专题09 分式的基本性质
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一、选择题(每题2分，共20分) |
1．(本题2分)（重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．
为任何实数时，分式
总有意义
B．当
时，分式
的值为0
C．
和
的最简公分母是
D．将分式
中的
，
的值都变为原来的10倍，分式的值不变
【答案】D
【思路点拨】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【规范解答】解：A．当
时，分式
没有意义，选项错误，不符合题意；
B．当
时，分式
的值为零，当
时，分式
没有意义，选项错误，不符合题意；
C．
和
的最简公分母是
，选项错误，不符合题意；
D．将分式
中的
，
的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；
故选D．
【考点评析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．(本题2分)（全国·八年级专题练习）不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【思路点拨】根据分式的基本性质即可一一判定．
【规范解答】解：A.
，故该选项错误，不符合题意；
B.
，故该选项正确，符合题意；
C.
，故该选项错误，不符合题意；
D.
，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
3．(本题2分)（黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）下列各式正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】根据分式的基本性质判断即可．
【规范解答】A.
，本选项正确，故符合题意；
B.若
，则
或
，故本选项不一定正确，故不符合题意；
C.∵
，∴
计算错误，故不符合题意；
D.∵
，∴
计算错误，故不符合题意；
故选：A
【考点评析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
4．(本题2分)（八年级课时练习）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【思路点拨】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
【规范解答】解：A．
，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；
B．
，是最简分式，故选项正确，符合题意；
C．
，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；
D．
，不是最简分式，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
5．(本题2分)（广东广州·八年级统考期末）如果把分式
中的
和
都扩大
倍，则分式的值（ ）
A．扩大
倍 B．扩大
倍 C．不变 D．缩小
倍
【答案】B
【思路点拨】根据分式的基本性质即可求出答案；
【规范解答】解：
故选：B．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．
6．(本题2分)（山东泰安·八年级统考期中）如果把分式
的x与y都扩大10倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小50倍
【答案】C
【思路点拨】先分别用
和
去代换原分式中的x和y，然后利用分式的基本性质化简即可．
【规范解答】解：分别用
和
去代换原分式中的x和y可得
，
故这个分式的值扩大10倍．
故选：C．
【考点评析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数是解答本题的关键．
7．(本题2分)（全国·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
【答案】D
【思路点拨】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可．
【规范解答】因为
，
所以A错误；
因为
，
所以B、C都错误；
因为
，
所以D正确；
故选D．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因式分解的能力是解题的关键．
8．(本题2分)（浙江杭州·七年级校联考期中）若a、b两数互为相反数，且
，则以下结论①
；②ab是非正数；③
是负数；④
是正数；⑤
可以利用平方差公式计算．其中正确的是（ ）
A．③⑤ B．①③⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【答案】D
【思路点拨】由a、b两数互为相反数，且
可得，
，且
，代入各个式子进行计算即可得到答案．
【规范解答】解：由a、b两数互为相反数，且
可得，
，且
，所以ab是负数，负数属于非正数，故②正确；
所以
，故①正确；
，是负数，故③正确；
，当
时是正数，当
是负数，故④错误；
，可以利用平方差公式计算，故⑤正确，
故选D
【考点评析】本题考查相反数的概念、整式的运算以及分式的运算，准确对式子进行化简是判断的关键．
9．(本题2分)（八年级课时练习）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】根据分式的基本性质，逐项判断即可求解．
【规范解答】解：A、
，故本选项错误，不符合题意；
B、
，故本选项错误，不符合题意；
C、
，故本选项正确，符合题意；
D、
，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【考点评析】本题主要考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
10．(本题2分)（八年级课时练习）
的最简公分母是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路点拨】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【规范解答】解：
的最简公分母为：
．
故选：D．
【考点评析】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
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二、填空题(共20分) |
11．(本题2分)（北京·八年级校考阶段练习）如图，大正方形的边长均为
，图（1）中白色小正方形的边长为
，图（2）中白色长方形的宽为
，设
，则
的取值范围为______．
【答案】
【思路点拨】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
【规范解答】解：图（1）的阴影部分的面积为：
，
图（2）的阴影部分的面积为：
，
∴
＝
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【考点评析】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
12．(本题2分)（全国·八年级专题练习）分式
中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的
____倍．
【答案】
【思路点拨】根据分式的基本性质，将分式
中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到．
【规范解答】解：将分式
中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，
得到：
．
∴将分式
中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，
则此分式的值扩大为原来的 5倍．
故答案为：5．
【考点评析】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用．
13．(本题2分)（全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式
的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【答案】
【思路点拨】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．
【规范解答】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，
即
故答案为：
．
【考点评析】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．
14．(本题2分)（福建泉州·八年级校考期中）已知公式：
，利用或者不利用上述公式，
分解因式：
____________．
【答案】
【思路点拨】仿照
得出
，即可得出
，然后根据题目中给出的已知条件进行化简即可得出答案．
【规范解答】解：
∴
故答案为：
．
【考点评析】本题主要考查了因式分解和分式的化简计算，根据题目中给出的已知条件进行变形计算，是解题的关键．
15．(本题2分)（八年级单元测试）已知
，
________．
【答案】
##-0.125
【思路点拨】根据
得出
，然后将
进行变形，求值即可．
【规范解答】解：∵
，
∴
，
故答案为：
．
【考点评析】本题主要考查了代数式求值，由
得出
，将
变形为
，是解题的关键．
16．(本题2分)（全国·八年级专题练习）若
，
．则
的值为______
【答案】
【思路点拨】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
【规范解答】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
=
=
=
故答案为：
【考点评析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
17．(本题2分)（八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：
．______
【答案】
【思路点拨】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以
，即可求得．
【规范解答】解：
，
．
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
18．(本题2分)（江苏·八年级专题练习）写出下列各组分式的最简公分母：
_________．
【答案】2x（x+3）（x-3）
【思路点拨】根据最简公分母的确定方法解答．
【规范解答】解：
的最简公分母是2x（x+3）（x-3），
故答案为：2x（x+3）（x-3）．
【考点评析】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
19．(本题2分)（江苏苏州·八年级校考阶段练习）把分式
进行通分时，最简公分母为____．
【答案】12a2b
【思路点拨】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
【规范解答】解：分式
的分母分别是3a、2
、4ab，
最简公分母为12
b．
故答案为：12
b．
【考点评析】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解题的关键．
20．(本题2分)（全国·九年级专题练习）若
，
，则
________．
【答案】2
【思路点拨】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a、b和c的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．
【规范解答】∵
，
∴
∴
故答案为：2．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．
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三、解答题(共60分) |
21．(本题8分)（贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1)
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
【考点评析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
22．(本题8分)（八年级单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知
求分式
的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：
，∴
∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若
（a，b都不为0），请直接写出
的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)见解析
(3)1
【思路点拨】（1）根据分式的基本性质求解；
（2）将分式的分子、分母同时除以
得原式
，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把
代入分式中化简即可．
【规范解答】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵
，
∴原式＝
＝
＝
，
∵
，
∴
，
∴原式=
；
（3）∵
，
∴
，
∴
=1．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
23．(本题8分)（八年级课时练习）已知等式
(1)①用含
的代数式表示
；
②若
均为正整数，求
的值；
(2)设
，
，
分别是分式
中的
取
（
>
>2）时所对应的值，试比较
的大小，说明理由．
【答案】(1)①
②
或者
(2)
，理由见详解
【思路点拨】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解；
（2）根据题条件可知
，
，即有
．设
，
，根据
，可得
，则有
，
，进而可得
，依据
，即可得
．
【规范解答】（1）①由
得：
，
即
，
②∵x、y为正整数，
，
∴可知y只能为1或者2，
∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，
即x、y的值为：
或者
；
（2）
，理由如下，
根据题条件可知
，
，
∵
，
∴
，
设
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，即
，
则有：
，
即
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
结论得证．
【考点评析】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．
24．(本题8分)（北京顺义·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：
=1+
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像
，
，…，这样的分式是假分式；像
，
，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：
；
．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为：；
（2）将分式
化为整式与真分式的和的形式为：；（直接写出结果即可）
（3）如果分式
的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）
；（2）1+
；（3）x=0，1，3，4
【思路点拨】（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【规范解答】解：（1）根据题意，
是一个假分式；
故答案为：
（答案不唯一）．
（2）
；
故答案为：
；
（3）∵
，
∴x
2=±1或x
2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【考点评析】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
25．(本题8分)（浙江宁波·七年级统考期末）【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1 分解因式：
【解析】解：原式=
例2 分解因式：
【解析】解：原式=
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：
______．
（2）运用拆项添项法分解因式：
．
（3）化简：
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【思路点拨】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简．
【规范解答】解：（1）
，
，
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）∵
，
，
，
∴原式
．
【考点评析】本题考查因式分解，理解题意，并熟练掌握完全平方公式和平方差公式的公式结构是关键．
26．(本题10分)（八年级课时练习）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：
=
=1+
．
（1）请写出分式的基本性质 ；
（2）下列分式中，属于真分式的是 ；
A．
B．
C．﹣
D．
（3）将假分式
，化成整式和真分式的形式．
【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）
=m﹣1+
【思路点拨】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；
（3）先把
转化为
得到
，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．
【规范解答】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，
故选：C．
（3）∵
=m﹣1+
，
∴故答案为：m﹣1+
．
【考点评析】本题考查了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
材料1：为了研究分式
与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
|
… |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
|
… |
|
|
|
|
无意义 |
1 |
|
|
|
… |
从表格数据观察，当
时，随着
的增大，
的值随之减小，若
无限增大，则
无限接近于0；当
时，随着
的增大，
的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当
时，随着
的增大，
的值(增大或减小)；当
时，随着
的增大，
的值（增大或减小）；
(2)当
时，随着
的增大，
的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当
时，直接写出代数式
值的取值范围是．
【答案】(1)减小，减小
(2)当
时，
无限接近于2
(3)
【思路点拨】（1）根据
的变化情况，判断
、
值得变化情况即可；
（2）根据材料由
即可求解；
（3）由
，配合
即可求解．
【规范解答】（1）解：∵当
时，随着
的增大，
的值随之减小，
∴随着
的增大，
的值随之减小；
∵当
时，随着
的增大，
的值也随之减小，
∴随着
的增大，
的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当
时，
的值无限接近于0，
∴当
时，
无限接近于2；
（3）解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
∴
，
故答案为：
【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．