七年级数学下学期第一次月考卷

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一．选择题（共10小题）

1．（拱墅区月考）下列说法中，正确的是（　　）

（1）在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；

（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（4）若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行．

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）

【分析】利用两直线的位置关系、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：（1）同一平面内不相交的两条直线是平行线，故正确，符合题意；

（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意；

（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意；

（4）在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交，缺少条件“在同一平面内”所以错误，不符合题意，

故选：A．

【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是能够了解两直线的位置关系、平行线的性质等知识，难度不大．

2．（柯桥区月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）

A．x+y＝5 B．3x+y²＝1 C．xy＝3 D． +y＝2

【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．

【解答】解：A、x+y＝5是二元一次方程，符合题意；

B、3x+y²＝1是二元二次方程，不符合题意；

C、xy＝3是二元二次方程，不符合题意；

D、 +y＝2不是整式方程，不符合题意．

故选：A．

【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

3．（温州二模）为了表彰品学兼优的育才学子，黄老师用280元买了甲、乙两种图书，甲图书每本40元，乙图书每本60元，且乙图书比甲图书少买了2本，黄老师买甲、乙两种图书各多少本？设黄老师买了甲图书x本，乙图书y本，则可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据购买两种图书共用了280元且乙图书比甲图书少买了2本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：依题意得： ．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

4．（拱墅区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（　　）个．

A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3

【分析】分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．

【解答】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：

①三条直线互相平行，有0个交点；

②一条直线与两平行线相交，有2个交点；

③三条直线都不平行，有1个或3个交点；

所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．

故选：D．

【点评】考查了相交线，本题要注意列举出所有可能的情况．

5．（工业园区期中）如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．若∠1＝∠2，则AD∥BC

B．若∠1＝∠2，则AB∥CD

C．若∠A＝∠3，则AD∥BC

D．若∠3+∠ADC＝180°，则AB∥CD

【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∵AB∥CD，故本选项错误；

B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；

C、∠A＝∠3，无法判定平行线，故本选项错误；

D、∠3+∠ADC＝180°，无法判定平行线，故本选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．

6．（拱墅区月考）如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1＝∠5；（2）∠2+∠7＝180°；（3）∠4＝∠7；（4）∠3＝∠6；其中能判定a∥b的条件的序号是（　　）

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）

【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．

【解答】解：（1）∵∠1＝∠5，

∴a∥b；

（2）∵∠2+∠7＝180°，∠2+∠3＝180°，

∴∠3＝∠7，

∴a∥b；

（3）由∠4＝∠7得不到a∥b；

（4）由∠3＝∠6得不到a∥b，

故选：A．

【点评】本题考查了平行线判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论．

7．（桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（　　）

A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3

【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．

【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，

A、∠1和∠2是邻补角，故A错误；

B、∠1和∠3是邻补角，故B错误；

C、∠1和∠4是同位角，故C正确；

D、∠2和∠3是对顶角，故D错误．

故选：C．

【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

8．（平谷区校级期末）下面各语句中，正确的是（　　）

A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

B．垂直于同一条直线的两条直线平行

C．若a∥b，c∥d，则a∥d

D．同旁内角互补，两直线平行

【分析】根据相关的定义或定理判断．

【解答】解：A、应强调两直线平行，被第三条直线所截，才能同位角相等；

B、应强调在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

C、应为a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d；

只有D正确．

故选：D．

【点评】叙述命题时要注意所学定理叙述的完整性，注意定理成立的条件．

9．（惠水县校级模拟）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130

【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．

【解答】解：如图：

故选：A．

【点评】此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．

10．（拱墅区月考）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝75°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1＝75°，再根据平角等于180°，列式∠3+90°+∠2＝180°，即可求得∠2的度数．

【解答】解：

∵直尺对边平行，

∴∠3＝∠1＝75°，

∴∠2＝180°﹣75°﹣90°＝15°，

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，是道基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．（白银期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　 x 　．

【分析】首先移项、然后系数化1，继而可求得答案．

【解答】解：∵2x﹣3y＝1，

∴3y＝2x﹣1，

解得：y＝ x﹣ ．

故答案为： x﹣ ．

【点评】此题考查了二元一次方程的知识．此题比较简单，注意掌握解方程的步骤．

12．（诸暨市月考）若一个二元一次方程组的解是 ，则这个方程组可以是　 （答案不唯一）　．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据二元一次方程组的定义和已知条件写出一个方程组即可．

【解答】解：∵二元一次方程组的解是 ，

∴这个方程组可以是 ，

故答案为： （答案不唯一）．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键．

13．（奉化区校级期末）若方程组 的解为 ，则方程组 的解是　 　．

【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．

【解答】解：在方程组 中，设x+2＝a，y﹣1＝b，

则变形为方程组 ，

∵方程组 的解为 ，

∴ ．

故答案为： ．

【点评】考查了二元一次方程组的解，这类题目的解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题．

14．（鸡西期中）如图，∠BDE＝∠EBD，要使AB∥DE，应添加的一个条件是　∠ABD＝∠EBD　（填一个即可）

【分析】如果∠ABD＝∠EBD，由∠BDE＝∠EBD，等量代换得出∠BDE＝∠ABD，根据内错角相等两直线平行，可得AB∥DE，所以加上∠ABD＝∠EBD即可．

【解答】解：应添加的一个条件可以是∠ABD＝∠EBD．

∵∠ABD＝∠EBD，∠BDE＝∠EBD，

∴∠BDE＝∠ABD，

∴AB∥DE．

故答案为∠ABD＝∠EBD．

【点评】本题考查了平行线的判定，判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

15．（宁海县校级期中）如图，将三角形ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处，且DE∥BC，若∠B＝70°，则∠BDF＝　40　°．

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠EDF＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝70°，

∵△ABC沿着DE折叠，点A落在BC上的点F处，

∴∠EDF＝∠ADE＝70°，

∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

故答案为：40．

【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

16．（遂宁期末）如图，直线l₁∥l₂，∠α＝∠β，∠1＝35°，则∠2＝　145　°．

【分析】先根据平行线的性质，由l₁∥l₂得∠3＝∠1＝35°，再根据平行线的判定，由∠α＝∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再把∠1＝35°代入计算即可．

【解答】解：如图，延长AE交直线l₂于点B，

∵l₁∥l₂，

∴∠3＝∠1＝35°，

∵∠α＝∠β，

∴AB∥CD，

∴∠2+∠3＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣35°＝145°．

故答案为：145．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之也成立．

17．（玉州区期中）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）∠1+∠2＝　180°　；

（2）∠1+∠2+∠3＝　360°　；

（3）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　180°（n﹣1）　．

【分析】（1）根据两条直线平行，同旁内角互补作答；

（2）过点E作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；

（3）同样作辅助线，运用（n﹣1）次平行线的性质，则n个角的和是（n﹣1）180°．

【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；

（2）过点E作一条直线EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF，CD∥EF，

∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°；

（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EG∥FH∥CD，

∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；

根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．

故答案为：（1）180°；（2）360°；（3）180°（n﹣1）．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意此类题要构造平行线，运用平行线的性质进行解决．

18．（兰考县期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是　∠1﹣∠3+∠2＝180°　．

【分析】根据平行线的性质，可得∠CEF＝180°﹣∠2，∠1＝∠3+∠CEF，利用等量代换可得∠1、∠2、∠3之间的数量关系．

【解答】解：∵CD∥EF，

∴∠2+∠CEF＝180°，

∵AB∥EF，

∴∠1＝∠3+∠CEF，

∴∠CEF＝∠1﹣∠3，

∴∠2+∠1﹣∠3＝180°，

即∠1﹣∠3+∠2＝180°．

故答案为：∠1﹣∠3+∠2＝180°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线性质定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．

三．解答题（共8小题）

19．（诸暨市月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．

（1）若x，y的值互为相反数，求a的值；

（2）若2x+y+35＝0，解这个方程组．

【分析】（1）用加减消元法消去原方程组中a得到关于x、y的方程x+19y＝﹣36，根据x+y＝0可求得x、y的值，代回原方程组可得a；

（2）②×2﹣①，得x+19y＝﹣36 ③，与2x+y＝﹣35，联立方程组求解可得．

【解答】解：（1）

①﹣②×2得：﹣x﹣19y＝36，

即x+19y＝﹣36，

当x＝﹣y时，﹣y+19y＝36，

解得：y＝﹣2，

∴x＝2，

代入①得：a＝8；

（2）②×2﹣①，得：x+19y＝﹣36 ③，

又∵2x+y＝﹣35 ④，

∴③×2﹣①，得：37y＝﹣37，

解得y＝﹣1，

将y＝﹣1代入③，得：x﹣19＝﹣36，

解得：x＝﹣17，

所以方程组的解为： ．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，加减消元法消去a联立关于x、y的方程组是解题的关键．

20．（宽城区期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，

试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．

解：∵AD∥BC，（已知）

∴∠1＝∠　B　＝60°．（　两直线平行，同位角相等　）

∵∠1＝∠C，（已知）

∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）

∵AD∥BC，（已知）

∴∠C+∠　ADC　＝180°．（　两直线平行，同旁内角互补　）

∴∠　ADC　＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）

∵DE平分∠ADC，（已知）

∴∠ADE＝ ∠ADC＝ ×120°＝60°．（　角平分线定义　）

∴∠1＝∠ADE．（等量代换）

∴AB∥DE．（　内错角相等，两直线平行　）

【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．

【解答】解：∵AD∥BC，（已知）

∴∠1＝∠B＝60°．（两直线平行，同位角相等）

∵∠1＝∠C，（已知）

∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）

∵AD∥BC，（已知）

∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）

∵DE平分∠ADC，（已知）

∴∠ADE＝ ∠ADC＝ ×120°＝60°．（角平分线定义）

∴∠1＝∠ADE．（等量代换）

∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）

故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，内错角相等，两直线平行．

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．

21．（诸暨市月考）解方程组

（1）

（2）

【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：（1）方程组整理得： ，

①+②×3得：28y＝28，

解得：y＝1，

把y＝1代入②得：﹣x+9＝2，

解得：x＝7，

则方程组得： ；

（2）方程组整理得： ，

①×2﹣②得：19n＝﹣7，

解得：n＝﹣ ，

把n＝﹣ 代入①得：m﹣ ＝3，

解得：m＝ ，

则方程组的解为 ．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

22．（渠县期末）若方程组 和方程组 有相同的解，求a，b的值．

【分析】将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组求出x、y的值，再将 分别代入ax+y＝b和x+by＝a求出a、b的值．

【解答】解：将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组得， ，

解得， ，

将 分别代入ax+y＝b和x+by＝a得， ，

解得 ．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，将x、y的值代入，转化为关于a、b的方程组是解题的关键．

23．（萧山区期中）如图，已知∠C＝∠B，AB∥CD．

（1）试着先判断CF与BD所在的直线平行吗？请说明理由；

（2）如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝98°，求∠B的度数．

【分析】（1）结论：平行，利用同位角相等两直线平行，即可证明．

（2）想办法求出∠FAB即可解决问题．

【解答】解：（1）结论：平行．

理由：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BDE，

∵∠B＝∠C，

∴∠C＝∠BDE，

∴CF∥BD．

（2）解：∵CF∥BD，

∴∠FAD+∠ADB＝180°，

∴∠FAD＝180°﹣∠ADB＝180°﹣98°＝82°，

∵AB平分∠FAD，

∴∠FAB＝ ∠FAD＝41°，

∴∠B＝41°．

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24．（宁海县校级期中）如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF．

【分析】根据平行线的性质得出∠AMN＝∠DNM，根据角平分线定义求出∠EMN＝ ∠AMN，∠FNM＝ ∠DNM，推出∠EMN＝∠FNM，根据平行线的判定得出即可．

【解答】解：∵AB∥CD，（已知），

∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等），

∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线（已知），

∴∠EMN＝ ∠AMN，∠FNM＝ ∠DNM（角平分线的定义），

∴∠EMN＝∠FNM（等量代换），

∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行）

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EMN＝∠FNM是解此题的关键．

25．（海珠区校级期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）²＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．

（3）由参数t表示∠BAC，∠BCD即可判断．

【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）²＝0．

又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）²≥0．

∴a＝3，b＝1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜60时，

3t＝（30+t）×1，

解得t＝15；

②当60＜t＜120时，

3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，

解得t＝82.5；

③当120＜t＜150时，

3t﹣360＝t+30，

解得t＝195＞150（不合题意）

综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，

∵∠CAN＝180°﹣3t，

∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，

∵∠ACD＝90°，

∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，

∴∠BCD：∠BAC＝2：3．

【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，平行线的判定与性质，估算无理数的大小以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．

26．（来宾期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）

车型	甲	乙	丙
汽车运载量（吨/辆）	5	8	10
汽车运费（元/辆）	400	500	600

（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？

（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．

【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；

（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．

（3）根据两种方案得出运费解答即可．

【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得

答：需甲车型8辆，需车型10辆；

（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：

消去z得5x+2y＝40，x＝ ，

因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5，10，15，

由z是正整数，解得 ， ，

有两种运送方案：

①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；

②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；

（3）两种方案的运费分别是：

①400×6+500×5+600×5＝7900；

②400×4+500×10+600×2＝7800．

答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．

【点评】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．