专题10 分式的加减乘除
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一、选择题(每题2分，共20分) |
1．(本题2分)（贵州·七年级校联考期中）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【思路点拨】根据零指数幂判断选项A；根据负整数指数幂的运算法则判断选项B；根据积的乘方、同底数幂相乘法则判断选项C；根据乘方、同底数幂的除法判断选项D．
【规范解答】解：选项A，
，故A错误，不符合题意；
选项B，
，故B正确，符合题意；
选项C，
，故C错误，不符合题意；
选项D，
，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识点，掌握
（a≠0）是解题关键．
2．(本题2分)（上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有
，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【答案】B
【思路点拨】先计算
=
,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组
，解之可得．
【规范解答】解：
=
=
∴
=
∴
，
解得：
，
故选B．
【考点评析】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
3．(本题2分)（浙江杭州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】根据同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法以及同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可．
【规范解答】解：A.
，计算正确，故选项A符合题意；
B.
，原式计算错误，故选项B不符合题意；
C.
，原式计算错误，故选项C不符合题意；
D.
，原式计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【考点评析】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．
4．(本题2分)（湖南湘潭·七年级湘潭电机子弟中学校考阶段练习）若
与
互为相反数，则
的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2020
【答案】B
【思路点拨】先根据相反数的定义可得
，再代入求值即可得．
【规范解答】由题意得：
，即
，
则
，
故选：B．
【考点评析】本题考查了相反数的定义、分式的求值，掌握理解相反数的定义是解题关键．
5．(本题2分)（河北石家庄·七年级校考期末）化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】首先把第一个分式的分母进行分解因式，再把除法转化成乘法，然后进行分式的乘法运算即可．
【规范解答】原式
•（x﹣1）
．
故选C．
【考点评析】本题考查了分式的乘除法运算，分式的乘除运算关键是对分子、分母分解因式然后约分计算．
6．(本题2分)（河南郑州·七年级校考开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．a3·a3=2a3 B．(−3a2)3=−9a6 C．(−2)−2=
D．a2+a3=a5
【答案】C
【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的意义、合并同类项法则分别化简得出答案．
【规范解答】A．a3·a3=a6，故此选项错误；
B．（−3a2）3=−27a6，故此选项错误；
C．（−2）−2=
，正确；
D．a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项错误．
故选C．
【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、负整数指数幂、合并同类项，正确掌握运算法则是解题的关键．
7．(本题2分)（上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）甲、乙两水管向水池中注水，单独开甲管要
小时注满水池，单独开乙管要
小时注满水池，若两管同时打开要（ ）小时注满水池．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【思路点拨】注满空池的时间
工作总量
甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲、乙的工作效率，然后求共同工作的时间．
【规范解答】解：设工作量为1，
乙的工作效率分别为
、
，
根据题意得
小时．
故选：D．
【考点评析】此题考查列代数式，读懂题意，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
8．(本题2分)（七年级课时练习）如图，这是亮亮设计的一种运算程序示意图，若开始输入y的值为64，则第2021次输出的结果是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【思路点拨】根据运算程序示意图求解得出规律即可解答．
【规范解答】解：根据题意，
第一次输出结果为：
，
第二次输出结果为：
，
第三次输出结果为：
第四次输出结果为：
，
第五次输出结果为：
，
……
∴从第四次开始，输出的次数为偶数时，输出的结果为4，输出的次数为奇数时，输出的结果为1，
∴第2021次输出的结果是1，
故选：C．
【考点评析】本题考查代数式求值、负整数指数幂运算、数字类规律探究，理解题意，利用运算程序示意图进行计算得出结果的规律是解答的关键．
9．(本题2分)（七年级课时练习）在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规范解答】解：
，
故选：A．
【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为
，其中
，
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．(本题2分)（上海·七年级专题练习）当
分别取值
，
，
，
，
，1，2，
，2017，2018，2019时，计算代数式
的值，将所得结果相加，其和等于
A．1 B．
C．1009 D．0
【答案】D
【思路点拨】先把
和
代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把
代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【规范解答】解：设
，将
和
代入代数式，
，
∴
，
则原式=
，
故选：D．
【考点评析】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除
外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为
代入代数式后的值．
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二、填空题(共20分) |
11．(本题2分)（江苏苏州·七年级校联考期末）已知关于x、y的方程组
，若xy＝1，则a＝___．
【答案】3或
【思路点拨】由
可得
或
是偶数，或
再分三种情况列方程组，解方程组可得答案.
【规范解答】解：
或
是偶数，或
当
时，
解得：
当
是偶数，
解得：
，不合题意舍去，
当
解得：
综上：
的值为：3或
故答案为：3或
【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的解法，零次幂的含义，有理数的乘方的应用，掌握以上知识是解题的关键.
12．(本题2分)（全国·七年级专题练习）化简：
的结果是_____．
【答案】
【规范解答】原式=
，故答案为
.
13．(本题2分)（七年级课时练习）已知
，
满足
，则
______；
______．
【答案】
1
【思路点拨】先利用绝对值和平方数的非负性得到
，
，从而得到
，
，再代入计算即可．
【规范解答】解：∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
故答案为：1；
．
【考点评析】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出
，
．
14．(本题2分)（七年级课时练习）当x=____________时，代数式
的值为1．
【答案】2或
##
或2
【思路点拨】利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算得出答案．
【规范解答】解：分2种情况：
①当
，即
时，代数式
；
②当
，即
时，代数式
；，
故答案为：
2或
．
【考点评析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握零指数幂的性质以及有理数的乘方的意义，注意分类讨论．
15．(本题2分)（安徽宣城·七年级校考期中）对于实数
、
，定义运算：
；如：
，
．照此定义的运算方式计算
___________
．
【答案】1
【思路点拨】由题中规定的运算规则，分别计算出
，
即可．
【规范解答】解：根据题意得：
，
，
则
．
故答案为：
．
【考点评析】本题是新运算问题，考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，理解题中定义的新运算规则是关键．
16．(本题2分)（山东枣庄·七年级统考期中）计算
________．
【答案】
．
【思路点拨】先计算有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算有理数的加法即可得．
【规范解答】解：原式
，
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，熟记各运算法则是解题关键．
17．(本题2分)（上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）计算：
__________________
【答案】
.
【思路点拨】利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再利用除法法则计算即可.
【规范解答】解：
故答案为：
【考点评析】本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握分式乘除法的运算法则．
18．(本题2分)（广东东莞·七年级校联考阶段练习）对实数
定义新运算
例如：
，化简
_____________．
【答案】
或
．
【思路点拨】根据题意，可分为两种情况进行分析，分别求出化简的结果，即可得到答案．
【规范解答】解：∵
，
当
时，即
，
=
=
；
当
，即
，
=
=
；
故答案为：
或
．
【考点评析】本题考查了新定义的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
19．(本题2分)（安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）若
，
，
，
，
，
，
，则
________．
【答案】
【思路点拨】根据题意确定出S1=-3a，S2=
，S3=-3a，S4=
，…，得出以-3a与
循环，即可确定出S2020．
【规范解答】解：
，
，
，
，…，
故得出以-3a与
循环，
∵2020÷2=1010，
∴S2020=
，
故答案为：
.
【考点评析】此题考查了分式的乘除法，弄清题中的规律，找到周期是解本题的关键．
20．(本题2分)（上海闵行·七年级校考期末）如果
，那么
______．
【答案】
【思路点拨】根据负整数指数幂的法则变形，然后逆用幂的乘方和同底数幂的乘法，再根据负整数指数幂的法则变形，进而列式求出m即可．
【规范解答】解：∵
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法，灵活运用运算法则进行变形是解题的关键．
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三、解答题(共60分) |
21．(本题6分)（江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果
，那么我们规定
．例如：因为
，所以
．
(1)根据上述规定，填空：
，
；
(2)记
，
，
．试说明：
．
【答案】(1)3，
；
(2)
．
【思路点拨】（1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算；
（2）利用新定义计算并证明
．
【规范解答】（1）解：
，
；
故答案为：3，
；
（2）解：∵
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
．
【考点评析】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．
22．(本题6分)（江苏常州·七年级校考期中）计算：
(1)
；
(2)先化简，再求值：
，其中
．
【答案】(1)
(2)
；
【思路点拨】（1）根据零次幂，以及有理数的混合运算法则进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式与平方差公式化简，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
，
当
时，原式
．
【考点评析】本题考查了零次幂，有理数的混合运算，整式乘法的混合运算与化简求值，正确的计算是解题的关键．
23．(本题8分)（上海闵行·七年级校考期末）先化简，后求值：
，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】
，当
时，原式=1
【思路点拨】先计算括号里面进行通分运算，再进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【规范解答】解：原式
由题意知
且
，
∴
，
当
时，原式
．
【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式有意义的条件．
24．(本题8分)（江苏苏州·七年级校考阶段练习）计算：
1．
．
2．
．
3．
．
4．
．
【答案】（2）1；（2）
；（3）
；（4）
【思路点拨】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的混合运算法则分别化简得出答案；
（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方解答；
（3）根据多项式乘多项式、完全平方公式解答即可；
（4）利用平方差公式及单项式乘多项式解答即可．
【规范解答】解：（1）原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：
．
（4）解：原式
．
【考点评析】本题考查了平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握公式及运算法则．
25．(本题8分)（四川达州·七年级达州市第一中学校校考阶段练习）计算：
（1）
（2）
（用乘法公式简算）
【答案】（1）4；（2）1
【思路点拨】（1）根据零指数次幂，负整数指数次幂以及有理数的乘方的运算法则进行计算，再相加减即可求解；
（2）利用平方差公式的进行计算可求解；
【规范解答】解：（1）
=-1+1+4
=4；
（2）
=
=
=
=1
【考点评析】本题主要考查实数的运算，平方差公式，平方差公式的运用是解题的关键．
26．(本题8分)（山东聊城·七年级统考期末）（1）计算：
_______；
______．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______；
（3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式
．
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
．
【思路点拨】（1）利用多项式乘法进行计算即可；
（2）根据（1）中的结果确定答案；
（3）逆运用新公式，把
变形为
，再化简分式．
【规范解答】解：（1）
；
．
故答案为：
，
；
（2）
．
故答案为：
．
（3）
．
【考点评析】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键．
27．(本题8分)（浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列各式：
，
(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：
________；
(2)用数学的整体思想方法，设
，分解因式：
，
；
(3)已知
，a、b、c、d都是正整数，且
，化简求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，
【思路点拨】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
（2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
（3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
（1）
解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为：
；
（2）
解：由（1）可知
，
∴
，
设
（
），
∴
∵
，
∴
；
（3）
解：由（2）可知
，
当
时，则
，
∵
，
∴
，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵
，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式
；
【考点评析】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．
28．(本题8分)（上海闵行·七年级校考阶段练习）先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有
.
(1)计算：
；
(2)计算：
．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据题目提供结论化简为
，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解；
（2）根据题目提供结论将原式变形为
，逆用分配率得到
，
再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．
【规范解答】（1）解：
；
（2）
．
【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算法则，根据题目提供结论将原题进行变形是解题关键．