
∴∠FBA＝75°﹣25°＝50°，
∵∠EFB＝130°
∴∠FBA+∠EFB＝180°
∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，证明两直线平行的方法就是转化为证明两角相等或互补．
31．（湖州期中）如图，已知BC∥GE，AF∥DE，点D、F分别在直线BC、GE上，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）先根据BC∥EG得出∠E＝∠1＝50°，再由AF∥DE可知∠AFG＝∠E＝50°；
（2）作AM∥BC，由平行线的传递性可知AM∥EG，故∠FAM＝∠AFG，再根据AM∥BC可知∠QAM＝∠Q，故∠FAQ＝∠FAM+∠QAM，再根据AQ平分∠FAC可知∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°，根据AM∥BC即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BC∥EG，
∴∠E＝∠1＝50°．
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°；
（2）作AM∥BC，
∵BC∥EG，
∴AM∥EG，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°．
∵AM∥BC，
∴∠QAM＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠QAM＝65°．
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°．
∵AM∥BC，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
32．（绍兴期中）如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE，试说明∠1＝∠2．
【分析】利用平行线的判定及性质，通过证明∠1＝∠BCD＝∠2达到目的．
【解答】证明：∵∠B＝∠ADE（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠DCB．（两直线平行，内错角相等）
∵CD⊥AB，GF⊥AB，
∴CD∥FG（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCB．（两直线平行，同位角相等）
∴∠1＝∠2．（等量代换）
【点评】此题主要考查了平行线的判定及性质．
性质：1、两直线平行，同位角相等；2、两直线平行，内错角相等；3、两直线平行，同旁内角互补．
判定：1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行．
33．（岳池县期末）已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1＝∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由．
【分析】根据平行线的判定定理易证AD∥FG，又由平行线的性质、已知条件，利用等量代换推知∠DAC＝∠2，则ED∥AC，所以由“两直线平行，同位角相等”证得结论．
【解答】解：∠BDE＝∠C，理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADC＝∠FGC＝90°，
∴AD∥FG，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠DAC＝∠2，
∴ED∥AC，
∴∠BDE＝∠C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
34．（临邑县期末）已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【分析】（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解．
（2）将x+y＝0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得m的值；
（3）当含m项为零时，取x＝0，代入可得固定的解；
（4）求出方程组中x的值，根据x恰为整数，m也为整数，确定m的值．
【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，
解得：x＝6﹣2y，
当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，
方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：
，
；
（2）由题意得：
，解得
，
把
代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣
；
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
（1+m）x﹣2y＝﹣5，
∴当x＝0时，y＝2.5，
即固定的解为：
，
（4）
，
①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，
（2+m）x＝1，
x＝
，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m是1的约数，
2+m＝1或﹣1，
m＝﹣1或﹣3．
【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
35．（海淀区校级期末）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【分析】本题可设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，因为车间有工人56名，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，建立方程组求解即可得出结论．
【解答】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，
根据题意，得
，
解得
答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．
【点评】此类题目的解决需仔细分析题意，利用方程组即可解决问题，但应注意配套问题中零件数目的关系．
36．（鄞州区期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
-
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【分析】（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据水果120吨且运费为8200元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
【解答】解析：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得
．
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x+2y＝40，x＝8﹣
y，
因x，y是正整数，且不大于14，得y＝5，10，
由z是正整数，解得
，
，
当x＝6，y＝5，z＝5时，总运费为：6×400+5×500+5×600＝7900元；
当x＝4，y＝10，z＝2时，总运费为：4×400+10×500+2×600＝7800元＜7900元；
∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
37．（饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝
∠MBE，∠CDN＝
∠NDE，直线MB、ND交于点F，则
＝ 
．
【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；
（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；
（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝
∠ABE﹣
∠CDE＝
（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝
∠E．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝
∠MBE，∠CDN＝
∠NDE，
∴∠ABM＝
∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝
∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝
∠ABE﹣
∠CDE＝
（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝
∠E，
即
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．
38．（九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ∠BME＝∠MEN﹣∠END ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ∠BMF＝∠MFN+∠FND ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝
∠BME，进而可求解．
【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，
∵2∠MEN+∠MFN＝180°，
∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝
∠MEN＝
（∠BME+∠END），∠ENP＝
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝
（∠BME+∠END）﹣
∠END＝
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝
×60°＝30°．
【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．
39．（金华期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成∠B＝60°，∠C＝85°，∠D＝25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；
（2）如图3，若∠C＝∠D＝25°，调整线段AB、BC使得AB∥CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若∠C＝85°，∠D＝25°，AB∥DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；
（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；
（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由是：
如图2，过点C作CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF＝60°，
∵∠BCD＝85°，
∴∠CDF＝25°，
∵∠D＝25°，
∴∠D＝∠DCF＝25°，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE；
（2）如图3，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝25°；
如图4：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣25°＝155°；
（3）如图2，由（1）得：∠B＝85°﹣25°＝60°；
如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，
∴∠FCD＝∠D＝25°，
∵∠BCD＝85°，
∴∠BCF＝85°﹣25°＝60°，
∵AB∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，
∴∠B＝120°；
如图6，∵∠C＝85°，∠D＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣85°﹣25°＝70°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠CFD＝70°，
如图7，同理得：∠B＝25°+85°＝110°，
综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．
40．（南安市期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×
＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
41．（拱墅区校级期中）已知关于x、y的方程组
．
（1）请写出方程x+2y＝6的所有正整数解．
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（3）当m每取一个值时，2x﹣2y+mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解答】解：（1）方程x+2y＝6的正整数解有：
，
．
（2）将x+2y＝6记作①，x+y＝0记作②．
由②，得x＝﹣y．
将x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．
解得y＝6．
∴x＝﹣6．
∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．
解得，m＝
．
（3）2x﹣2y+mx＝8变形得：（2+m）x﹣2y＝8，
令x＝0，得y＝﹣4，
∴无论m取如何值，
都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，
∴公共解为
；
（4）
，
①+②得，3x+mx＝14，
∴x＝
，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．
此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．
当m＝﹣1时，x＝7，y＝﹣
，不符合题意；
当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；
当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；
当m＝﹣5时，x＝﹣7，y＝
，不符合题意，
当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，
当m＝﹣17时，x＝﹣1，y＝
，不符合题意；
当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，
当m＝11时，x＝1，y＝
，不符合题意，
综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
42．（拱墅区校级期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型正方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：
-
x只竖式箱子
y只横式箱子
A型板材张数（张）
x
2y
B型板材张数（张）
4x
3y
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
（2）若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 35 ，此时能制作横式箱子 5 只．
【分析】（1）①根据题意做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板，即可解答本题；
②根据题意可以列出相应的二元一次方程组，再解方程组即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解决问题．
【解答】解：（1）①如图所示：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板，
故答案为：4x，2y；
②∵恰好将库存板材用完，根据题意，得
，
解得
，
答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只；
（2）设C型板有x张全部切成A板，则有（n﹣x﹣1）张全部切成B板，
且一张3×3m的C型板可以切成3×3＝9张A型板或3张B型板，
得（3+9x）张A板，[2+3（n﹣x﹣1）]＝（3n﹣3x﹣1）张B板，
因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板，
则剩余A板（9x﹣17）张，B板（3n﹣3x﹣81）张，
根据题意，得
＝
，
整理，得n＝
x+
，
∵9x﹣17≥0，
∴x≥
，
∵3n﹣3x﹣81≥0，
∴n≥x+27，
，
解得
，
∵x≥
，且x为整数，
∴x取最小值为2时，n＝11+
（不符合题意，舍去），
当x＝3时，n＝35，
∴x取最小值为3时，n＝35最小．
此时，剩余A板10张，可以做5只横式板．
∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只．
故答案为：35，5．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．
43．（奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：
-
购票人数
1～50人
51～100人
100以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？
（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？
【分析】（1）本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10＝920；（甲班人数+乙班人数）×5＝515，据此可列方程组求解；
（2）A团队a人，B团队（160﹣a）人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答．
【解答】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人．
由题意得：
，
解得：
．
答：甲班55人，乙班48人；
（2）设A团队a人，B团队（160﹣a）人，
①当1≤a≤50时，由题意得：10a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝30，
则160﹣a＝130．
即A团队30人，B团队130人；
②当51≤a＜60时，由题意得：8a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝50，不合题意，舍去．
③当60≤a＜100时，由题意得：8a+8（160﹣a）＝950，明显该等式不成立．
④当100≤a＜110时，5a+8（160﹣a）＝950．
解得a＝110，不合题意，舍去；
⑤当a≥110时，5a+10（160﹣a）＝950．
解得a＝130，则160﹣a＝30．
即A团队130人，B团队30人；
综上所述，A团队30人，B团队130人或A团队130人，B团队30人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题按购票人数分为三类门票价格．
44．（虹口区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 64 张，B型板材 38 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：
，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，
所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生A型板材为，2×4＝8，
所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个，
所以
，
解得
．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
45．（海安市校级模拟）江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？
（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？
【分析】（1）可设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，根据等量关系：①生产甲种产品需要的A种原料的吨数+生产乙种产品需要的A种原料的吨数＝A种原料120吨，②生产甲种产品需要的B种原料的吨数+生产乙种产品需要的B种原料的吨数＝B种原料50吨；依此列出方程求解即可；
（2）可设乙种产品生产z件，则生产甲种产品（z+25）件，根据等量关系：甲种产品的产值+乙种产品的产值＝总产值1375千元，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，依题意有
，
解得
，
15×50+30×20
＝750+600
＝1350（千元），
1350千元＝135万元．
答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；
（2）设乙种产品生产z件，则生产甲种产品（z+25）件，依题意有
（1+10%）×50（z+25）+（1﹣10%）×30z＝1375，
解得z＝0，
z+25＝25，
120﹣25×4
＝120﹣100
＝20（吨），
50﹣25×2
＝50﹣50
＝0（吨）．
答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A种原料还剩下20吨，B种原料正好用完，还剩下0吨．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
46．（宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 30 ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ 156 ．
【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
47．（罗湖区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【分析】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
48．（杭州期中）如图，∠DAB＝∠BCD，∠1+∠2＝180°，BC平分∠ACH．
（1）找出图中所有的平行直线，并说明理由．
（2）判断：AD是∠GAC的角平分线吗？并说明理由．
（3）填一填：图中与∠B相等的角共有 5 个．（不包括∠B）
【分析】（1）根据平行线的判定解答即可；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）根据平行线的性质和等量代换解答即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠ACD＝180°，
∴∠1＝∠ACD，
∴AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠BCD，∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠ADC＝∠BCH，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AB∥DC，
∴∠GAC＝∠ACH，
∵BC平分∠ACH．
∴∠ACB＝∠BCH，
∴∠GAD＝∠DAC，
即AD平分∠GAC；
（3）∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠BCH＝∠D＝∠GAD＝∠ACB＝∠DAC，
故答案为：5
【点评】此题考查平行线的判定和性质，用到的知识点：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
49．（乐清市校级期中）如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，回答下列问题：
（1）试说明AB∥OC
（2）若点E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．则∠EOB的度数为 40 °
（3）在（2）的条件下，∠OFC：∠OBF＝ 2：1 ．
【分析】（1）根据CB∥OA，可得∠C与∠OCA的关系，再根据∠C＝∠OAB＝100°可以解答本题．
（2）根据∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，即可得到∠EOB＝∠BOF+∠EOF＝
（∠AOF+∠COF），据此进行计算即可；
（3）根据∠FOB＝∠AOB，即可得到∠AOB：∠AOF＝1：2，再根据CB∥OA，可得∠AOB＝∠OBF，∠AOF＝∠OFC，进而得出结论．
【解答】解：（1）理由如下：
∵CB∥OA，
∴∠ABC+∠OAB＝180°，
∵∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠C+∠OAB＝180°，
∴AB∥OC；
（2）∵CB∥OA，∠C＝100°，
∴∠AOC＝80°，
又∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠BOF+∠EOF＝
（∠AOF+∠COF）＝
×80°＝40°；
故答案为：40；
（3）∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠AOB：∠AOF＝1：2，
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBF，∠AOF＝∠OFC，
∴∠OFC：∠OBF＝2：1．
故答案为：2：1．
【点评】本题考查平行线的性质、角的计算，解答本题的关键是理清题目中给出的信息，找出所求问题需要哪些信息．
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠1，根据平角的定义求得∠AOP＝116°，根据角平分线的性质和平行线的性质求得∠A的度数；
（2）利用已知条件和平行线的性质、角平分线的性质解答即可．
（3）根据（1）（2）的规律即可求得．
【解答】解：（1）如图1，∵OP∥AE，
∴∠A＝∠1，
∵∠BOP＝58°，OB是∠AOP的角平分线，
∴∠AOP＝2∠BOP＝116°
∴∠1＝180°﹣116°＝64°，
∴∠A＝∠1＝64°；
（2）如图2，
∵OP∥AE，
∴∠POD＝∠ADO＝39°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OD平分∠COP，
∴∠COP＝2∠DOP＝78°，
∴∠ABO﹣∠AOB＝∠COP＝78°；
（3）如图3，由（1）可知，∠ABO＝
（180°﹣m），∠AB1O＝
（180°﹣∠OBB1）＝
∠ABO＝
（180°﹣m），∠AB2O＝
（180°﹣m），…
则∠ABnO＝
．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．