专题08因式分解压轴题五种模型全攻略

【类型一提公因式法因式分解】

例题：（湖北武汉·八年级期末）已知a+b＝4，ab＝3，则a²b+ab²＝_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

首先进行因式分解，再把a+b＝4，ab＝3代入，即可求得其值．

【详解】

解： a+b＝4，ab＝3

a²b+ab²

=ab(a+b)

=3×4

=12

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了因式分解及代数式求值问题，熟练掌握和运用整体代入法是解决本题的关键．

【变式训练】

1．（浙江·宁波市兴宁中学一模）分解因式： _____．

【答案】

【解析】

【分析】

由提公因式解答．

【详解】

解：

故答案为： ．

【点睛】

本题考查提公因式法分解因式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

2．（云南昭通·八年级期末）若m-n=4，mn=3，则 _____．

【答案】12

【解析】

【分析】

由题意知， ，将已知条件代入求解即可．

【详解】

解：

将 代入得

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了代数式求值．解题的关键在于将 表示成 的形式．

3．（四川泸州·八年级期末）分解因式 = ______．

【答案】

【解析】

【分析】

因式分式是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，利用提公因式法化简即可.

【详解】

解： = =

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查提公因式法进行因式分解，解题的关键是需要注意的是因式分解是将其化成几个整式乘积的形式.

4．（黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）因式分解：m(a-3)+2(3-a)

【答案】

【解析】

【分析】

提出公因式 即可求解

【详解】

解：m(a-3)+2(3-a)

【点睛】

本题考查了提公因式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．

5．（全国·八年级专题练习）分解因式：

【答案】

【解析】

【分析】

原式先变形为 ，再利用提公因式法分解．

【详解】

解：原式=

=

=

【点睛】

本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键．

6．（海南鑫源高级中学八年级期中）因式分解

（1）

（2）

（3）

【答案】（1） ；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

（1）提出公因式 ，提公因式法因式分解即可；

（2）提出公因式 ，提公因式法因式分解即可；

（3）提出公因式 ，提公因式法因式分解即可；

【详解】

（1）

（2）

（3）

【点睛】

本题考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．

【类型二公式法因式分解】

例题：（重庆巫山·八年级期末）因式分解：ab²-4a＝________；3x²+12xy+12y²＝_________．

【答案】     ##      ##

【解析】

【分析】

先提取公因式，再分别用平方差公式和完全平方公式进行因式分解．

【详解】

解：ab²-4a

＝

＝ ；

3x²+12xy+12y²

＝

＝

故答案为： ；

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法，灵活选择方法是关键．

【变式训练】

1．（云南玉溪·一模）分解因式∶ ______．

【答案】

【解析】

【分析】

先提公因式a，再运用完全平方公式分解即可求解．

【详解】

解：原式=a(2ab+b²+a²)

=a(a+b)²，

故答案为：a(a+b)²．

【点睛】

本题考查提公因式和公式法综合运用．熟练掌握提公因式和公式法分解因式的方法是解题的关键．

2．（辽宁沈阳·模拟预测）把多项式4x²﹣24x＋36分解因式的结果是________．

【答案】4（x-3）²

【解析】

【分析】

先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．

【详解】

解：4x²-24x+36

=4（x²-6x+9）

=4（x-3）²，

故答案为：4（x-3）²．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

3．（云南昆明·一模）当 时，代数式 ______．

【答案】9

【解析】

【分析】

根据因式分解中公式法对 进行因式分解，再将 进行变行代入值即可

【详解】

解：

∵

∴

∴

故答案为：9

【点睛】

本题主要考查因式分解中的公式法，掌握相关因式分解方法是解题的关键．

4．（湖北武汉·八年级期末）因式分解：

(1) ；

(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(1)

原式

(2)

原式

【点睛】

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．

5．（陕西安康·八年级期末）因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先公因式，再用完全平方公式分解即可；

（2）先公因式，再用平方差公式分解即可．

(1)

解：a²b−10ab+25b

，

；

(2)

4a²(a−b)+(b−a)

，

．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题的关键是先提公因式，再用其他方法，分解到不能分解为止．

6．（广西河池·八年级期末）因式分解

(1) ；

(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解；

（2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解．

(1)

原式

．

(2)

原式

．

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

7．（湖北武汉·八年级期末）因式分解

(1)x²y－4y

(2)2x²－12x＋18

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

利用提公因式法和公式法进行因式分解即可.

(1)

解：原式=（x²－4）y=

(2)

解：原式=2（x²－6x＋9）=

【点睛】

本题主要考查因式分解，熟练地掌握提公因式法，公式法，和分组分解法是解题的关键.

8．（广东·佛山市南海区里水镇里水初级中学八年级阶段练习）已知a+b＝ ，ab＝﹣ ，先因式分解，再求值：a³b+2a²b²+ab³．

【答案】ab（a+b）²，

【解析】

【分析】

先提公因式，再根据完全平方公式分解，最后将式子的值代入计算．

【详解】

解：a³b+2a²b²+ab³＝ab（a²+2ab+b²）＝ab（a+b）²，

∵a+b＝ ，ab＝﹣ ，

∴原式＝﹣ ×（ ）²＝ ．

【点睛】

此题考查了多项式因式分解及求值，正确掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．

【类型三十字相乘法法因式分解】

例题：（北京市第四十三中学八年级期中）阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， ．反过来，就得到 的因式分解形式，即 ．把这个多项式的二次项系数1分解为 ，常数项10分解为 ，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数 （如图1）．

像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

例如，将二次三项式 分解因式，它的“十字”如图2：

所以， ．

请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：

(1) 　　；

(2) 　　；

(3) 　　．

【答案】(1)（x+2）（x+3）

(2)（2x-1）（x-3）

(3)（x+2）（x-m）

【解析】

【分析】

根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．

(1)

解：

由上图可知：x²+5x+6=（x+2）（x+3），

故答案为：（x+2）（x+3）；

(2)

解：

由上图可知：2x²-7x+3=（2x-1）（x-3），

故答案为：（2x-1）（x-3）；

(3)

解：

由上图可知：x²+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），

故答案为：（x+2）（x-m）．

【点睛】

本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．

【变式训练】

1．（山东淄博·二模）因式分解a²－a－6＝_____．

【答案】(a＋2)(a－3)

【解析】

【分析】

利用公式 公式进行因式分解.

【详解】

解： ，

故填（a-3）（a+2）

【点睛】

本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查.

2．（山东淄博·一模）分解因式： __．

【答案】

【解析】

【分析】

根据-9=-9×1，-8=-9+1，进行分解即可．

【详解】

解： ，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．

3．（湖北·公安县教学研究中心八年级期末）分解因式 ＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用“十字相乘法”即可得解．

【详解】

解： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查因式分解，考查计算能力，属于基础题．

4．（湖北十堰·八年级期末）因式分解：

(1) ；

(2)

【答案】(1)3（x2y）²；

(2)（x5y）（x+2y）．

【解析】

【分析】

（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；

（2）用十字相乘法分解因式即可．

(1)

解：

=3（x²4xy+4y²）

=3（x2y）²；

(2)

解：

=（x5y）（x+2y）．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握a²±2ab+b²=（a±b）²是解题的关键．

5．（上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式 可用十字相乘法方法得出 ，用上述方法将下列各式因式分解：

(1) __________．

(2) __________．

(3) __________．

(4) __________．

【答案】(1)(x-y)(x+6y)

(2)(x-3a)(x-a-2)

(3)(x+a-3b)(x-a-2b)

(4)(2018²x²+1)(x-1)

【解析】

【分析】

（1）将-6y²改写成-y·6，然后根据例题分解即可；

（2）将3a²+6a改写成 ，然后根据例题分解即可；

（3）先化简，将 改写 ，然后根据例题分解即可；

（4）将 改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；

(1)

解：原式=

=(x-y)(x+6y)；

(2)

解：原式=

=(x-3a)(x-a-2)；

(3)

解：原式=

=

=

=(x+a-3b)(x-a-2b)；

(4)

解：原式=

=

=

=(2018²x+1)(x-1) ．

【点睛】

本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式 可用十字相乘法方法得出 是解答本题的关键．

6．（四川泸州·八年级期末）阅读下面材料，并回答相应的问题：

通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．

(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：

__________， ____________，

__________， __________．

从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：

________________．

(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．

利用这种方法，请将下列各式因式分解：

__________， ___________，

__________， ___________．

【答案】(1) ；

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果；

（2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果．

(1)

∴

故答案为： ，

(2)

=

= ；

=

=

=

故答案为： ， ， ， ，

【点睛】

此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

7．（辽宁葫芦岛·八年级期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ； ．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得： ； ．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子 分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数 ，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．

这样，我们就可以得到： ．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

(1) __________；

(2) __________；

(3) __________；

(4) __________．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】

【分析】

（1）仿照题意求解即可；

（2）仿照题意求解即可；

（3）仿照题意求解即可；

（4）仿照题意求解即可．

(1)

解：根据题意可知

(2)

解：根据题意可知

(3)

解：根据题意可知

(4)

解：根据题意可知

【点睛】

本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．

【类型四分组分解法因式分解】

例题：（黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

x²＋2x﹣3＝x²＋2x＋1﹣4＝（x＋1）²﹣2²＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：x²﹣6x﹣7；

（2）分解因式：a²＋4ab﹣5b²

【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)

【解析】

【分析】

（1）仿照例题方法分解因式即可；

（2）仿照例题方法分解因式即可；

【详解】

解：（1）x²﹣6x﹣7

= x²﹣6x+9－16

=（x－3）²－4²

=（x－3+4）(x－3－4)

=(x+1)(x－7)；

（2）a²＋4ab﹣5b²

= a²＋4ab+4b²﹣9b²

=（a+2b）²－(3b)²

=（a+2b +3b）(a+2b－3b)

=(a+5b)( a－b)．

【点睛】

本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．

【变式训练】

1．（广东·龙岭初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．

例：分解因式：x²＋4x＋3

解：把4x分成x和3x，

原式就可以分成两组了

原式＝x²＋x＋3x＋3

＝x（x＋1）＋3（x＋1）

继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）

请类比上边方法分解因式：x²＋5x＋6．

【答案】（x＋3）（x＋2）

【解析】

【分析】

根据题中拆项法原理，把5x分成2x和3x，进而根据提公因式法因式分解即可．

【详解】

解：把5x分成2x和3x，

原式就可以分成两组了

原式＝x²＋2x＋3x＋6

＝x(x＋2)＋3(x＋2)

继续提公因式＝(x＋3)(x＋2)

【点睛】

本题考查了因式分解，理解题意仿照例题求解是解题的关键．

2．（山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：

（分成两组）

（直接提公因式）

乙：

（分成两组）

（直接运用公式）

请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可；

（2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可．

(1)

解： ，

，

；

(2)

解： ，

，

，

．

【点睛】

本题考查了因式分解——公式法，提公因式法，分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．

3．（吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：am+bm+an+bn

＝（am+bm）+（an+bn）

＝m（a+b）+n（a+b）

＝（a+b）（m+n）．

(1)利用分组分解法分解因式：

①3m﹣3y+am﹣ay；

②a²x+a²y+b²x+b²y．

(2)因式分解：a²+2ab+b²﹣1＝　　（直接写出结果）．

【答案】(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a²＋b²）

(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）

【解析】

【分析】

（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；

②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；

（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．

(1)

解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）

＝3（m−y）＋a（m−y）

＝（m−y）（3＋a）；

②原式＝（a²x＋a²y）＋（b²x＋b²y）

＝a²（x＋y）＋b²（x＋y）

＝（x＋y）（a²＋b²）；

(2)

a²＋2ab＋b²−1

＝（a＋b）²−1

＝（a＋b＋1）（a＋b−1）．

故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）．

【点睛】

此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．

4．（吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：

＝

＝

＝

（1）利用分组分解法分解因式：

   ① ；

   ②

（2）因式分解： =_______（直接写出结果）．

【答案】（1）① ；② ；（2） ．

【解析】

【分析】

（1）仿照题目所给例题进行分组分解因式即可；

（2）利用平方差和完全平方公式进行分解因式即可．

【详解】

解：（1）①

；

②

=

= ；

（2）

，

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式分方法．

5．（上海奉贤·七年级期中）下面是多项式x³+y³因式分解的部分过程，．

解：原式＝x³+x²y﹣x²y+y³（第一步）

＝（x³+x²y）﹣（x²y﹣y³）（第二步）

＝x²（x+y）﹣y（x²﹣y²）（第三步）

＝x²（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）

＝　　．

阅读以上解题过程，解答下列问题：

（1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有　　．（至少写出两种方法）

（2）在横线继续完成对本题的因式分解．

（3）请你尝试用以上方法对多项式8x³﹣1进行因式分解．

【答案】（1）提公因式法，公式法，分组分解法；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得因式分解的方法为提公因式法，公式法，分组分解法；

（2）根据第四步的结果提公因式法因式分解即可；

（3）根据题中的多项式x³+y³因式分解方法求解即可．

【详解】

（1）因式分解的方法为提公因式法，公式法，分组分解法；

故答案为：提公因式法，公式法

（2）原式＝x²（x+y）﹣y（x+y）（x﹣y）（第四步）

故答案为：

（3）

【点睛】

本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

6．（全国·八年级专题练习）先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．

如“2＋2”分法：

ax＋ay＋bx＋by

＝（ax＋ay）＋（bx＋by）

＝a（x＋y）＋b（x＋y）

＝（x＋y）（a＋b）

如“3＋1”分法：

2xy＋y²﹣1＋x²

＝x²＋2xy＋y²﹣1

＝（x＋y）²﹣1

＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：x²﹣y²﹣x﹣y；

（2）分解因式：45am²﹣20ax²＋20axy﹣5ay²；

（3）分解因式：4a²＋4a﹣4a²b﹣b﹣4ab＋1．

【答案】（1）（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）（2a＋1）²（1﹣b）

【解析】

【分析】

（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；

（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；

（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．

【详解】

解：（1）x²﹣y²﹣x﹣y

＝（x＋y）（x﹣y）﹣（x＋y）

＝（x＋y）（x﹣y﹣1）；

（2）45am²﹣20ax²＋20axy﹣5ay²

＝45am²﹣5a（4x²﹣4xy＋y²）

＝5a[9m²﹣（2x﹣y）²]

＝5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；

（3）4a²＋4a﹣4a²b﹣b﹣4ab＋1

＝（4a²＋4a＋1）﹣b（4a²＋4a＋1）

＝（2a＋1）²（1﹣b）．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．

【类型五因式分解的应用】

例题：（湖北黄冈·八年级开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x²﹣4y²﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x²﹣4y²﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式x²﹣2xy+y²﹣16；

(2)△ABC三边a，b，c满足a²﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．

【答案】(1)（x﹣y＋4）（x﹣y﹣4）

(2)△ABC的形状是等腰三角形

【解析】

【分析】

（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；

（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．

(1)

x²-2xy+y²-16

=（x-y）²-4²

=（x-y+4）（x-y-4）；

(2)

∵a²-ab-ac+bc=0

∴a（a-b）-c（a-b）=0，

∴（a-b）（a-c）=0，

∴a=b或a=c，

∴△ABC的形状是等腰三角形．

【点睛】

此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．

【变式训练】

1．（山东德州·八年级期末）多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²通过因式分解写成（a+b）²和（a-b）²的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及求最值等问题．我们把多项式a²+2ab+b²和a²-2ab+b²做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．

例如：分解因式x²+2x-3

原式=x²+2x+1-1-3=（x²+2x+1）-4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)

(1)用配方法将x²-6x-16分解因式；

(2)用配方法将x²+2xy+y²+10x+10y+16分解因式；

(3)试说明：x、y取任何实数时，多项式x²+y²+4x-2y+7的值总为正数．

【答案】(1)

(2)

(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可；

（2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可；

（3）把多项式进行分解因式，再分析即可．

(1)

x²−6x−16

＝（x²−6x＋9）−9−16

＝（x−3）²−25

＝（x−3−5）（x−3＋5）

＝（x−8）（x＋2）；

(2)

x²＋2xy＋y²＋10x＋10y＋16

＝（x＋y）²＋10（x＋y）＋16

＝[（x＋y）²＋10（x＋y）＋25]−25＋16

＝（x＋y＋5）²−9

＝（x＋y＋5−3）（x＋y＋5＋3）

＝（x＋y＋2）（x＋y＋8）；

(3)

x²＋y²＋4x−2y＋7

＝（x²＋4x＋4）＋（y²−2y＋1）＋2

＝（x＋2）²＋（y−1）²＋2，

∵（x＋2）²≥0，（y−1）²≥0，

∴（x＋2）²＋（y−1）²＋2≥2，

∴x、y取任何实数时，多项式x²＋y²＋4x−2y＋7的值总为正数．

【点睛】

本题主要考查整式的混合运算，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．

2．（山东临沂·八年级期末）第一环节：自主阅读材料

常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

……分组

……组内分解因式

……整体思想提公因式

这种分解因式的方法叫分组分解法．

(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解： ．

(2)第三环节：拓展运用：已知a，b，c为 的三边，且 ，试判断 的形状并说明理由．

【答案】(1) ；

(2)等腰三角形；见解析

【解析】

【分析】

（1）前两项提公因式，后两项提公因式，用平方差公式，可得y（x−2）（x＋2）−2（x−2）（x＋2），再次利用提公因式法即可得出结果；

（2）把 进行整理可得：（2a＋b＋c）（b−c）＝0，而2a＋b＋c≠0，只能是b−c＝0，则有b＝c，即可判断△ABC是等腰三角形．

(1)

；

(2)

∵ ，

∴ ，

，

，

∵ ，

∴ ，即 ，

∴ 是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是对因式分解的方法的掌握与熟练应用．

3．（福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．

①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；

②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；

（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a²+3ab+b²﹣9a 7b，求整式M的最小值．

【答案】（1）①（b-2）(a-2）；②21或16；（2）M的最小值是-10．

【解析】

【分析】

（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解；

②先将ab﹣2a﹣2b﹣4＝0变形为ab﹣2a﹣2b+4-8=0，即 =8，然后再解决本题．

（2）先将ab﹣a﹣b﹣1＝0变形为ab=a+b+1，再代入M，然后进行变形，得到M=（a﹣3）²+（b-2）²﹣10，最后，探究M的最小值．

【详解】

解：（1）①原式= =

②解：ab﹣2a﹣2b﹣4＝0

则ab﹣2a﹣2b+4-8=0，由①可知： =8

∵a，b（a＞b）都是正整数

∴ ，且a-2、b-2都是整数，

易得 或 （其他两种不符合a，b为正整数，舍去）

故：2a+b=21或16；

（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1带入M

=

=（a﹣3）²+（b-2）²﹣10，

∵ ，

∴M≥-10，

∴M的最小值是﹣10．

【点睛】

本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键．

4．（河南洛阳·八年级期末）阅读理解：

阅读下列材料：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及a的值．

解：设另一个因式是 ，

根据题意，得 ，

展开，得 ，

所以 ，解得 ，

所以，另一个因式是 ，a的值是-6．

请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．

【答案】另一个因式是 ，m的值是-8．

【解析】

【分析】

根据题意得到 ，再展开得到 ，据此列方程组 ，解此方程组即可解答．

【详解】

解：设另一个因式是 ，

根据题意，得 ，

展开，得 ，

所以 ，

解得 ，

所以，另一个因式是 ，m的值是-8．

【点睛】

本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

5．（内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）²（1+x）＝（1+x）³．

(1)上述分解因式的方法是　　，共应用了　　次；

(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…x（x+1）²⁰¹⁹，则需应用上述方法　　次，结果是　　；

(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　　．

(4)请利用以上规律计算：（1+2x）³．

【答案】(1)提公因式法，2

(2)2019，（1+x）²⁰²⁰

(3)（1+x）n⁺¹

(4)8x³+12x²+6x+1

【解析】

【分析】

(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论；

(2)结合(1)和阅读材料即可得结论；

(3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可；

(4)利用规律进而得出答案即可．

(1)

阅读因式分解的过程可知：

上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，

故答案为：提公因式法，2；

(2)

原式＝（1+x）²⁰²⁰，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）²⁰²⁰，

故答案为：2019，（1+x）²⁰²⁰；

(3)

原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）n

＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n^﹣1]

＝（1+x）²[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n^﹣2]

＝（1+x）n⁺¹．

故答案为：（1+x）n⁺¹；

(4)

（1+2x）³＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）²＝8x³+12x²+6x+1．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．

6．（湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x²﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为x＋n，依题意得x²﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．

即x²﹣4x＋m＝x²＋（n＋3）x＋3n，比较系数得： ，解得 ．

∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21

仿照上述方法解答下列问题：

(1)已知二次三项式2x²＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；

(2)已知2x²﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．

【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2

(2)20

【解析】

【分析】

（1）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案；

（2）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．

(1)

解：（1）设另一个因式为x+m，

则2x²+3x—k＝（2x—1）（x+m），

即2x²+3x—k＝2x²+（2m—1）x—m，

比较系数得： ，

解得 ，

∴另一个因式为x+2，k的值为2；

(2)

解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：

2x²﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），

则2x²﹣13x+p＝2x²+（m﹣8）x﹣4m，

∴ ，

解得 ，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了十字相乘法分解因式，解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题关键

7．（山东·东营市东营区实验中学八年级阶段练习）阅读并解决问题：对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式，但对于二次三项式 就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

(1)利用“配方法”分解因式： ；

(2)若 ， ，求：① ；② 的值；

(3)已知x是实数，试比较 与 的大小，说明理由．

【答案】(1)（a﹣5）（a﹣3）

(2)①28；②752

(3)x²﹣6x+11＞﹣x²+6x﹣10，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）把a²﹣8a+15先加上16，再减去16，再运用用配方法计算即可；

（2）①加2ab再减2ab，然后运用完全平方式解答即可；②在①得基础上，加2a²b²再减2a²b²，在运用完全平方式解答即可；

（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．

(1)

解：a²﹣8a+15，

＝a²﹣8a+16+15-16

＝a²﹣8a+16-16

＝（a﹣4）²﹣1²

＝（a﹣5）（a﹣3）；

(2)

解：①a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝36﹣8＝28

②a⁴+b⁴＝（a²+b²）²﹣2（ab）²＝752；

(3)

解：∵x²﹣6x+11＝（x﹣3）²+2≥2，﹣x²+6x﹣10＝﹣（x﹣3）²﹣1≤﹣1，

∴x²﹣6x+11＞﹣x²+6x﹣10．

【点睛】

本题主要考查了配方法、完全平方公式等知识点，先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．