开学测试卷
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共23题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．
【解答】解：通过观察易知（1）数轴单位长度不一致故错误；（2）数轴没有原点，故错误；（3）数轴原点，单位长度，正方向都具有，故正确；（4）数轴没有正方向，故错误；
故不正确的由（1）（2）（4）共三个，
故选：B．
【点评】本题考查数轴相关概念，熟练掌握数轴上原点，单位长度，正方向三要素是解题关键．
2．截至北京时间2020年8月16日24时，全球累计新冠肺炎确诊病例数已超2168万．将2168万用科学记数法表示为（ ）
A．2.168×107 B．0.2168×107 C．2 168×104 D．2.168×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2168万＝21680000＝2.168×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列说法正确的是（ ）
A．±5是25的算术平方根 B．±4是64的立方根
C．﹣2是﹣8的立方根 D．（﹣4）2的平方根是﹣4
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、±5是25的平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、4是64的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、﹣2是﹣8的立方根，原说法正确，故此选项符合题意；
D、（﹣4）2＝16，16的平方根是±4，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确它们各自的计算方法．
4．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若a＝b，则ac＝bc
C．若x＝y，则
D．若
（c≠0），则a＝b
【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确；
B、若a＝b，则ac＝bc，此选项正确；
C、若x＝y，当a≠0时
，此选项错误；
D、若
（c≠0），则a＝b，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
5．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
A．方程
，未知数系数化为1，得x＝﹣1
B．方程 3x+5＝4x+1，移项，得3x﹣4x＝﹣1+5
C．方程3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3），去括号，得3x﹣7+7＝3﹣2x﹣3
D．
，去分母得7（1﹣2x）＝3（3x+1）﹣63
【分析】A、根据等式的性质1即可得到答案；B、根据等式的性质1即可得到答案；C、根据去括号法则即可得到答案；D、根据等式的性质，两边同时乘21，可得答案．
【解答】解：A、方程
，未知数系数化为1，得x＝﹣
，原变形不正确；
B、方程 3x+5＝4x+1，移项，得3x﹣4x＝1﹣5，原变形不正确；
C、方程3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3），去括号，得3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣6，原变形不正确；
D、
，去分母得7（1﹣2x）＝3（3x+1）﹣63，原变形正确．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
7．若a﹣b＝2，a﹣c＝
，则整式（c﹣b）2+3（b﹣c）+
的值为（ ）
A．
B．
C．9 D．0
【分析】已知两等式相减求出c﹣b的值，进而确定出b﹣c的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a﹣b＝2，a﹣c＝
，
∴（a﹣b）﹣（a﹣c）＝a﹣b﹣a+c＝﹣b+c＝c﹣b＝2﹣
＝
，
∴b﹣c＝﹣
，
∴原式＝（
）2+3×（﹣
）+
＝
﹣
+
＝0．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．阅读下列语句：（1）延长射线OM；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若∠A+∠B+∠C＝180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点逐项进行分析即可作出判断．
【解答】解：（1）射线无限长，无法正向延长，故（1）错误；
（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形，故（2）错误；
（3）在直线上画两点，两点之间的部分就是一条线段，在直线上画一点，这点把直线分成两部分，这两部分就是两个相反方向的射线．所以线段和射线都是直线的一部分，故（3）正确；
（4）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如45°+45°＝90°，故（4）错误；
（5）根据钝角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角，故（5）正确；
（6）因为补角＝180°﹣这个角，而余角＝90°﹣这个角，故（6）项正确；
（7）相等的两个角有很多情况，如两条直线平行时，同位角相等等，故（7）错误；
（8）两个角的和等于180°就说这两个角互为补角，故（8）错误；
（9）根据角平分线的性质，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故（9）正确．
所以正确的说法有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对对顶角，邻补角，直线，射线，线段，角的概念，余角和补角等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但涉及到的知识点较多，过于琐碎，很容易混淆．
9．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360° B．300° C．270° D．180°
【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．
10．一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20%a元 C．亏损20%a元 D．亏损
a元
【分析】设盈利的衣服的成本为x元，亏损的衣服的成本为y元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可用含a的代数式表示出x（y）的值，再列出算式求出在这次买卖中，这家商店的盈亏情况即可得出结论．
【解答】解：设盈利的衣服的成本为x元，亏损的衣服的成本为y元，
依题意得：a﹣x＝20%x，a﹣y＝﹣20%y，
解得：x＝
，y＝
，
∵a+a﹣
﹣
＝﹣
a，
∴在这次买卖中，这家商店亏损
a元．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．78×73＝ 711 ．
【分析】同底数幂相乘底数不变指数相加，根据定义解答即可．
【解答】解：78×73＝78+3＝711．
故答案为：711．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握概念是解答的关键．
12．买5kg苹果和3kg梨共需23元，分别求苹果和梨的单价．设苹果的单价x元/kg，梨的单价y元/kg，可列方程： 5x+3y＝23 ．
【分析】利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5x+3y＝23．
故答案为：5x+3y＝23．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
13．如果x2+2mx+25是一个完全平方式，那么m的值为 ±5 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+2mx+25＝x2+2mx+52，
∴2mx＝±2×5×x，
解得m＝±5．
故答案为：±5．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14．如图，已知AB∥CD∥EF，∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2＝ 140° ．
【分析】由AB∥EF可得出∠CDE的度数，可得出∠CEF的度数，由CD∥EF可得出∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵AB∥EF，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝60°，
∴∠AEF＝60°，
∵∠3＝20°，
∴∠CEF＝60°﹣20°＝40°，
∵CD∥EF，
∴∠2+∠CEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，是一道比较简单的题目．
15．已知，|a|＝﹣a，
＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ﹣2c ．
【分析】由已知的等式判断出a，b及c的正负，进而确定出a+b，a﹣c与b﹣c的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝﹣a，
＝﹣1，即|b|＝﹣b，|c|＝c，
∴a≤0，b＜0，c≥0，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c．
故答案为：﹣2c．
【点评】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
16．关于x的一元一次方程2019x﹣3a＝2x+2020的解为x＝19，那么关于y的一元一次方程2019（2y﹣1）﹣3a＝2（2y﹣1）+2020的解为 y＝10 ．
【分析】根据已知方程和方程的解得出2y﹣1＝19，再求出答案即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程2019x﹣3a＝2x+2020的解为x＝19，
∴关于y的一元一次方程2019（2y﹣1）﹣3a＝2（2y﹣1）+2020中2y﹣1＝19，
解得：y＝10，
故答案为：y＝10．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据已知条件得出方程2y﹣1＝19是解此题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．（1）a3•a﹣2a5÷a；
（2）
．
【分析】（1）原式利用同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝a4﹣2a4＝﹣a4；
（2）原式＝﹣1﹣1+
＝﹣1
．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3＝m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
【分析】利用一元一次方程的定义求出m的值，再解一元一次方程即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＝m﹣5是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2≠0且|m|﹣1＝1，解得m＝﹣2．
∴解方程﹣4x+3＝﹣2﹣5，得x＝
．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出m的值．
19．已知A＝2x2﹣3xy2﹣1，B＝3x2﹣2xy2，C＝5xy2．
（1）当x＝﹣2，y＝3，求A+B+C的值；
（2）若x，y为整数，试取出一组x，y的值，使得A﹣B+C的值为偶数．
【分析】（1）把A，B，C代入A+B+C中，去括号合并即可得到结果；
（2）把A，B，C代入A﹣B+C中，去括号合并后，把x＝y＝1代入计算求出值．
【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy2﹣1，B＝3x2﹣2xy2，C＝5xy2，
∴A+B+C＝2x2﹣3xy2﹣1+3x2﹣2xy2+5xy2＝5x2﹣1，
当x＝﹣2，y＝3时，原式＝5×（﹣2）2﹣1＝20﹣1＝19；
（2）∵A＝2x2﹣3xy2﹣1，B＝3x2﹣2xy2，C＝5xy2，
∴A﹣B+C＝2x2﹣3xy2﹣1﹣3x2+2xy2+5xy2＝﹣x2+4xy2﹣1，
当x＝y＝1时，原式＝﹣1+4﹣1＝2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，已知线段AB＝a，点C在直线AB上，AC＝3AB．
（1）用尺规作图画出点C；
（2）若点P在线段BC上，且BP：PC＝2：3，D为线段PC的中点，求BD的长（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若AD＝3cm，求a的值．
【分析】（1）分两种情况画图：点C在线段AB的延长线上或C点在线段AB的反向延长线上；
（2）对于图1，BC＝2a，由BP：PC＝2：3可计算出BP＝
BC＝
a，PC＝
BC＝
a，再由D为线段PC的中点得到PD＝
PC＝
a，然后利用BD＝BP+PD计算得BD＝
a；
对于图2，BC＝4a，由BP：PC＝2：3可计算得BP＝
BC＝
a，PC＝
BC＝
a，再由D为线段PC的中点得到PD＝
PC＝
a，然后利用BD＝BP+PD计算可得BD＝
a；
（3）对于图1，先得到CD＝PD＝
a，再计算出AD＝AC﹣CD＝
a，则
a＝3，然后解方程即可；
对于图2，先得到CD＝PD＝
a，利用计算出AD＝AC﹣CD＝
a，则
a＝3，然后解方程即可．
【解答】解：（1）如图所示：
当点C在线段AB的延长线上，如图1；
当C点在线段AB的反向延长线上时，如图2；
；
（2）对于图1，
∵AB＝a，
∴AC＝3a，
∴BC＝2a，
∵BP：PC＝2：3，
∴BP＝
BC＝
•2a＝
a，PC＝
BC＝
a，
∵D为线段PC的中点，
∴PD＝
PC＝
a，
∴BD＝BP+PD＝
a+
a＝
a；
对于图2，
BC＝AB+AC＝4a，
∵BP：PC＝2：3，
∴BP＝
BC＝
•4a＝
a，PC＝
BC＝
a，
∵D为线段PC的中点，
∴PD＝
PC＝
a，
∴BD＝BP+PD＝
a+
a＝
a；
（3）对于图1，CD＝PD＝
a，AD＝AC﹣CD＝3a﹣
a＝
a＝3，解得a＝
（cm）；
对于图2，CD＝PD＝
a，AD＝AC﹣CD＝3a﹣
a＝
a＝3，解得a＝
（cm）．
【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．也考查了列代数式和分类讨论的思想．
21．如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．
（1）求长方形的长；
（2）求小王、小李两人的速度．
【分析】（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；
（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题．
【解答】解：（1）长方形的长为：（60+30）×30÷2÷30＝45m；
（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，由题意得
10（x+x+2）＝（45+30）×2，
解得：x＝6.5，
则x+2＝8.5．
答：小李的速度是6.5m/s，则小王的速度是8.5m/s．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握梯形和长方形的面积计算公式，以及行程问题的基本数量关系是解决问题的关键．
22．已知射线OC在∠AOB的内部．
（1）如图1，若已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°．
①求∠AOB的度数；
②过点O作射线OD，使得∠AOC＝3∠AOD，求出∠COD的度数．
（2）如图2，若在∠AOB的内部作∠DOC，OE、OF分别为∠AOD和∠COB的平分线．则∠AOB+∠DOC＝2∠EOF，请说明理由．
【分析】（1）①先设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，再用x表示出∠AOB的补角与∠BOC余角的大小，求出x的值，进而可得出结论；
②分射线OD在∠AOB的内部与在∠AOB的外部两种情况进行讨论．
（2）OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，可得∠DOE＝
∠AOD，∠COF＝
∠BOC，所以∠EOF＝∠DOC+
（∠AOD+∠BOC），即可得2∠EOF＝2∠DOC+∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠DOC．
【解答】解：（1）①∵∠AOC＝2∠BOC，
∴设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，
∴∠AOB的补角＝180°﹣3x，∠BOC的余角＝90°﹣x．
∵∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°，
∴180°﹣3x＝90°﹣x+30°，解得x＝30°，
∴∠AOB＝3x＝90°；
②∵由①知，x＝30°，
∴∠AOC＝2x＝60°．
当射线OD在∠AOB的内部时，
∵∠AOC＝3∠AOD，
∴∠COD＝
∠AOC＝
×60°＝40°；
当射线OD在∠AOB的外部时，
∵∠AOC＝3∠AOD，
∴∠AOD＝
∠AOC＝
×60°＝20°，
∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝20°+60°＝80°．
综上所述，∠COD的度数是40°或80°；
（2））∵OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，
∴∠EOD＝
∠AOD，∠COF＝
∠BOC，
∴∠EOF＝∠DOC+
（∠AOD+∠BOC），
∴2∠EOF＝2∠COD+∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD．即∠AOB+∠COD＝2∠EOF．
【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．
23．2014年11月11日，阿里巴巴销售额达到571亿，比上一年同日增长63.1%．其中京东商城推出一款大衣，标价1000元，平常一律九折出售，但“双11”当天该款大衣打65折后再享受三项优惠“满300元减30元，满600元减70元，满1000元减150元”活动中的一项（每人限购一件）．双11当天该款大衣共销售了50件．
（1）问2013年11月11日当天阿里巴巴销售额为多少（精确到亿元）？
（2）由于促销力度大，双11当天该款大衣所获利润相当于此款大衣平时卖10件的利润，求此款大衣的进价？
（3）在（2）的条件下，从11月12日开始，该款大衣打65折后不再享受其他优惠活动．问从11月11日开始计算，若商家想获得25000元利润，需销售该衣服多少件？
【分析】（1）设2013年11月11日当天阿里巴巴销售额为x亿元，由2014年11月11日，阿里巴巴销售额达到571亿，比上一年同日增长63.1%列方程解答即可；
（2）设此款大衣的进价为y元，根据双11当天该款大衣所获利润相当于此款大衣平时卖10件的利润，列出方程解决问题；
（3）设需销售该衣服m件，利用每一件的利润×件数＝总利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设2013年11月11日当天阿里巴巴销售额为x亿元，由题意得
x+63.1%x＝571，
解得：x≈350．
答：2013年11月11日当天阿里巴巴销售额为350亿元；
（2）设此款大衣的进价为y元，由题意得
10×（1000×0.9﹣y）＝50×（1000×0.65﹣70﹣y），
解得：y＝500．
答：此款大衣的进价为500元；
（3）设12日及以后销售m件
（1000×0.65﹣500）m+4000＝25000
解得m＝140，需要销售140+50＝190件
答：设需销售该衣服190件．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．