专题09分式及分式的运算压轴题六种模型全攻略
【类型一分式的定义】
例题：（四川攀枝花·八年级期中）在代数式
，
，
，
，
中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的定义，形如
，B中含有字母且B≠0，判断即可．
【详解】
解：在代数式
，
，
，
，
中，分式是
，
，共2个
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
【变式训练1】（江苏·靖江市靖城中学八年级期中）代数式
，
，
，
，
，中分式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的概念直接求解．
【详解】
解：
是分式；
不是分式；
是分式；
是分式；
不是分式，
∴是分式的有3个，
故选：B
【点睛】
本题考查了分式的概念，理解掌握分式的概念是解题的关键．分母中含有字母的式子，是分式，特别注意：π是无理数，不是字母．
【变式训练2】（内蒙古通辽·一模）代数式
有意义，则实数x的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】
解：
代数式
有意义，
，
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【变式训练3】（山东临沂·八年级期末）式子①
，②
，③
，④
，
⑤
中，分式有________个
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
根据分式的定义逐项判断即可．
【详解】
解：①
的分母中含有字母，是分式；
②
的分母中不含有字母，是整式；
③
的分母中含有字母，是分式；
④
的分母中不含有字母，是整式；
⑤
的分母含有字母，是分式；
综上，①③⑤．
故答案为：①③⑤
【点睛】
本题考查了分式的定义，解题的关键是判断是不是分式，只要判断分母中是否含有字母，需要注意π是一个数，所以分母中含有π的不是分式．
【类型二分式的值及分式的值为零】
例题：（海南省直辖县级单位·一模）若分式
的值为0，则x的值是（ ）
A．
B．
C．1 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零列式求解即可．
【详解】
解：由题意，得
，解得：x=1，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．
【变式训练1】（云南师范大学实验中学七年级期中）设
=
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由
=
，可得
再代入分式进行求值即可．
【详解】
解：
=
，
故选C
【点睛】
本题考查的是分式的求值，得到
再代入分式进行求值是解本题的关键．
【变式训练2】（内蒙古·乌海市第二中学八年级期末）若分式
的值等于0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0的条件即可得出答案．
【详解】
解：根据题意，|x|−1＝0，x−1≠0，
∴x＝−1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
【变式训练3】（广西河池·模拟预测）当
______
时，分式
有意义；当______
时，分式
的值为零．
【答案】
【解析】
【分析】
要使分式的值为
，必须分式分子的值为
，并且分母的值不为
分母的值是
时分式没有意义．
【详解】
解：由
解得：
．
当
时，分式
有意义；
由分子
解得：
，
而
时，分母
，
当
时，分式
的值为零．
故答案为：
，x
．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,特别注意“分母不为零”这个条件不能少．
【类型三分式的基本性质】
例题：（福建泉州·八年级期中）如果把分式
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
【答案】B
【解析】
【分析】
把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，然后再代入分式中进行化简计算，即可判断．
【详解】
解：把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，
那么分式的值=
，
所以，如果把分式
中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
【变式训练1】（四川眉山·八年级期中）如果把分式
中的x和y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大4倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小2倍
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的性质即可得出答案．
【详解】
解：将分式
中的x和y都扩大3倍，得
=
=
所以分式的值不变
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，将x和y换成3x和3y正确化简是解题的关键．
【变式训练2】（山东东营·八年级期末）将分式
中，x，y的值同时扩大为原来的２倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】
解：∵
＝
＝
∴分式的值比原来扩大2倍，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式训练3】（河南周口·八年级期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：A、
，选项正确，符合题意；
B、
，选项错误，不符合题意；
C、
，选项错误，不符合题意；
D、当
时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查了分式的性质，涉及了平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
【类型四分式的混合运算】
例题：（湖北·老河口市教学研究室一模）化简：
．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算法则即可求解．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝1．
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
【变式训练1】（湖北十堰·一模）化简：
．
【答案】
【解析】
【分析】
先将括号里的式子通分，再利用完全平方公式进行化简，然后将除法化为乘法进行约分即可求解．
【详解】
原式
＝
＝
．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，还涉及到完全平方公式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．
【变式训练2】（江苏扬州·八年级期中）（1）计算：
（2）
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）先化为同分母分式，再相减，最后进行约分即可；
（2）把能分解的分子与分母进行分解，并且括号内进行通分再相减，最后进行约分即可；
【详解】
解：（1）原式=
=
=1
（2）原式=
=
=
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式训练3】（重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
有括号先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时将分子分母因式分解，根据分式的性质化简即可．
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
【类型五分式运算中——先化简，再求值】
例题：（贵州·遵义市第十二中学一模）先化简
，并从－5，－1，0，5中选择喜欢的数代入求值．
【答案】
，选择
，值为4
【解析】
【分析】
先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件确定
的值，代入计算即可得．
【详解】
解：原式
，
，
，
将
代入得：原式
．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式训练1】（河南三门峡·一模）先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，
【解析】
【分析】
将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简，最后将x的值代入求解即可．
【详解】
解：原式
，
当
时，原式
．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练进行通分和约分是解此题的关键．
【变式训练2】（新疆·乌市一中二模）先化简，再求值
，其中
．
【答案】
，2．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把
的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
当a=2时，原式=
．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
【变式训练3】（山东烟台·八年级期末）（1）已知
，且
，求
的值．
（2）先化简
，再从
，0，1中选择合适的
值代入求值．
【答案】（1）
，1；（2）
，-1
【解析】
【分析】
（1）将式子化简为
，已知条件化简然后代入求解即可；
（2）将分式化简，然后由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】
（1）解：原式
，
∵
，
∴原式
；
（2）原式
，
∵
，
∴取
，
原式
．
【点睛】
题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【类型六分式中的规律探究问题】
例题：（全国·八年级期中）观察下列各式：
2
，
3
，
4
．
(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【答案】(1)
；
(2)规律
n
（n＞1），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；
（2）根据前几个等式的变化规律，用n表述规律即可，再根据分式的化简和二次根式的性质证明即可．
(1)
解：根据前几个等式的变化规律，则有
；
(2)
解：∵
2
=2
，
3
=3
，
4
=4
．
∴规律为：
n
（n＞1），
证明：
=n
（n＞1）．
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律题、分式的加减、二次根式的性质，能正确发现变化规律是解答的关键．
【变式训练1】（安徽·合肥市五十中学新校二模）观察下列等式：第1个等式：
；第2个等式：
；第3个等式：
；第4个等式：
；第5个等式：
；…；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
，见解析
【解析】
【分析】
(1)观察所给等式中的各个分数的分子与分母的数字与序号的关系可得结论；
(2)同(1)一样的方法进行总结可得；利用分式的加减法则分别计算等式的左边和右边可得．
(1)
由题意得：
第1个等式：
；
第2个等式：
；
第3个等式：
；
第4个等式：
；
第5个等式：
；…；
按照以上规律，
第6个等式为：
；
(2)
猜想：
，；
证明：∵左边
＝
＝
=
＝
＝
＝右边，
∴等式成立．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，发现等式中的数字与序号的关系是解题的关键．
【变式训练2】（安徽·合肥市第三十中学二模）观察以下等式：
第1个等式：
； 第2个等式：
；
第3个等式：
； 第4个等式：
；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________________；
(2)写出你猜想的第
个等式：________________________（用含
的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
；证明见详解
【解析】
【分析】
（1）每个等式两边分别是一个分数与一个数字的差与商，分别分析分数与数字的规律，分数的分母第一个是1，以后序号每增加1分母增加3，第一个等式的分子为2的平方，第二个等式为5的平方，则分子等于分母加1的平方，数字等于分数的分子中的底数，根据此规律写出第5个等式即可；
（2）根据（1）中的规律，写出第n个等式即可，根据完全平方公式以及多项式乘多项式法则将等号左右两边的代数式化简即可证明结论．
(1)
解：根据题意可知，第5个式子为：
，
即：
，
故答案为：
．
(2)
解：猜想第n个式子为：
，
证明：
，
，
∵
，
∴
成立．
【点睛】
本题考查寻找数之间的规律，完全平方公式，多项式乘以多项式，能够发现规律，总结规律，应用规律是解决本题的关键．
【变式训练3】（安徽·九年级专题练习）观察以下等式：
第1个等式
；
第2个等式
；
第3个等式
；
第4个等式
；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据以上所总结的规律即可写出第5个等式；
（2）同理，律即可猜想出第n个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于右边．
(1)
解：由题意得：第5个等式为：
；
故答案为：
；
(2)
猜想：
证明：右边
左边，
故猜想成立．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，分式的化简，找到等式中分数的变化规律是解题关键．
【课后训练】
一、选择题
1．（陕西延安·八年级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的定义依次判断即可得出结果．
【详解】
解：A、
属于整式，不是分式；
B、
属于分式；
C、
属于整式，不是分式；
D、
属于整式，不是分式；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了分式的概念，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定义是解题关键．
2．（江苏扬州·八年级期中）把分式
中的x和y都扩大3倍，则分式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的
D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【解析】
【分析】
将x，y扩大3倍，即将x，y用3x，3y代替，就可以解出此题．
【详解】
解：将x，y扩大3倍，即将x，y用3x，3y代替
∴扩大为原来的3倍
故选B．
【点睛】
此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n后代入计算是解题关键．
3．（浙江·九年级专题练习）要使分式
有意义，x的取值应该满足（ ）
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得：
，
解得：
且
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．（湖南长沙·八年级期末）若分式
的值为零，则x等于（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．2或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式为0时，分子等于0且分母不等于0即可得出．
【详解】
依题意得
，且
，
由
解得
或－2，
当
时，
，
当
时，
，
所以，
或－2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为0，则同时具备分子等于0且分母不等于0．
二、填空题
5．（江苏南京·九年级期末）若
，则
的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】
设b=5k，a=3k，代入
求值即可；
【详解】
解：设b=5k，a=3k，则
=
=
，
故答案为：
；
【点睛】
本题考查了分式的求值，掌握分式的性质是解题关键．
6．（全国·九年级专题练习）当分式
时，x的值为____
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出方程，解方程即可．
【详解】
解：由题意得，
，
，
解得，x＝±3，x≠3，
∴x＝−3，
则x＝−3时，分式
的值为零．
故答案为：−3．
【点睛】
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
7．（河北秦皇岛·八年级期中）已知
，则分式
的值为_____．
【答案】
##
【解析】
【分析】
先把条件式
化为
再整体代入代数式求值即可.
【详解】
解：
，
去分母得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是已知条件式求解分式的值，把条件式变形，再整体代入求值是解本题的关键.
8．（江苏·无锡市侨谊实验中学八年级期中）约分：①
__________， ②
__________，
③
___________， ④
若
，则
的值是________.
【答案】
；
；
；
．
【解析】
【分析】
（1）分子分母都约去公因式5ab即可；
（2）分别将分子和分母分解因式，再约分；
（3）分别将分子和分母分解因式，再约分；
（4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可．
【详解】
解：①
；
②
；
③
；
④ 若
，则
,
∴
．
故答案为：①
；②
；
③
；④
．
【点睛】
本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
三、解答题
9．（广东佛山·二模）先化简，再求代数式
的值，其中
【答案】
，
【解析】
【分析】
先算括号内的加法，再把除化为乘，分子分母分解因式约分，化简后将x=-4代入即可得到答案．
【详解】
原式
当
时，
原式
【点睛】
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序及相关运算的法则．
10．（河南·方城县基础教育教学研究室一模）先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，
【解析】
【分析】
根据分式的运算顺序进行：先算括号再算除法，最后约分即可化简；再求出x的值，并把x的值代入化简后的式子中即可求得值．
【详解】
解：
∵
∴原式=
【点睛】
本题是分式的化简求值，考查了分式的混合运算，算术平方根的计算、零指数幂、负整数指数幂的意义，求代数式的值等知识，分式的化简及求得x的值是关键，分式运算注意运算顺序不能出错．
11．（山东枣庄·一模）先化简：（
－a－1）÷
，然后从－1，0，1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】2（a－3）；当a＝0时，原式＝－6
【解析】
【分析】
小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可．
【详解】
解：原式＝[
－
]÷
＝（
－
）·
＝
·
＝
·
＝2（a－3）．
∵a≠3且a≠－1，
∴a＝0（或a＝1），
当a＝0时，原式＝2×（0－3）＝－6．
[或当a＝1时，原式＝2×（1－3）＝－4．答案不唯一]
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是1的分数，进行通分是解题的关键．
12．（广东广州·一模）已知
．
(1)化简M；
(2)若
，求M的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式和平方差公式对M进行化解．
（2）利用代入法求解即可．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算，熟练的掌握公式是解决问题的关键．
13．（安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：
；第2个等式：
；
第3个等式：
；第4个等式：
；……；
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：；
(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
，证明过程见详解
【解析】
【分析】
（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
第五个等式为：
，
故答案为：
；
(2)
根据（1）所得到的规律，猜想：
；
证明：
，
即：右边=左边，
故猜想成立，
故答案为：
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第
个等式：（用含
的等式表示），并证明．
【答案】（1）
；（2）
，见解析
【解析】
【分析】
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为
，分子是
，第二项是
，等式右边为
．代入再进行验证正确性即可．
【详解】
解：（1）第5个等式为：
；
故答案为：
；
（2）根据题意，则
；
故答案为：
；
证明：等式左边
等式右边；
【点睛】
此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．