期末精选60题（压轴版）
一．选择题（共3小题）
1．（南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c＝0时，a＝6；
当c＝1时，a＝4；
当c＝2时，a＝2；
当c＝3时，a＝0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关键．
2．（北仑区期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝
．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝
＝
．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝
；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣
；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝
，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝
＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝
＝1﹣
，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
3．（温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）
A．13
小时 B．13
小时 C．14
小时 D．14
小时
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
＝
．
解得x＝20
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
则丙的工作效率是
．
所以一轮的工作量为：
+
+
＝
．
所以4轮后剩余的工作量为：1﹣
＝
．
所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：
﹣
﹣
＝
．
所以丙还需要工作
小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+
＝14
小时．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题）
4．（乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．（奉化区校级期末）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 ∠3＝∠1+∠2 ；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 ∠3＝∠1+∠2 ；
（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为 ∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3 ．
【分析】（1）作PE∥AC，如图1，由于l1∥l2，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1＝∠EPC，∠2＝∠EPD，所以∠1+∠2＝∠3；
（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【解答】证明：（1）如图1，过点P作PQ∥l1，
∵PQ∥l1，
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥l1，l1∥l2（已知），
∴PQ∥l2（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠1+∠2（等量代换）；
故答案为：∠3＝∠1+∠2；
（2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
故答案为：∠3＝∠1+∠2；
（3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．
故答案为：∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．（义乌市期末）如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 7或
．
【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI＝2DG﹣10，KH＝DG﹣3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或
．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝
时，AF＝CG＝
，AJ＝
，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝
．
故答案为7或
．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
7．（嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 104020（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．
【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），
当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
【点评】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
三．解答题（共53小题）
8．（奉化区期末）已知EM∥BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝ 60° ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．
【分析】（1）过A作AQ∥EM，判定AQ∥BN，根据平行线的性质可求解；
（2）①由（1）的结论可求解∠ABN＝100°，利用角平分线的定义可求∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；
（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，根据4∠A＝3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）过A作AQ∥EM，
∴∠E+∠EAQ＝180°，
∵EM∥BN，
∴AQ∥BN，
∴∠QAB+∠B＝180°，
∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，
∴∠ABN＝100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝50°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF＝
∠AEM，∠FBC＝
∠ABN，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝
∠ABN，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣
∠AEM﹣
∠ABN＝180°﹣
（360°﹣∠A）＝
∠A，
即∠A＝2∠EFD；
（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，
由题意得4•2x＝3（90+x），
解得x＝54°，
答：∠EFB的度数为54°．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．
9．（长兴县期末）如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β
①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数．
②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．
【分析】（1）依据EF平分∠AEG，可得∠AEF＝∠GEF，再根据∠EFG＝∠FEG，可得∠AEF＝∠GFE，进而得出AB∥CD；
（2）①依据∠HEG＝40°，即可得到∠FEG＝70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH＝∠QGE＝20°，根据∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ进行计算即可；
②根据∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，即可得到∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG＝
∠AEG，∠EGQ＝
∠EGH，最后依据∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ进行计算，即可得到α＝
β．
【解答】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠GEF，
又∵∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠HEG＝40°，
∴∠FEG＝
（180°﹣40°）＝70°，
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH＝∠QGE＝20°，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝70°﹣20°＝50°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG＝
∠AEG，∠EGQ＝
∠EGH，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ
＝
（∠AEG﹣∠EGH）
＝
∠EHG，
即α＝
β．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
10．（余杭区期末）如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
（1）若∠ADQ＝110°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解决问题；
（2）分3种情形讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长DE交MN于H．
∵∠ADQ＝110°，ED平分∠ADP，
∴∠PDH＝
∠PDA＝35°，
∵PQ∥MN，
∴∠EHB＝∠PDH＝35°，
∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，
∴∠EBH＝
∠ABC＝30°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝65°．
（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝
n，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（
n）°+30°＝210°﹣（
n）°，
当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．
∵∠HBA＝∠ABP＝30°，∠ADH＝∠CDH＝（
n）°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝（
n）°﹣30°，
当点E在PQ上方时，∵∠DAB＜120°，
∴∠ADQ＝∠DAM＞60°，
∴∠EDP＞30°，
∵∠DHB＝∠MBH＝30°＞∠EDH，这个结论显然不成立，故此种情形不成立．
综上所述，∠BED＝210°﹣（
n）°或（
n）°﹣30°．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
11．（嵊州市期末）已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系．
（2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：
①
的值不变；
②∠GEN﹣∠BDF的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少．
【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1+∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°﹣2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°﹣x，据此可得
的值不变．
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）结论①
的值不变是正确的，
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴
＝
＝2（定值），
即
的值不变，值为2．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
12．（越城区期末）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．
（1）若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，
（2）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，
∵∠CBN＝100°，∠ADQ＝130°，
∴∠CBM＝80°，∠ADP＝50°，
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠EBM＝
∠CBM＝40°，∠EDP＝
∠ADP＝25°，
∵EF∥PQ，
∴∠DEF＝∠EDP＝25°，
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN．
∴∠FEB＝∠EBM＝40°
∴∠BED＝25°+40°＝65°；
（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝
n，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（
n）°+40°＝220°﹣（
n）°，
当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．
∵∠HBE＝∠ABP＝40°，∠ADH＝∠CDH＝（
n）°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝（
n）°﹣40°，
当点E在PQ上方时，如图4中，设PQ交BE于H．同法可得∠BED＝40°﹣
n°．
综上所述，∠BED＝220°﹣（
n）°或（
n）°﹣40°或40°﹣（
n）°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求∠BED解题的关键．
13．（上城区期末）已知平面上有两条直线AB和CD，E是平面上该两直线处一点．
（1）如图1，若直线AB∥CD，∠ABE＝40°，∠CDE＝25°，则∠BED＝ 65° ；
（2）若将E点移至图2所示位置，且∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，则AB与CD的位置关系是 AB∥CD ；请说明理由．
（3）探索：如图3，在（1）的基础上，再增加两个拆点，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是 ∠1+∠2+∠4＝∠5+∠3 ；
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥CD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠ABE，∠2＝∠CDE，然后根据∠BED＝∠1+∠2计算即可得解；
（2）连接BD，根据三角形内角和定理得出∠E+∠EDB+∠EBD＝180°，求出∠ABD+∠CDB＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（3）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠2+∠4＝∠5+∠3．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠CDE，
∴∠BED＝∠1+∠2＝40°+25°＝65°，
故答案为：65°；
（2）AB∥CD，
理由：连接BD，
∵∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∠E+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴AB∥CD；
故答案为：AB∥CD；
（3）由（1）的结论得，∠1+∠2+∠4＝∠5+∠3，
故答案为：∠1+∠2+∠4＝∠5+∠3．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，利用性质解决问题．
14．（东阳市期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在线段AB上．
（1）如图1，∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 ∠1+∠2＝∠3 ；
如图2，A点在B处北偏东40°方向，A点在C处的北偏西45°方向，则∠BAC＝ 85 °．
（2）如图3，∠1，∠2，∠3之间的有何等量关系？请说明理由．
【分析】（1）①在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；②利用①结论即可求解．
（2）如图2中作PM∥l1，根据平行线的性质即可证明．
【解答】解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
故答案为∠1+∠2＝∠3．
由①可知：∠BAC＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案为85°．
（2）结论：∠1+∠2+∠3＝360°，利用如下：
如图2中，作PM∥l1，
∵l1∥l2，
∴PM∥l2，
∴∠1+∠APM＝180°，∠2+∠MPB＝180°，
∴∠1+∠APM+∠MPB+∠2＝360°，
∴∠1+∠APB+∠2＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
【点评】本题考查平行线的性质和判定、方位角等知识，正确添加辅助线是解决问题的关键．
15．（越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是 ∠P＝2∠P1 ．
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是 140° ．
【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；
②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）
即∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）①结论：∠P＝2∠P1；
理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，
∴∠P＝2∠P1．
故答案为：∠P＝2∠P1；
②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2＝
∠CAP，∠EBP2＝
∠EBP，
∴∠AP2B＝
∠CAP+
∠EBP
＝
（180°﹣∠DAP）+
（180°﹣∠FBP）
＝180°﹣
（∠DAP+∠FBP）
＝180°﹣
∠APB
＝180°﹣
80°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
16．（奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝
∠BAP+
∠DCP＝
（∠BAP+∠DCP）＝
∠APC，进而得到∠AKC＝
∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝
∠BAP﹣
∠DCP＝
（∠BAP﹣∠DCP）＝
∠APC，进而得到∠AKC＝
∠APC．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC＝
∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝
∠BAP+
∠DCP＝
（∠BAP+∠DCP）＝
∠APC，
∴∠AKC＝
∠APC；
（3）∠AKC＝
∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK＝
∠BAP﹣
∠DCP＝
（∠BAP﹣∠DCP）＝
∠APC，
∴∠AKC＝
∠APC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
17．（咸安区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．
【分析】（1）由BC∥OA得∠B+∠O＝180°，所以∠O＝180°﹣∠B＝60°，则∠A+∠O＝180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE＝∠FOE，加上∠FOC＝∠AOC，所以∠EOF+∠COF＝
∠AOB＝30°；
（3）由BC∥OA得到OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，加上∠FOC＝∠AOC，则∠AOF＝2∠AOC，所以∠OFB＝2∠OCB；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，根据平行线的性质得∠OEB＝∠AOE，则∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝60°﹣x，利用∠OEB＝∠OCA得到30°+x＝60°﹣x，解得x＝15°，所以∠OCA＝60°﹣x＝45°．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
∴∠O＝180°﹣∠B＝60°，
而∠A＝120°，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠FOE，
而∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOF+∠COF＝
∠AOB＝
×60°＝30°，
即∠EOC＝30°；
（3）比值不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠AOF＝2∠AOC，
∴∠OFB＝2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，
∵∠OEB＝∠AOE，
∴∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，
而∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝180°﹣x﹣120°＝60°﹣x，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴30°+x＝60°﹣x，
解得x＝15°，
∴∠OCA＝60°﹣x＝60°﹣15°＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
18．（九龙坡区校级模拟）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE＝∠BED ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED＝360° ．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，据此推得∠ABE+∠CDE＝∠BED即可．
（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF＝
（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠BED＝∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD＝
∠BED．
（3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；然后根据∠BFD＝∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED＝360°即可．
【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE＝∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∴∠ABE+∠CDE＝∠1+∠2＝∠BED，
即∠ABE+∠CDE＝∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE＝∠BED．
（2）∠BFD＝
∠BED．
理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝
∠ABE，∠CDF＝
∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝
∠ABE+
∠CDE＝
（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝
（∠ABE+∠CDE）
∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD＝
∠BED．
（3）2∠BFD+∠BED＝360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
由（1）知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝
∠ABE，∠CDF＝
∠CDE，
∴∠BFD＝
（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED＝360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED＝360°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
19．（嵊州市期末）已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．
（1）若∠1＝33°，∠APB＝74°，则∠2＝ 41 度．
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．
【分析】（1）图1，过P作PC∥直线a，根据平行线的性质得到∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，于是得到结论；
（2）如图2，由已知条件得到四边形MQNP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，根据平角的定义即可得到结论；
（3）由垂直的定义得到∠QEP＝90°，由平行线的性质得到∠QFE＝∠P，根据平角的定义得到结论．
【解答】解：（1）图1，过P作PC∥直线a，
∴PC∥b，
∴∠1＝∠APC，∠2＝∠BPC，
∴∠2＝∠APB﹣∠1＝41°；
故答案为：41；
（2）如图2，∵QM∥PB，QN∥PA，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∴∠MQN＝∠P＝∠1+∠2，
∴∠EQN＝180°﹣∠MQN＝180°﹣∠1﹣∠2；
即∠Q＝∠1+∠2或，∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2；
（3）∵QE⊥AP，
∴∠QEP＝90°，
∵QF∥PB，
∴∠QFE＝∠P，
∴∠EQF＝90°﹣∠QFE＝90°﹣∠1﹣∠2，
∴∠EQG＝180°﹣∠EQF＝90°+∠1+∠2．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．
20．（南湖区校级期末）完成下面推理步骤，并在每步后面的括号内填写出推理根据：
如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠ BAE （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠ BAE （ 等量代换 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CAE+∠ 1 ＝∠CAE+∠ 2 ，
即∠ BAE ＝∠ DAC ，
∴∠3＝∠ DAC ，
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】首先由平行线的性质可得∠4＝∠BAE，然后结合已知，通过等量代换推出∠3＝∠DAC，最后由内错角相等，两直线平行可得AD∥BE．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝∠BAE（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC，
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；1；2；BAE；DAC；DAC；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的性质和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
21．（长兴县期末）如图所示，直线EF分别交直线AB，CD与点E，F，过点F作FG⊥FE交直线AB于点G，且∠3﹣∠2＝90°．
（1）请说明AB∥CD的理由．
（2）如果∠DFG＝50°，求∠1的度数．
【分析】（1）求出∠CFG+∠FGE＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠2度数，根据平行线的性质求出∠2＝∠FEG＝40°，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵FG⊥EF，
∴∠EFG＝90°，
∵∠3﹣∠2＝90°，∠FGE＝180°﹣∠3，∠2＝∠CFE，
∴∠CFG+∠FGE＝90°+∠2+180°﹣∠3＝90°+180°﹣90°＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵FG⊥EF，
∴∠2+∠DFG＝90°，
∵∠DFG＝50°，
∴∠2＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FEG＝40°，
∴∠1＝∠FEG＝40°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（宁波期末）用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为x厘米，y厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，x＞y）．
（1）用含x，y的代数式表示这三块木板的面积；
（2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求x，y的值；
（3）如果购买一块长120厘米，宽为（x+y）的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为
，试求
+
的值．
【分析】（1）利用展开图结合立体图形的边长进而得出答案；
（2）利用“甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块面积为1800平方厘米”，结合（1）中所求得出等式求出即可；
（3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积，进而利用木板的利用率为
，得出等式求出即可．
【解答】解：（1）甲：xy+30x，乙：30x+30y，丙：xy+30y．
（2）由题意得：
，
解得：
；
（3）由题意可得：
＝
，
整理得：xy＝18（x+y），
则
+
＝
＝
＝
．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，正确利用已知得出等量关系是解题关键．
23．（拱墅区校级期末）用如图所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和1000张长方形纸板，能否在做成若干个所说的纸盒后，恰好将库存的纸板用完？若能，求出两种纸盒各做了多少个？若不能，求出最多能各做多少个？
【分析】设做第一种x个，第二种y个，根据共有500张正方形纸板和1001张长方形纸板，列方程组求解．
【解答】解：设做第一种x个，第二种y个，
由题意得，
，
解得：
．
答：做第一种100个，第二种200个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
24．（余杭区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．
求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
【分析】（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据运费＝每吨每千米的运费×运输重量结合这次运输共支出公路运输费960元、铁路运输费1900元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，
根据题意得：
，
解得：
．
答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．
（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润＝销售收入﹣成本﹣运费，列式计算．
25．（庆元县期末）某超市进行装修，若请A、B两个装修队同时施工，6天可以完成，需付两队装修费共3600元，若先请A队单独做4天，再请B队单独做9天可以完成，需付装修费3500元．
（1）A、B两装修队工作一天，超市各应付多少元给他们？
（2）已知A队单独完成需10天，B队单独完成需求15天，单独请哪个队超市所需费用最少？
（3）在（2）的条件下，若装修完，超市每天可盈利200元，你认为如何安排施工更有利于超市？请说明理由．
【分析】（1）设A每天费用为x元，B每天费用为y元，根据题意可得等量关系：①A、B两个装修队同时施工，6天可以完成，需付两队费用共3600元；②甲队单独做4天，再请乙队单独做9天可以完成，需付两队费用共3500元，根据费用列出方程组，解方程组即可；
（2）分别求出AB两队的施工费用，再进行比较即可；
（3）分别求出A单独做，B单独做和A，B合作需要的费用，再作出比较．
【解答】解：（1）设：A队工作一天商店应付x元，B队工作一天超市付y元．
由题意得
，
解得
，
答：A、B两装修队工作一天，超市各应付380元和220元给他们；
（2）单独请A队需要的费用：380×10＝3800元．
单独请B队需要的费用：15×220＝3300元．
答：单独请B队需要的费用少；
（3）请两队同时装修，理由：
A单独做，需费用3800元，少盈利200×10＝2000元，相当于损失5800元；
B单独做，需费用3300元，少盈利200×15＝3000元，相当于损失6300元；
A、B合作，需费用3600元，少盈利200×6＝1200元，相当于损失4800元；
因为4800＜5800＜6300，
所以A、B合作损失费用最少．
答：A、B合作施工更有利于商店．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
26．（越城区期末）“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算．小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
-
时间（分钟）
里程数（千米）
车费（元）
小明
7
5
12.1
小亮
6
4.5
10.8
（1）求p，q的值；
（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？
【分析】（1）利用表格中信息列出方程组即可；
（2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意
，
解得
．
（2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：
①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（20﹣x﹣8）×0.6＝52，解得x＝7；
②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（x﹣8）×0.6+（20﹣x﹣8）×0.6＝52，不存在；
③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米，2×20+0.3（20÷40）×60+（x﹣8）×0.6＝52，解得x＝13；
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
27．（德清县期末）为迎接G20杭州峰会的到来，德清某企业承接了一批峰会所需礼盒的制作业务，该企业进行了前期的试生产，如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该企业原计划用若干天加工纸箱300个，后来由于提升工作效率，实际加工时每天加工速度为原计划的1.5倍，这样提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个，问原计划每天加工礼盒多少个；
（2）若该企业购进正方形纸板550张，长方形纸板1200张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该企业某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板100张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜168，试求在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值．（请直接写出结果）
【分析】（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，根据“提前3天超额完成了任务，且总共比原计划多加工15个”即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x值；
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100﹣2t）个，根据“竖式纸盒需要4个长方形和1个正方形纸板，横式纸盒需要3个长方形和2个正方形纸板”即可得出a与t之间的关系式，再结合a的取值范围即可求出t的取值范围，根据t为正整数，即可得出t的值，从而即可得出a的所有可能值．
【解答】解：（1）设原计划每天加工礼盒x个，则实际加工时每天加工礼盒1.5x个，
根据题意得：
﹣
＝3，
解得：x＝30，
经检验：x＝30为分式方程
﹣
＝3的解．
答：原计划每天加工礼盒30个．
（2）设竖式纸盒加工m个，横式纸盒加工n个，恰好能将购进的纸板全部用完．
由已知得：
，解得：
，
答：竖式纸盒加工150个，横式纸盒加工200个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（3）设该天横式纸盒加工t个，则竖式纸盒加工（100﹣2t）个，
由题意得：a＝3t+4×（100﹣2t）＝﹣5t+400，
∵150＜a＜168，
∴150＜﹣5t+400＜168，
解得：46
＜t＜50，
∵t为整数，
∴t＝47、48、49，
∴a＝165、160、155．
答：在这一天加工两种纸盒时a的所有可能值为155、160和165．
【点评】本题考查了解分式方程、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列出关于m、n的二元一次方程组；（3）根据数量关系找出a关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
28．（嵊州市期末）为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的数量和总价如表所示．
-
甲型垃圾桶
数量（套）
乙型垃圾桶
数量（套）
总价（元）
A
10
8
3320
B
5
9
2860
C
a
b
2580
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答．
（2）根据图表中的数据列出关于a、b的二元一次方程，结合a、b的取值范围来求它们的值即可．
【解答】解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．
依题意得：
，
解得
．
答：甲型垃圾桶的单价是140元/套，乙型垃圾桶的单价是240元/套．
（2）由题意得：140a+240b＝2580，
整理，得
7a+12b＝129，
因为a、b都是正整数，
所以
或
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程（组）．
29．（奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：
-
购票人数
1～50人
51～100人
100以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？
（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？
【分析】（1）本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10＝920；（甲班人数+乙班人数）×5＝515，据此可列方程组求解；
（2）A团队a人，B团队（160﹣a）人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答．
【解答】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人．
由题意得：
，
解得：
．
答：甲班55人，乙班48人；
（2）设A团队a人，B团队（160﹣a）人，
①当1≤a≤50时，由题意得：10a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝30，
则160﹣a＝130．
即A团队30人，B团队130人；
②当51≤a＜60时，由题意得：8a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝50，不合题意，舍去．
③当60≤a＜100时，由题意得：8a+8（160﹣a）＝950，明显该等式不成立．
④当100≤a＜110时，5a+8（160﹣a）＝950．
解得a＝110，不合题意，舍去；
⑤当a≥110时，5a+10（160﹣a）＝950．
解得a＝130，则160﹣a＝30．
即A团队130人，B团队30人；
综上所述，A团队30人，B团队130人或A团队130人，B团队30人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题按购票人数分为三类门票价格．
30．（奉化区校级期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝
，x2+4y2+9z2＝44，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．
【分析】（1）根据图形得出等式即可；
（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；
②先求出x+2y﹣3z＝﹣2，再根据（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz）求出即可．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝112﹣2×38
＝45；
②∵2x×4y÷8z＝
，
∴2x×22y÷23z＝
，
∴2x+2y﹣3z＝2﹣2，
∴x+2y﹣3z＝﹣2，
∵（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz），x2+4y2+9z2＝44，
∴（﹣2）2＝44+2（2xy﹣3xz﹣6yz），
∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
31．（江北区期末）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为
（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？
（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的
，求a的值；
（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的
，求出a的值即可；
（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【解答】解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）＝12a2+420a+3600；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷
＝（12a2+420a）×
＝600a+21000（元）；
（3）铁盒的底面积是全面积的
＝
；
根据题意得：
＝
，
解得a＝105；
（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a，
底面积是12a2，
假设存在正整数n，使12a2+420a＝n（12a2）
则（n﹣1）a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握正方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
32．（天台县期末）阅读下面材料
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a+b+c，abc，a2+b2…；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2，②
，③a2﹣b2，④a2b+ab2中，属于对称式的是 ①②④ （填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n
①若m＝2，n＝﹣4，求对称式
的值；
②若n＝﹣4，求对称式
+
的最小值，写出求解过程；
③若m＝2，直接写出对称式a3b+ab3的最大值 2 ．
【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①根据已知m＝a+b，n＝ab，整体代入即可求解；
②将对称式化简后整理为非负数的形式即可求解；
③将对称式化简后配方即可求最大值．
【解答】解：（1）①a2b2＝（ab）2，②
＝
，③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），④a2b+ab2＝ab（a+b）．
由定义知属于对称式的是①②④，
故答案为：①②④．
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴m＝a+b，n＝ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2n，
①m＝a+b＝2，n＝ab＝﹣4，
∴
+
＝
＝
＝
＝﹣3；
答：对称式
+
的值为﹣3；
②若n＝﹣4，则n＝ab＝﹣4，
∴a2b2＝（ab）2＝16，
∴
+
＝
＝
＝
＝
＝
，
∵m2≥0，
∴
≥
，
答：对称式
+
的最小值为
；
③∵m＝a+b＝2，n＝ab．
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab＝4﹣2n，
而a3b+ab3
＝ab（a2+b2）
＝n（4﹣2n）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2，
∵﹣2（n﹣1）2≤0，
∴﹣2（n﹣1）2+2的最大值为2，
∴对称式a3b+ab3的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识，解决本题的关键是理解阅读材料，掌握分式计算法则及配方法．
33．（下城区期末）（1）①如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s，则s＝ a2﹣b2 （用含a，b代数式表示）
②若把图1中的图形，沿着线段AB剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式．
（2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．
【分析】（1）①利用正方形的面积公式，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣空白部分小正方形的面积；
②利用长方形的面积公式得图3的面积，与①中的阴影面积建立等式即可；
（2）拼成长方形的长为b+2a，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论．
【解答】解：（1）①阴影部分的面积s＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
②∵图3中s＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼接的长方形如图所示，
长为（b+2a），宽为a+b，面积为b2+3ab+2a2，
所以，得到的等式为（b+2a）（a+b）＝b2+3ab+2a2．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键．
34．（庆元县期末）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
（1）S甲＝ （a+b）（a﹣b） ，S乙＝ a2﹣b2 （用含a、b的代数式分别表示）；
（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；
（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．
【分析】（1）根据长方形的面积计算公式以及正方形的面积计算公式进行计算，即可得到结论；
（2）根据S甲＝S乙即可得到a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；
（3）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．
【解答】解：（1）由题可得，S甲＝（a+b）（a﹣b）；
S乙＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；
（2）∵S甲＝S乙；
∴a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．
根据图②可得：
S大正方形＝（a+b）2，
S大正方形＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
35．（沐川县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；
（3）根据S3＝
（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝23，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣
b（a+b）﹣
a2＝
（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，
∴S3＝
×29＝
．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
36．（上城区期末）（1）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．
（2）设b＝ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将a2+b2＝3代入求出ab的值，原式整理后代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号整理后确定出m的值即可．
【解答】解：（1）把a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
把a2+b2＝3代入得：3﹣2ab＝1，即ab＝1，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，
∴a+b＝±
，
则原式＝4﹣2（a+b）+ab＝5±2
；
（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab＝7a2+5b2，
当b＝±a时，原式＝12a2，
则m＝±1．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．（孝感校级期末）下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：
（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．
（a+b）＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+ 4 a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+b4．
【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．
【解答】解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：4，6，4．
【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
38．（惠山区期末）已知代数式：①a2﹣2ab+b2；②（a﹣b）2．
（1）当a＝5，b＝3时，分别求代数式①和②的值；
（2）观察（1）中所求的两个代数式的值，探索代数式a2﹣2ab+b2和（a﹣b）2有何数量关系，并把探索的结果写出来；
（3）利用你探索出的规律，求128.52﹣2×128.5×28.5+28.52的值．
【分析】（1）把a＝5，b＝3时，分别代入代数式①和②的求值；
（2）由（1）得到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
（3）利用（2）得到的等式把所给的式子整理为差的完全的平方的形式．
【解答】解：（1）当a＝5，b＝3时，
a2﹣2ab+b2，
＝52﹣2×5×3+32，
＝25﹣30+9，
＝4，
（a﹣b）2＝（5﹣3）2＝4；
（2）可以发现a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
（3）128.52﹣2×128.5×28.5+28.52，
＝（128.5﹣28.5）2，
＝1002，
＝10000．
【点评】本题考查了完全平方公式，实质是验证完全平方公式，以及利用完全平方公式简便运算．
39．（婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 2 张，3号卡片 3 张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 （a+2b）•（a+b） ；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝ （a+2b）（a+3b） 画出拼图．
【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），
（4）先分解因式，再根据边长画图即可．
【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；
故答案为：2，3．
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），
故答案为：（a+2b）•（a+b）．
（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
如图，
故答案为：（a+2b）（a+3b）．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
40．（樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3+3x2﹣4．
解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x＝﹣1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【解答】解：（1）把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，多项式的值为0，
∴多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），
于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝3，n﹣m＝0，
∴m＝4，n＝4，
（2）把x＝﹣1代入x3+x2﹣16x﹣16，多项式的值为0，
∴多项式x3+x2﹣16x﹣16中有因式（x+1），
于是可设x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2+mx+n）＝x3+（m+1）x2+（n+m）x+n，
∴m+1＝1，n+m＝﹣16，
∴m＝0，n＝﹣16，
∴x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2﹣16）＝（x+1）（x+4）（x﹣4）
【点评】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
41．（庆元县期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2
再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
【分析】（1）设M＝x+y，据此原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，再将M＝x+y代回即可得；
（2）由原式变形为（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1，令N＝a2﹣5a+4，据此可得原式N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，根据a为正整数可作出判断．
【解答】解：（1）设M＝x+y，
则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，
将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2；
（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1
＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1
令N＝a2﹣5a+4，
∵a为正整数，
∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数，
则原式＝N（N+2）+1
＝N2+2N+1
＝（N+1）2，
∵N为整数，
∴原式＝（N+1）2即为整数的平方．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识，难度中等．
42．（吴兴区期末）阅读理解并填空：
（1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值，若x＝1，则这个代数式的值为 6 ；若x＝2，则这个代数式的值为 11 ，…，可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
（2）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：x2+2x+3的最小值是 2 ，这时相应的x的平方是 1 ．
尝试探究并解答：
（3）求代数式x2﹣10x+35的最小值，并写出相应x的值．
（4）求代数式﹣x2﹣8x+15的最大值，并写出相应的x的值．
（5）改成已知y＝﹣x2+6x﹣3，且x的值在数1﹣4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围．（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．
【分析】（1）把x＝1和x＝2分别代入代数式x2+2x+3中，再进行计算即可得出答案；
（2）根据非负数的性质即可得出答案；
（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（5）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质以及x的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝1代入x2+2x+3中，得：12+2+3＝6；
若x＝2，则这个代数式的值为22+2×2+3＝11；
故答案为6；11；
（2）根据题意可得：
x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2是非负数，
∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的平方是1．
故答案为2；1；
（3）∵x2﹣10x+35＝（x﹣5）2+10，
∴代数式x2﹣10x+35的最小值是10，相应的x的值是5；
（4）∵﹣x2﹣8x+15＝﹣（x+4）2+31，
∴﹣x2﹣8x+15的最大值是31，相应的x的值是﹣4；
（5）∵y＝﹣x2+6x﹣3，
∴y＝﹣（x﹣3）2+6，
∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，
∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．
【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
43．（婺城区校级期末）材料一：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）＝a2+b2．
例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32＝92﹣72，32＝62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）＝92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：
（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；
（2）试证明10不是雪松数；
（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t＝
（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝
（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【解答】解：（1）112＝112﹣32，40＝72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，
则可设a2﹣b2＝10（a，b均为正整数，且a≠b），
则（a+b）（a﹣b）＝10，又∵10＝2×5＝10×1，
∵a，b均为正整数，
∴a+b＞a﹣b，
∴
，或
，
解得：
或
，
与a，b均为正整数矛盾，
故10不是雪松数；
（3）设t＝
（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′＝
（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），则t＝（10m+n）2﹣（10n+m）2＝99（m2﹣n2）＝99（m+n）（m﹣n），
∴99（m+n）（m﹣n）＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，
整理得（m+n）（m﹣n）＝10a+b+
，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴a+b＝9，
经探究
，
，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，
t′的值分别为：8668，8338，
∵862+682＞832+382，
∴F（t）的最大值为：862+682＝12020．
【点评】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
44．（鄞州区期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为（m+1）（m﹣5）；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27
＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17
＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，
∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．
【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
45．（慈溪市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若a＝2014，b＝2015，c＝2016，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，且xyz＝36．求代数式
+
+
﹣
﹣
﹣
的值．
【分析】（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由xyz＝36，将代数式
+
+
﹣
﹣
﹣
变形得到
（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz），再将x，y，z的值代入右边计算即可求出值．
【解答】解：（1）等式右边＝
（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝
（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；
（2）当a＝2014，b＝2015，c＝2016时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝3；
（3）∵xyz＝36，
∴
+
+
﹣
﹣
﹣
＝
（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz），
∵x+a2＝2014，y+a2＝2015，z+a2＝2016，
∴x＝﹣a2+2014，y＝﹣a2+2015，z＝﹣a2+2016，
∴原式＝
×3＝
．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．
46．（东港区一模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如
＝
＝
+
＝1+
，
＝
＝a﹣1+
，
则
和
都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： ①③④ （填序号）；
①
；②
；③
；④
（2）将“和谐分式
化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ 
．
（3）应用：已知方程组
有正整数解，求整数m的值．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；
（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．
【解答】解：（1）①
＝
，故是和谐分式；
②
＝
，故不是和谐分式；
③
＝
，故是和谐分式；
④
＝
，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2）
＝
＝
＝
，
故答案为
；
（3）解方程组
得
，
∵方程组
有正整数解，
即
且m+2能被5整除，
解得m＝﹣1或﹣7．
【点评】本题主要考查分式，属于新定义题，理解题意是解题的关键．
47．（三台县一模）先化简，再求值：（x﹣y﹣
）÷
，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解．
【分析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分．
【解答】解：原式＝
•
＝﹣x﹣y，
取二元一次方程x+2y＝7的一对整数解，如
（不能取
），
∴原式＝﹣（﹣1）﹣4＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键．
48．（江津区期末）先化简，再求值：
，其中x从﹣1、+1、﹣2，﹣3中选出你认为合理的数代入化简后的式子中求值．
【分析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式＝
，根据分式有意义的条件，把x＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
，
当x＝﹣3时，原式＝
＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
49．（婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）
（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且120＜a＜136，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【分析】（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意列出分式方程解答即可；
（2）折竖式纸盒，横式纸盒各加工x、y个，根据购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，恰好能将购进的纸板全部用完列出方程组解答即可；
（2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．
【解答】解：（1）设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得
﹣2＝
解得x＝20
经检验x＝20是原分式方程的解，
答：原计划每天加工纸箱20个．
（2）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意，得
解得：
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；
（3）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意得：
∴y＝40﹣
，
∵y、a为正整数，
∴a为5的倍数，
∵120＜a＜136
∴满足条件的a为：125，130，135．
当a＝125时，x＝20，y＝15；
当a＝130时，x＝22，y＝14；
当a＝135时，x＝24，y＝13据符合题意，
∴a所有可能的值是125，130，135
【点评】本题考查分式方程、二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出等量关系式解答即可．
50．（婺城区校级期末）“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
-
消费金额p（元）的范围
200≤p＜400
400≤p＜500
500≤p＜700
700≤p＜900
…
获得奖券金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8＝360（元），获得优惠额为：450×0.2+30＝120（元）．设购买商品的优惠率＝
．试问：
（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为
，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？
【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；
（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程
，解方程即可．
【解答】解：（1）消费金额为800×0.8＝640（元），
获得优惠额为：800×0.2+100＝260（元），
所以优惠率为：
＝32.5%；
（2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为700×0.8＝560（元），最大为850×0.8＝680（元），500≤p＜700，
设西服标价x元，根据题意得
，
解得x＝750，
经检验，x＝750是原方程的根．
答：该套西装的标价为750元．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．
51．（鄞州区期末）已知：a﹣b＝m，b﹣c＝n．
（1）m＝3，n＝4，求代数式（a﹣c）2，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．
（2）若m＜0，n＜0，判断代数式
的值与0的大小关系并说明理由．
【分析】（1）由a﹣b＝m，b﹣c＝n．化简出a﹣c的值，可求（a﹣c）2，再配方即可求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值；
（2）由m＜0，n＜0，可得m+n小于0及mn大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，m＝3，n＝4
∴a﹣c＝m+n＝7，a﹣b＝3，b﹣c＝4
∴（a﹣c）2＝49
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝
＝
＝37
∴（a﹣c）2的值为49，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为37．
（2）代数式
＜0，理由如下：
∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，a﹣c＝m+n，m＜0，n＜0
∴m+n＜0，mn＞0
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＜0
故代数式
的值小于0．
【点评】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．
52．（上虞区期末）先阅读下列解题过程，再回答问题：
计算：
+
解：原式＝
﹣
…①
＝
﹣
…②
＝4﹣（x+2）…③
＝2﹣x…④
（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是 ③ ，错误做法是 去分母 ．
（2）请你给出正确的解答．
【分析】（1）观察解题过程找出出错的步骤序号，并找出原因即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是③，错误做法是去分母，
故答案为：③；去分母；
（2）正确解法为：
原式＝
﹣
＝
﹣
＝
＝﹣
＝﹣
．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
53．（嵊州市期末）为了建设“美丽嵊州”，嵊义线两侧绿化提质改造工程如火如荼地进行．某施工队计划购买甲、乙两种树木，已知3棵甲种树木和2棵乙种树木共需700元；1棵甲种树木和3棵乙种树木共需700元．
（1）求甲种树木、乙种树木每棵分别是多少元．
（2）该施工队某天计划种植300棵树木，为了尽量减少对嵊义线交通的影响，实际劳动中每小时种植的数量比原计划多20%，结果提前1小时完成，求原计划每小时种植多少棵树．
【分析】（1）可设甲种树木每棵是x元，乙种树木每棵是y元，根据等量关系：3棵甲种树木和2棵乙种树木共需700元；1棵甲种树木和3棵乙种树木共需700元；列出方程组求解即可；
（2）可设原计划每小时种植z棵树，根据时间的等量关系：计划劳动时间﹣实际劳动时间＝1，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树木每棵是x元，乙种树木每棵是y元，依题意有
，
解得
．
故甲种树木每棵是100元，乙种树木每棵是200元；
（2）设原计划每小时种植z棵树，依题意有
﹣
＝1，
解得z＝50，
经检验，z＝50是原方程组的解，且符合题意．
故原计划每小时种植50棵树．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
54．（绍兴期末）小丽妈妈在网上做淘宝生意，专门销售女式鞋子，一次，小丽发现一个进货单上的一个信息是：A款鞋的进价比B款鞋进价多20元，花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同．
（1）问A、B款鞋的进价分别是多少元？
（2）小丽在销售单上记录了两天的数据如表：
-
日期
A款女鞋销量
B款女鞋销量
销售总额
6月1日
12双
8双
2240元
6月2日
8双
10双
1960元
请问两种鞋的销售价分别是多少？
（3）小丽妈妈说：“两款鞋的利润率相同”，请通过计算，结合（1）（2）所给信息，判断小丽妈妈的说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，能否只调整其中一款的售价，使得两款鞋的利润率相同？能否同时调整两款的售价，使得两款鞋的利润率相同？请说明理由．
【分析】（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，然后根据花500元进A款鞋的数量和花400元进B款鞋的数量相同即可列方程求解；
（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据表中的数据即可列方程组求解；
（3）根据利润率＝
×100%求得各自的利润率即可判断．
【解答】解：（1）设B款鞋的进价是每双x元，则A款鞋的进价是每双（x+20）元，
根据题意得
，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
x+20＝80+20＝100．
答：A款鞋的进价是每双100元，B款鞋的进价是每双80元；
（2）设A款鞋的销售价是每双a元，B款鞋的销售价是每双b元，根据题意得
，
解得
．
答：A款鞋的销售价是每双120元，B款鞋的销售价是每双100元；
（3）∵A款鞋的利润率为：
×100%＝20%，
B款鞋的利润率为：
×100%＝25%，
∴两款鞋的利润率不相同，小丽妈妈的说法不正确．
如果只调整B款的售价，能够使得两款鞋的利润率相同，设此时B款鞋的销售价是每双y元，由题意得
＝20%，解得y＝96；
如果只调整A款的售价，能够使得两款鞋的利润率相同，设此时A款鞋的销售价是每双z元，由题意得
＝25%，解得z＝125；
能同时调整两款的售价，使得两款鞋的利润率相同，设此时A款鞋的销售价是每双m元，B款鞋的销售价是每双n元，由题意得
＝
，
解得m＝
n（n＞80）．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列方程组解应用题，正确读懂统计表，理解统计表中说明的数量关系是关键．
55．（南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．
由题意得：
，
①÷②得：
，
整理得：b＝2a，
代入②得x＝48．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．
由题意得：
，
整理得：m+6n＝16，
这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．
①若m为整数，则
，∴
（不合，舍去），
（不合，舍去）
（符合条件）
（不合，舍去）
（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，m＝16﹣6n，∴
，这些均不符合要求，∴
，此时，甲在楼梯上．
他已走动的级数是
（级）．
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
56．（来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①
；②
；③
；④
．其中是“和谐分式”是 ② （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且
为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简
时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
＝
＝
小强：
＝
＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母 ，
请你接着小强的方法完成化简．
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）②分式
＝
，不可约分，
∴分式
是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式
为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式＝
＝
＝
＝
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
57．（绍兴期末）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此求的比例购买这4000件物品，而筹集资金多少元？
【分析】（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元/件，根据已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同可列方程求解．
（2）设甲种物品件数y件，根据灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，可列出方程求解；
【解答】解：（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元/件，
可得：
，
解得：x＝90，
经检验x＝90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以筹集资金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：筹集资金330000 元．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式解方案设计问题的运用，正确不等关系是解题关键．
58．（奉化区校级期末）某中学举行“庆祝中华人民共和国成立70周年”知识预赛，学生会把成绩x（分）分成五组：A组：50≤x＜60；B组：60≤x＜70；C组：70≤x＜80；D组：80≤x＜90；E组：90≤x＜100．
统计后绘制成如下两个统计图（不完整）．
（1）直接填空：
①m的值为 150 ；
②在图2中，C组的扇形圆心角的度数为 90° ．
（2）在图1中，画出60≤x＜70所对应的条形图；
（3）若学生会计划从预赛中选拔前30名进入复赛，则进入复赛的成绩应不低于多少分？
【分析】（1）①从两个统计图可得，“A组”的有40人，占调查人数的
，可求出调查人数，进而求出“D组”的人数；②“C组”占整体的
，因此圆心角占360°的
即可；
（2）计算出“B组”的人数，即可补全条形统计图；
（3）计算出“E组”人数，根据成绩和人数即可得到答案．
【解答】解：（1）①40÷
＝400人，400×
＝150人；
②360°×
＝90°．
故答案为：150，90°；
（2）400×
＝80人，所画条形图如图所示．
（3）由（1）可得E组的人数为：400﹣40﹣80﹣100﹣150＝30人，
所以前30名的成绩应不低于90分，
即进入复赛的成绩应不低于90分．
【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
59．（嘉兴期末）某市抽查部分家庭每月水电费的开支（单位：元），得到下面的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．请根据该直方图，回答下列问题：
（1）被抽查的家庭共有多少户？
（2）自左至右第二组的频数、频率分别是多少？
（3）小明同学说：“由图中信息可知，被抽查家庭的每月水电费最低开支至少是100元”你认为小明的说法对吗？为什么？
【分析】（1）根据直方图中的数据可以解答本题；
（2）根据直方图中的数据可以得到自左至右第二组的频数和频率；
（3）根据直方图中的数据可以判断小明的说法是否正确，并说明理由．
【解答】解：（1）6+12+11+7+3+1＝40（户），
即被抽查的家庭共有40户；
（2）自左至右第二组的频数是12，频率是：
＝0.3，
即自左至右第二组的频数和频率分别是12、0.3；
（3）小明的说法不对，
理由：被调查的家庭每月水电费开支至少是75元．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
60．（嘉兴期末）某商场今年1﹣5月份所有商品销售额统计表如下表，其中服装部各月销售额占商场当月商品销售额的百分比条形统计图如图所示．已知该商场1﹣5月份所有商品销售总额为350万元，根据图表信息：
某商场今年1月﹣5月份所有商品销售额统计表
-
时间（月份）
1月
2月
3月
4月
5月
销售额（万元）
90
85
60
a
60
（1）求4月份的商品销售额a；
（2）求5月份商场服装部的销售额；
（3）小明观察条形统计图后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？为什么？
【分析】（1）由销售总额减去其他月份的销售额求出4月的销售额，即为a的值；
（2）用5月份的总销售额乘以15%即可得到结果；
（3）不对，理由为单位1的量不相同，应求出各自的服装部的销售额来比较大小．
【解答】解：（1）350﹣（90+85+60+60）＝55（万元），即4月份的商品销售额a＝55万元；
（2）根据题意得：60×15%＝9（万元），即5月份商场服装部的销售额为9万元；
（3）不同意，理由为：
4月份服装部的销售额为55×16%＝8.8（万元）；5月份服装部的销售额为9万元，
故5月份服装部的销售额比4月份增加了0.2万元．
【点评】此题考查了条形统计图，弄清题意是解本题的关键．