专题08 因式分解

评卷人 得分

一、选择题(每题2分，共20分)

1．(本题2分)（浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如果 是多项式 的一个因式．则k的值为（    ）

A． B．1 C．4 D．1

【答案】C

【思路点拨】设 的另一个因式为： 可得 再建立方程组即可．

【规范解答】解：设 的另一个因式为：

∴

∴

解得：

故选C.

【考点评析】本题考查的是多项式的因式分解，整式的乘法运算，利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．

2．(本题2分)（上海·七年级专题练习）已知多项式 ，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ）

A．x B．-x C． D．

【答案】D

【思路点拨】根据完全平方公式即可一一判定．

【规范解答】解：A、 ，故A不符合题意；

B、 ，故B不符合题意；

C、 ，故C不符合题；

D、 不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，

故选：D．

【考点评析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键．

3．(本题2分)（全国·七年级专题练习）对于多项式（1） ；（2） ；（3） ；（4） 中，能用平方差公式分解的是(    )

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）

【答案】C

【思路点拨】由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解．

【规范解答】解： 平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，

（1） 两平方项符号相反，可以利用平方差公式；

（2） ，两平方项符号相同，不能运用平方差公式；

（3）4 虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；

（4） ，两平方项符号相反，可以利用平方差公式．

所以（1）（4）能用平方差公式分解．

故选：C．

【考点评析】此题考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键．

4．(本题2分)（湖南岳阳·七年级校考期中）对于任意的有理数 ,我们规定    ,如    ．求 的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路点拨】根据新规定得出 再根据提公因式法分解因式即可得出答案．

【规范解答】解：   

故选A

【考点评析】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．

5．(本题2分)（浙江绍兴·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【思路点拨】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．

【规范解答】A项：右边= 左边，错误；

B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；

C项：右边= 左边，错误；

D项：右边= 左边，错误；

故本题答案为：B．

【考点评析】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．

6．(本题2分)（安徽安庆·七年级统考期中）已知 ，且 ，则 - 的值为（       ）

A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044

【答案】A

【思路点拨】先将式子整理变形得 ，进而得出 ，即 ，再将 展开，最后整理代入即可得出答案．

【规范解答】因为 ，

所以 ，

整理，得 ，

则 ，

即 ．

因为 ，

所以 ，

即 ．

由 ，得 ，

所以 ．

故选：A．

【考点评析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．

7．(本题2分)（安徽宣城·七年级统考期末）已知 满足 ，则 的值为（        ）

A．1 B．－5 C．－6 D．－7

【答案】A

【思路点拨】三个式子相加，化成完全平方式，得出 的值，代入计算即可．

【规范解答】解：∵ ，

∴（a²+2b）+（b²-2c）+（c²-6a）=7+（-1）+（-17），

∴a²+2b+b²-2c+c²-6a=-11

∴（a²-6a+9）+（b²+2b+1）+（c²-2c+1）=0，

∴（a-3）²+（b+1）²+（c-1）²=0

∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，

∴a+b-c=3-1-1=1．

故选：A．

【考点评析】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出 的值，准确进行计算．

8．(本题2分)（江苏·七年级专题练习）已知 ，mn=12，则 的值为（   ）

A．-84 B．84 C． D．300

【答案】C

【思路点拨】根据 ，mn=12，利用完全平方公式变形求出 ， ，再分情况求出答案.

【规范解答】∵ ，mn=12，

∴ = = ，

∴ ， ，

当m-n=1，m+n=7时， = =mn（m+n）（m-n）= ；

当m-n=1，m+n=-7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 （-7） 1=-84；

当m-n=-1，m+n=7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 7 （-1）=-84；

当m-n=-1，m+n=-7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84；

故选：C.

【考点评析】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题.

9．(本题2分)（广东深圳·校考一模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝2²﹣0²，12＝4²﹣2²，20＝6²﹣4²，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ）

A．56 B．60 C．62 D．88

【答案】B

【思路点拨】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）²-（2m）²=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．

【规范解答】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），

∴“神秘数”=（2m+2）²-（2m）²=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，

A、若4(2m+1)=56，解得m= ，错误；

B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；

C、若4(2m+1)=62，解得m= ，错误；

D、若4(2m+1)=88，解得m= ，错误；

故选：B．

【考点评析】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．

10．(本题2分)（江苏苏州·七年级校考阶段练习）下列四个多项式，可能是2x²＋mx－3 (m是整数)的因式的是

A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x²－1

【答案】B

【思路点拨】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.

【规范解答】解：根据2x²+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x²+mx-3分解．

2x²+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；

故选：B.

【考点评析】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.

评卷人 得分

二、填空题(共20分)

11．(本题2分)（湖南湘潭·七年级统考期末）若 ，则 的值为______．

【答案】18

【思路点拨】先进行因式分解，然后整体代入计算即可．

【规范解答】解：

=

= ；

将 整体代入 = ．

【考点评析】本题考查了代数式求值、因式分解，熟练掌握完全平方公式整体代入是解题关键．

12．(本题2分)（湖南长沙·七年级校联考阶段练习）分解因式： ______ ．

【答案】

【思路点拨】先利用乘法公式展开、合并得到原式 ，再进行分组得到完全平方公式，所以原式 ，然后再把括号内分组分解即可．

【规范解答】解：原式

．

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．

13．(本题2分)（浙江杭州·七年级校联考期中）有下列说法：

①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②无论 取任何实数，多项式 总能分解成两个一次因式积的形式；

③已知二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则a的值是2；

④若 ， ，则 ；

其中正确的说法是_________．

【答案】①

【思路点拨】利用平行公理对①判断；利用平方差公式的特点对②分析；③解方程组 求得x、y的值，代入 即可求得a的值；④利用幂的乘方，完全平方公式即可求解．

【规范解答】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；

②当k为负值时，多项式 不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；

③解方程组 ，得 ，

把 代入 得： ，

解得： ，故本选项不正确；

④∵ ，

∴ ，

∴ ，故本选项不正确；

综上正确的说法是①．

故答案为：①．

【考点评析】本题考查了平行公理、因式分解、二元一次方程组的解以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．

14．(本题2分)（江苏盐城·七年级校考期中）已知正整数a，b，c（其中 ）满足 ，则 的最小值是__________．

【答案】7

【思路点拨】由已知 可化为 ，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数且最大值只能取4，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．

【规范解答】解：∵ ，

∴ ，

即 ，

因为a、b、c都是正整数，

所以当a＝2，b＝1，c＝5时，a＋b＋c＝8，

当a＝2，b＝2，c＝3时，a＋b＋c＝7，

当a＝2，b＝3，c＝2时，a＋b＋c＝7，

当a＝4，b＝1，c＝3时，a＋b＋c＝8，

所以则a＋b＋c的最小值是 7，

故答案为：7．

【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．

15．(本题2分)（浙江宁波·七年级统考期末）已知 ，则 的值是__________．

【答案】

【思路点拨】根据完全平方公式求出 ， ，进而得出 或 ，再将原式进行化简，整体代入计算即可．

【规范解答】解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或 ，

∴原式

，

当 时，原式 ；

当 时，原式 ；

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了完全平方公式的变形，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．

16．(本题2分)（浙江杭州·七年级校考期中）已知 ， ，那么 ______， ______．

【答案】     -1     0

【思路点拨】由条件可以变形为 ，因式分解从而可以求出其值； ，可以得出 ， ．所以 从而得出结论．

【规范解答】解：∵ ， ，

∴

∴ ，

∴ ，

∴

∴

∵m≠2n，

∴

∴m＋2n＝−1；

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∴ ．

故答案是：−1；0．

【考点评析】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．

17．(本题2分)（湖南株洲·七年级统考期末）若实数a，b满足 ，则代数式 的值为_______________．

【答案】6．

【思路点拨】将所求代数式中的 因式分解，再把 代入，化简即可．

【规范解答】解： ，

把 代入得 ，

再把 代入得 ；

故答案为：6．

【考点评析】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．

18．(本题2分)（江苏·七年级专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式： ______．

【答案】 ．

【思路点拨】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．

【规范解答】解：由面积可得： ．

故答案为 ．

【考点评析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．

19．(本题2分)（安徽安庆·七年级校考期中）在学习对二次三项式x²+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是_________．

【答案】(x+2)(x－6)

【思路点拨】小明看错了a的值，将分解结果（x+4）（x-3）展开，则可确定b；小红看错了b的值，将分解结果（x+1）（x-5）展开，则可确定a；然后将a、b代入因式分解即可．

【规范解答】解：∵小明看错了a的值，分解的结果为（x+4）（x-3）=x²+x-12，

∴b=-12

∵小红看错了b的值，分解的结果是（x+1）（x-5）=x²-4x-5

∴a=-4

∴x²+ax+b=x²-4x-12=（x+2）（x-6）．

【考点评析】本题主要考查了二次三项式的分解因式，解题的关键在于根据题意确定正确的a和b．

20．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）计算： ________.

【答案】

【思路点拨】原式利用平方差公式分解，约分即可得到结果．

【规范解答】解：原式

=

= ，

故答案为

【考点评析】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

评卷人 得分

三、解答题(共60分)

21．(本题8分)（湖南永州·七年级校考期中）因式分解：

(1) ；

(2) ．

【答案】(1)

(2)

【思路点拨】（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

（2）先提公因式 ，再利用平方差公式进行因式分解即可．

【规范解答】（1）解：原式

；

（2）原式

．

【考点评析】本题主要考查了因式分解的知识，解题关键是综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．

22．(本题8分)（江苏·七年级专题练习）阅读：把多项式 分解因式得 ，由此对于方程 可以变形为 ，解得 或 ．

观察多项式 的因式 、 ，与方程 的解 或 之间的关系．可以发现，如果 、 是方程 的解，那么 、 是多项式 的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．

例如：对于多项式 ．观察可知，当 时， ．则 ，其中 为整式，即 是多项式 的一个因式．若要确定整式 ，则可用竖式除法：

∴ ．

填空：

(1)分解因式： ______；

(2)观察可知，当 ______时， ，可得______是多项式 的一个因式．

分解因式： ______．

(3)已知： ，其中 为整式，则分解因式： ______．

【答案】(1)

(2)1； ；

(3)

【思路点拨】（1）通过得出方程的根，即可求解；

（2）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到；

（3）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到．

【规范解答】（1）解： ，

故答案为： ；

（2）解：当 时， ，可得 是多项式 的一个因式，通过竖式除法得：

，

故答案为：1； ； ．

（3）解： ，

为整式，

通过竖式除法得： ，

，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握通竖式除法的运算法则，进行计算即可得到．

23．(本题8分)（浙江杭州·七年级校考期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．

(1)试说明： 、 取任何实数时，多项式 的值总为正数；

(2)分解因式： ；

(3)已知实数 ， 满足 ，求 的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【思路点拨】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；

（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；

（3）先表示出 ，再表示出 ，再利用配方法求解即可．

（1）

解：

=

= ，

∵ ， ，

∴x，y取任何实数时，多项式 的值总为正数；

（2）

解：

=

=

= ；

（3）

解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴当a=2时，a+b有最小值为 1，

∴a+b的最小值为 1．

【考点评析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键．

24．(本题8分)（四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如 的二次三项式 或其一部分 配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．

例如： 、 、 是 的三种不同形式的配方 即“余项”分别是常数项、一次项、二次项 ．

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；

(2)已知 ， ，求 的值；

(3)当 ， 何值时，代数式 取得最小值，最小值为多少？

【答案】(1)第一种： ；第二种： ；第三种：

(2)

(3)16

【思路点拨】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；

（2）将 配方，根据平方的非负性可得 和 的值，可解答；

（3）首先把已知等式变为 ，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．

（1）

解：第一种： ；

第二种： ；

第三种： ；

（2）

， ，

，

，

，

， ，

；

（3）

，

，

，

，

，

解得 ．

当 ， 时，代数式 的最小值是 ．

【考点评析】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．

25．(本题8分)（辽宁铁岭·七年级统考期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．

(1) _______， __________（用含a、b的代数式分别表示）；

(2)利用（1）的结果，说明 、 、 的等量关系：

(3)应用所得的公式计算：

(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明 、 、 三者的等量关系．

【答案】(1) ；

(2)

(3)

(4)

【思路点拨】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论．

（2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到 ．

（3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论．

（4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到 、 、ab三者的等量有关系．

（1）

解：由题意可得： ； ，

故答案为： ； ；

（2）

∵图甲与图乙的面积相等，

∴ 、 、 的等量关系为： ；

（3）

；

（4）

如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．

图②中大正方形的面积为： ，

图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为： ，

∴

【考点评析】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键．

26．(本题10分)（浙江·七年级期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．

（1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；

（2）请通过拼图的方式画出一个面积为 的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；

（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？

【答案】(1) ；（2）画图见解析， ；（3）266．

【思路点拨】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；

(2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；

(3)根据题意列出方程，求出 即可．

【规范解答】解：(1)用面积和差计算得： ；

用长方形面积公式计算得： ；

可得等式为： ；

(2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：

根据面积公式可得， ；

(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则 ，

解得， ，

∴ ，即 ，

图1中小长方形的面积为24，则 ，

则 ，

；

拼成的长方形面积是266．

【考点评析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．

27．(本题10分)（浙江杭州·七年级期末）发现与探索：

（1）根据小明的解答将下列各式因式分解

小明的解答：

①

②

③

（2）根据小丽的思考解决下列问题：

小丽的思考：代数式 无论 取何值 都大于等于0，再加上4，则代数式 大于等于4，则 有最小值为4．

①说明：代数式 的最小值为 ．

②请仿照小丽的思考解释代数式 的最大值为8，并求代数式 的最大值．

【答案】（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28

【思路点拨】（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；

（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．

【规范解答】解：（1）①a²-12a+20

=a²-12a+36-36+20

=（a-6）²-4²

=（a-10）（a-2）；

②（a-1）²-8（a-1）+7

=（a-1）²-8（a-1）+16-16+7

=（a-5）²-3²

=（a-8）（a-2）；

③a²-6ab+5b²

=a²-6ab+9b²-9b²+5b²

=（a-3b）²-4b²

=（a-5b）（a-b）；

（2）①a²-12a+20

=a²-12a+36-36+20

=（a-6）²-16，

无论a取何值（a-6）²都大于等于0，再加上-16，

则代数式（a-6）²-16大于等于-16，

则a²-12a+20的最小值为-16；

②无论a取何值-（a+1）²都小于等于0，再加上8，

则代数式-（a+1）²+8小于等于8，

则-（a+1）²+8的最大值为8，

-a²+12a-8．

=-（a²-12a+8）

=-（a²-12a+36-36+8）

=-（a-6）²+36-8

=-（a-6）²+28

无论a取何值-（a-6）²都小于等于0，再加上28，

则代数式-（a-6）²+28小于等于28，

则-a²+12a-8的最大值为28．

【考点评析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．