【324509】2024春七年级数学下册 专题10 分式的加减乘除（含解析）（新版）浙教版

专题10 分式的加减乘除

评卷人 得分

一、选择题(每题2分，共20分)

1．(本题2分)（贵州·七年级校联考期中）下列各式中，计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路点拨】根据零指数幂判断选项A；根据负整数指数幂的运算法则判断选项B；根据积的乘方、同底数幂相乘法则判断选项C；根据乘方、同底数幂的除法判断选项D．

【规范解答】解：选项A， ，故A错误，不符合题意；

选项B， ，故B正确，符合题意；

选项C， ，故C错误，不符合题意；

选项D， ，故D错误，不符合题意；

故选：B．

【考点评析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识点，掌握 （a≠0）是解题关键．

2．(本题2分)（上海·七年级专题练习）对于任意的x值都有 ，则M，N值为（　　）

A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4

【答案】B

【思路点拨】先计算 = ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．

【规范解答】解：

=

=

∴ =

∴ ，

解得： ，

故选B．

【考点评析】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．

3．(本题2分)（浙江杭州·模拟预测）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路点拨】根据同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法以及同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可．

【规范解答】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；

B. ，原式计算错误，故选项B不符合题意；

C. ，原式计算错误，故选项C不符合题意；

D. ，原式计算错误，故选项D不符合题意．

故选：A．

【考点评析】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．

4．(本题2分)（湖南湘潭·七年级湘潭电机子弟中学校考阶段练习）若 与 互为相反数，则 的值为（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．2020

【答案】B

【思路点拨】先根据相反数的定义可得 ，再代入求值即可得．

【规范解答】由题意得： ，即 ，

则 ，

故选：B．

【考点评析】本题考查了相反数的定义、分式的求值，掌握理解相反数的定义是解题关键．

5．(本题2分)（河北石家庄·七年级校考期末）化简 的结果是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【思路点拨】首先把第一个分式的分母进行分解因式，再把除法转化成乘法，然后进行分式的乘法运算即可．

【规范解答】原式 •（x﹣1） ．

故选C．

【考点评析】本题考查了分式的乘除法运算，分式的乘除运算关键是对分子、分母分解因式然后约分计算．

6．(本题2分)（河南郑州·七年级校考开学考试）下列计算正确的是（    ）

A．a³·a³=2a³ B．(−3a²)³=−9a⁶ C．(−2)⁻²= D．a²+a³=a⁵

【答案】C

【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、负整数指数幂的意义、合并同类项法则分别化简得出答案．

【规范解答】A．a³·a³=a⁶，故此选项错误；

B．（−3a²）³=−27a⁶，故此选项错误；    

C．（−2）⁻²= ，正确；

D．a²和a³不是同类项，不能合并，故此选项错误．

故选C．

【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、负整数指数幂、合并同类项，正确掌握运算法则是解题的关键．

7．(本题2分)（上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）甲、乙两水管向水池中注水，单独开甲管要 小时注满水池，单独开乙管要 小时注满水池，若两管同时打开要（　　）小时注满水池．

A． B． C． D．

【答案】D

【思路点拨】注满空池的时间 工作总量 甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲、乙的工作效率，然后求共同工作的时间．

【规范解答】解：设工作量为1， 乙的工作效率分别为 、 ，

根据题意得 小时．

故选：D．

【考点评析】此题考查列代数式，读懂题意，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．

8．(本题2分)（七年级课时练习）如图，这是亮亮设计的一种运算程序示意图，若开始输入y的值为64，则第2021次输出的结果是（    ）

A．4 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【思路点拨】根据运算程序示意图求解得出规律即可解答．

【规范解答】解：根据题意，

第一次输出结果为： ，

第二次输出结果为： ，

第三次输出结果为：

第四次输出结果为： ，

第五次输出结果为： ，

……

∴从第四次开始，输出的次数为偶数时，输出的结果为4，输出的次数为奇数时，输出的结果为1，

∴第2021次输出的结果是1，

故选：C．

【考点评析】本题考查代数式求值、负整数指数幂运算、数字类规律探究，理解题意，利用运算程序示意图进行计算得出结果的规律是解答的关键．

9．(本题2分)（七年级课时练习）在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【规范解答】解： ，

故选：A．

【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．(本题2分)（上海·七年级专题练习）当 分别取值 ， ， ， ， ，1，2， ，2017，2018，2019时，计算代数式 的值，将所得结果相加，其和等于 　　

A．1 B． C．1009 D．0

【答案】D

【思路点拨】先把 和 代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把 代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．

【规范解答】解：设 ，将 和 代入代数式，

，

∴ ，

则原式= ，

故选：D．

【考点评析】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除 外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为 代入代数式后的值．

评卷人 得分

二、填空题(共20分)

11．(本题2分)（江苏苏州·七年级校联考期末）已知关于x、y的方程组 ，若xy＝1，则a＝___．

【答案】3或

【思路点拨】由 可得 或 是偶数，或 再分三种情况列方程组，解方程组可得答案.

【规范解答】解：

或 是偶数，或

当 时，

解得：

当 是偶数，

解得： ，不合题意舍去，

当

解得：

综上： 的值为：3或

故答案为：3或

【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的解法，零次幂的含义，有理数的乘方的应用，掌握以上知识是解题的关键.

12．(本题2分)（全国·七年级专题练习）化简： 的结果是_____．

【答案】

【规范解答】原式= ，故答案为 .

13．(本题2分)（七年级课时练习）已知 ， 满足 ，则 ______； ______．

【答案】     1    

【思路点拨】先利用绝对值和平方数的非负性得到 ， ，从而得到 ， ，再代入计算即可．

【规范解答】解：∵ ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

，

故答案为：1； ．

【考点评析】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出 ， ．

14．(本题2分)（七年级课时练习）当x=____________时，代数式 的值为1．

【答案】2或 ## 或2

【思路点拨】利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算得出答案．

【规范解答】解：分2种情况：

①当 ，即 时，代数式 ；

②当 ，即 时，代数式 ；，

故答案为： 2或 ．

【考点评析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握零指数幂的性质以及有理数的乘方的意义，注意分类讨论．

15．(本题2分)（安徽宣城·七年级校考期中）对于实数 、 ，定义运算： ；如： ​， ．照此定义的运算方式计算 ___________ ．

【答案】1

【思路点拨】由题中规定的运算规则，分别计算出 ， 即可．

【规范解答】解：根据题意得： ， ，

则 ．

故答案为： ．

【考点评析】本题是新运算问题，考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，理解题中定义的新运算规则是关键．

16．(本题2分)（山东枣庄·七年级统考期中）计算 ________．

【答案】 ．

【思路点拨】先计算有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算有理数的加法即可得．

【规范解答】解：原式 ，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，熟记各运算法则是解题关键．

17．(本题2分)（上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）计算： __________________

【答案】 .

【思路点拨】利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再利用除法法则计算即可.

【规范解答】解：

故答案为：

【考点评析】本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握分式乘除法的运算法则．

18．(本题2分)（广东东莞·七年级校联考阶段练习）对实数 定义新运算 例如： ，化简 _____________．

【答案】 或 ．

【思路点拨】根据题意，可分为两种情况进行分析，分别求出化简的结果，即可得到答案．

【规范解答】解：∵ ，

当 时，即 ，

=

= ；

当 ，即 ，

=

= ；

故答案为： 或 ．

【考点评析】本题考查了新定义的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．

19．(本题2分)（安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）若 ， ， ， ， ， ， ，则 ________．

【答案】

【思路点拨】根据题意确定出S₁=-3a，S₂= ，S₃=-3a，S₄= ，…，得出以-3a与 循环，即可确定出S₂₀₂₀．

【规范解答】解： ， ， ， ，…，

故得出以-3a与 循环，

∵2020÷2=1010，

∴S₂₀₂₀= ，

故答案为： .

【考点评析】此题考查了分式的乘除法，弄清题中的规律，找到周期是解本题的关键．

20．(本题2分)（上海闵行·七年级校考期末）如果 ，那么 ______．

【答案】

【思路点拨】根据负整数指数幂的法则变形，然后逆用幂的乘方和同底数幂的乘法，再根据负整数指数幂的法则变形，进而列式求出m即可．

【规范解答】解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了负整数指数幂，幂的乘方和同底数幂的乘法，灵活运用运算法则进行变形是解题的关键．

评卷人 得分

三、解答题(共60分)

21．(本题6分)（江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．

(1)根据上述规定，填空： 　　， 　　；

(2)记 ， ， ．试说明： ．

【答案】(1)3， ；

(2) ．

【思路点拨】（1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算；

（2）利用新定义计算并证明 ．

【规范解答】（1）解： ， ；

故答案为：3， ；

（2）解：∵ ， ， ，

∴ ， ， ，

∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ．

【考点评析】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题．

22．(本题6分)（江苏常州·七年级校考期中）计算：

(1) ；

(2)先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】(1)

(2) ；

【思路点拨】（1）根据零次幂，以及有理数的混合运算法则进行计算即可求解；

（2）根据完全平方公式与平方差公式化简，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．

【规范解答】（1）解：

；

（2）解：

，

当 时，原式 ．

【考点评析】本题考查了零次幂，有理数的混合运算，整式乘法的混合运算与化简求值，正确的计算是解题的关键．

23．(本题8分)（上海闵行·七年级校考期末）先化简，后求值： ，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．

【答案】 ，当 时，原式=1

【思路点拨】先计算括号里面进行通分运算，再进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．

【规范解答】解：原式

由题意知 且 ，

∴ ，

当 时，原式 ．

【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式有意义的条件．

24．(本题8分)（江苏苏州·七年级校考阶段练习）计算： 1． ．   

2． ．

3． ．   

4． ．

【答案】（2）1；（2） ；（3） ；（4）

【思路点拨】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的混合运算法则分别化简得出答案；

（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方解答；

（3）根据多项式乘多项式、完全平方公式解答即可；

（4）利用平方差公式及单项式乘多项式解答即可．

【规范解答】解：（1）原式

．

（2）解：原式 ．

（3）解：

．

（4）解：原式

．

【考点评析】本题考查了平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握公式及运算法则．

25．(本题8分)（四川达州·七年级达州市第一中学校校考阶段练习）计算：

（1）     （2） （用乘法公式简算）

【答案】（1）4；（2）1

【思路点拨】（1）根据零指数次幂，负整数指数次幂以及有理数的乘方的运算法则进行计算，再相加减即可求解；

（2）利用平方差公式的进行计算可求解；

【规范解答】解：（1）    

=-1+1+4

=4；

（2）

=

=

=

=1

【考点评析】本题主要考查实数的运算，平方差公式，平方差公式的运用是解题的关键．

26．(本题8分)（山东聊城·七年级统考期末）（1）计算： _______； ______．

（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______；

（3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式 ．

【答案】（1） ； ；（2） ；（3） ．

【思路点拨】（1）利用多项式乘法进行计算即可；

（2）根据（1）中的结果确定答案；

（3）逆运用新公式，把 变形为 ，再化简分式．

【规范解答】解：（1） ；

．

故答案为： ， ；

（2） ．

故答案为： ．

（3）

．

【考点评析】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键．

27．(本题8分)（浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列各式：

，

(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格： ________；

(2)用数学的整体思想方法，设 ，分解因式： ， ；

(3)已知 ，a、b、c、d都是正整数，且 ，化简求 的值．

【答案】(1) ；

(2) ；

(3) ，

【思路点拨】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可；

（2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；

（3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．

（1）

解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：

；

故答案为： ；

（2）

解：由（1）可知 ，

∴ ，

设 （ ），

∴

∵ ，

∴ ；

（3）

解：由（2）可知 ，

当 时，则

，

∵ ，

∴ ，

∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；

∴a=17，b=5，c=3，d=1；

∵

，

当a=17，b=5，c=3，d=1；

∴原式 ；

【考点评析】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．

28．(本题8分)（上海闵行·七年级校考阶段练习）先阅读，再答题：

，

，

……

一般地，有 .

(1)计算： ；

(2)计算： ．

【答案】(1)

(2)

【思路点拨】（1）根据题目提供结论化简为 ，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解；

（2）根据题目提供结论将原式变形为 ，逆用分配率得到 ，

再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．

【规范解答】（1）解：

；

（2）

．

【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算法则，根据题目提供结论将原题进行变形是解题关键．