专题07 整式的除法

评卷人 得分

一、选择题(每题2分，共20分)

1．(本题2分)（七年级课时练习）若 ，则 ， 的值分别为(   )

A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，1

【答案】C

【思路点拨】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则得出关于m，n的等式，进而得出答案．

【规范解答】解：

，

则 ， ，

解得： ， ．

故选：C

【考点评析】此题主要考查了积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

2．(本题2分)（陕西咸阳·七年级校联考期中）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路点拨】根据单项式除单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式进行计算，然后进行判断即可．

【规范解答】A、 ，原选项错误；

B、 ，原选项错误；

C、 ，原选项错误；

D、 ，原选项正确；

故选：D．

【考点评析】本题考查单项式除单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

3．(本题2分)（广东深圳·七年级统考期末）下列运算正确的是（　　）

A．x²+x³＝x⁵ B．（x+1）（x﹣2）＝x²+x﹣2

C．（1+2x）（2x﹣）＝1﹣4x² D．﹣3a³÷a⁴＝﹣

【答案】D

【思路点拨】由x²与x³不是同类项，不能合并，可判断A选项；（x+1）（x﹣2）＝x²﹣2x+x﹣2＝x²﹣x﹣2，可判断B选项；（1+2x）（2x﹣1）＝4x²﹣1，可判断C选项；﹣3a³÷a⁴＝﹣3a^﹣1＝﹣ ，可判断D选项．

【规范解答】解：对于A选项，x²与x³不是同类项，不能合并，

故A选项错误，不符合题意；

对于B选项，（x+1）（x﹣2）＝x²﹣2x+x﹣2＝x²﹣x﹣2，

故B选项错误，不符合题意；

对于C选项，（1+2x）（2x﹣1）＝（2x）²﹣1²＝4x²﹣1，

故C选项错误，不符合题意；

对于D选项，﹣3a³÷a⁴＝﹣3a^﹣1＝﹣ ，

故D选项正确，符合题意．

故选：D．

【考点评析】本题考查合并同类项、多项式乘多项式、平方差公式、整式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4．(本题2分)（福建厦门·七年级厦门双十中学校考期中）将一正方形按如图方式分成 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则 的值为（    ）

A．12 B．16 C．18 D．20

【答案】C

【思路点拨】设长方形的长为a，宽为b，根据大正方形的四条边都相等列出方程得到a、b的关系，然后求出中间竖排的长方形的个数，再加上、下横排的长方形即可．

【规范解答】解：设长方形的长为a，宽为b，

根据题意得，2a+2b=3a，

整理得，a=2b，

∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=（3×2b）÷b=6，

∴n=3×2+6×2=6+12=18．

故选：C．

【考点评析】本题是对图形变化规律的考查，根据正方形的边长列式求出长方形的长与宽的关系是解题的关键．

5．(本题2分)（河北邯郸·七年级统考阶段练习）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路点拨】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式以及单项式除以单项式运算法则计算出各项结果，再进行判断即可．

【规范解答】解：A. 与 不是同类项不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；

B. ，故此选项计算错误，不符合题意；

C. ，故此选项计算错误，不符合题意；

D. ，计算正确，符合题意，

故选D

【考点评析】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

6．(本题2分)（七年级课时练习）如图是小明的作业，那么小明做对的题数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【思路点拨】（1）根据同底数幂乘法的逆运用，然后整体代入求值即可；

（2）根据积的乘方的逆运用，变形为将0.125与8相乘积的2020次幂计算即可；

（3）利用多项式除以单项式法则运算即可；

（4）利用积的乘方法则计算即可；

（5）利用多项式乘以多项式运算法则计算即可．

【规范解答】解：（1）∵ ，

故（1）计算正确；

（2） ，

故（2）计算正确；

（3） ，

故（3）计算不正确；

（4） ，

故（4）计算不正确；

（5） ，

故（5）计算不正确．

故选择A．

【考点评析】本题考查同底数幂的乘方逆用法则，积的乘方逆用法则，同底数幂乘方逆用，多项式除以单项式，多项式乘以多项式，掌握同底数幂的乘方逆用法则，积的乘方逆用法则，同底数幂乘方逆用，多项式除以单项式，多项式乘以多项式是检查作业的关键．

7．(本题2分)（山东青岛·七年级统考期中）下列计算正确的是（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【思路点拨】根据整式的运算法则进行计算判断即可．

【规范解答】解：A、 ，错误；

B、 ，正确；

C、 ，错误；

D、 ，错误，

故选：B．

【考点评析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、合并同类项、整式的乘除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．

8．(本题2分)（广东深圳·七年级校考阶段练习）如果一个单项式与 的积为 ，则这个单项式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路点拨】把单项式的积转化为单项式的除法计算即可．

【规范解答】设这个单项式为 ，

由题意得， ，

，

故选： ．

【考点评析】本题考查了单项式的乘法，单项式的除法，熟记运算的法则是解题的关键．

9．(本题2分)（四川巴中·七年级四川省巴中中学校考期中）下列运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路点拨】根据整式运算法则和乘法公式逐项计算，然后判断即可．

【规范解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；

B. ，原选项错误，不符合题意；

C. ，原选项错误，不符合题意；

D. ，原选项正确，符合题意；

故选：D．

【考点评析】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行计算．

10．(本题2分)（甘肃张掖·七年级校考期末）下列计算正确的是（　　）

A．x²+3x²=4x⁴ B．x²y•2x³=2x⁴y C．（6x²y²）÷（3x）=2x² D．（﹣3x）²=9x²

【答案】D

【思路点拨】直接利用合并同类项法则以及结合单项式乘以单项式和整式除法运算法则分别化简得出答案．

【规范解答】解：A、x²+3x²=4x²，故此选项错误；

B、x²y•2x³=2x⁵y，故此选项错误；

C、（6x³y²）÷（3x）=2x²y²，故此选项错误；

D、（-3x）²=9x²，正确．

故选：D．

【考点评析】此题主要考查了合并同类项以及结合单项式乘以单项式和整式除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

评卷人 得分

二、填空题(每题2分，共20分)

11．(本题2分)（七年级课时练习）已知 ， 是多项式，在计算 时，小马虎同学把 看成了 ，结果得 ，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出 的值为______．

【答案】

【思路点拨】根据题意得出 ，即可求出多项式 ，进而求出 ．

【规范解答】解： ， ，

，

，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，解题的关键是得出多项式 ．

12．(本题2分)（七年级课时练习）[（x+y）²-y（2x+y）-8x]÷（2x）=_____________________.

【答案】

【思路点拨】先计算平方，单项式乘多项式，再合并同类项，最后做除法．

【规范解答】

．

故答案为： ．

【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握整式混合运算的顺序与每种运算的法则．

13．(本题2分)（全国·七年级专题练习）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“ （3x﹣■+1）＝ ”那么“■”中的一项是 _____．

【答案】

【思路点拨】利用多项式除以单项式法则计算 即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可．

【规范解答】解：∵

即 ，

∴“■”中的一项是2y．

故答案为：2y．

【考点评析】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

14．(本题2分)（七年级单元测试）若一个长方形的面积是 ，一边长是2a，则这个长方形的周长是______．

【答案】 ##-2+8a

【思路点拨】由长方形的面积公式，求得长方形的另一边长，即可求得长方形的周长．

【规范解答】解：∵长方形的面积是 ，一边长是2a，

∴另一边： ，

∴长方形的周长： ，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了多项式除以单项式及整式的加法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．

15．(本题2分)（陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）从1~9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个三位数．先把这六个三位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和，其结果是______．

【答案】222

【思路点拨】先设出这三个数，再将这六个数表示出来，然后相加除以该三位数字的和即可．

【规范解答】解：设这三个数分别为 ，

由这三个数字组成的六个三位数分别为： ， ， ， ， ， ；

∴这六个数的和为： ；

∴ ，

故答案为：222．

【考点评析】本题考查了整式的应用，涉及到了整式的加法和除法运算，解题关键是正确表示出六个三位数，并求出它们的和．

16．(本题2分)（七年级课时练习）已知 ，则 的值是___．

【答案】14

【思路点拨】根据题意可得 ，将已知等式两边同时除以 ，得到 ，进而根据完全平方公式的变形即可求解．

【规范解答】解： ，且由题意可得 ，

，

，

原式 ，

故答案为：14

【考点评析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．

17．(本题2分)（福建宁德·七年级统考期中）用篱笆围一个面积为 的长方形花圃，其中一边长为 ，则另一边的长为______．

【答案】 ；

【思路点拨】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边．

【规范解答】解：∵长方形面积是 ，一边长为 ，

∴它的另一边长是：（ ）÷ = ．

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了整式的除法，依据长方形面积公式，边长乘以边长，而求边长即为面积除以其中一个边长而得．

18．(本题2分)（全国·七年级专题练习）地球的体积约为10¹²立方千米，太阳的体积约为1.4×10¹⁸立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）

【答案】7.1×10^-7

【思路点拨】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．

【规范解答】∵地球的体积约为10¹²立方千米，太阳的体积约为1.4×10¹⁸立方千米，

∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：10¹²÷(1.4×10¹⁸)≈7.1×10^-7．

故答案是：7.1×10^-7．

【考点评析】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．

19．(本题2分)（浙江杭州·模拟预测）若 ，则 ______．

【答案】

【思路点拨】将a看作已知数，利用加减消元法求出b、c的值（用a表示），再代入求值即可得．

【规范解答】 可变形为 ，

由① ②得： ，解得 ，

由① ②得： ，解得 ，

则 ，

，

，

，

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了三元一次方程组、整式的混合运算，正确将b、c用a表示出来是解题关键．

20．(本题2分)（七年级单元测试）已知多项式 除以多项式 得商式为 ，余式为 ，则多项式 为______．

【答案】

【思路点拨】根据被除式减去余式，然后除以商式，就可以得到除式，列出式子，进行计算即可求解．

【规范解答】解：由题意可得：

=

=

=

故答案为： .

【考点评析】本题考查被除式，除式，商式及余是的关系，同时也考查整式加减运算和多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是本题的解题关键.

评卷人 得分

三、解答题(共60分)

21．(本题6分)（全国·七年级专题练习）计算：

(1) ；

(2) ．

【答案】(1) ；

(2) ．

【思路点拨】（1）直接利用整式的乘除法运算法则计算得出答案；

（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．

【规范解答】（1）

．

（2）

．

【考点评析】本题考查多项式除以单项式，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．

22．(本题6分)（七年级课时练习）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ；

【思路点拨】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式计算括号内的，然后根据除多项式以单项式进行计算化简，最后将 ，代入即可求解．

【规范解答】解：

；

∵ ，

，

∴原式 ．

【考点评析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．

23．(本题8分)（七年级课时练习）先化简，再求值：

，其中 ， ．

【答案】 ，

【思路点拨】利用完全平方公式、平方差公式、整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．

【规范解答】解：

，

当 ， 时，

原式 ．

【考点评析】本题考查整式的混合运算及求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握整式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．

24．(本题8分)（七年级课时练习）计算：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【思路点拨】各小题直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．

【规范解答】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

；

（4）解：

．

【考点评析】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．

25．(本题8分)（七年级课时练习）解决下列问题．

(1)先化简，再求值： ，其中 ， ．

(2)若关于 的代数式 ，展开后的常数项为2，且不含 项，求 的值．

【答案】(1) ，

(2)

【思路点拨】（1）运用平方差公式和整式的乘法展开后合并，最后运算除法解题即可；

（2）按照多项式乘以多项式的法则展开合并，根据题意列出关于 的方程解题即可．

【规范解答】（1）解：

，

，

当 ， 时，

原式 ；

（2）解：

，

，

∵展开后的常数项为2，且不含 项，

∴

即

【考点评析】本题考查整式的乘除，熟练运用法则进行计算是解题的关键．

26．(本题8分)（四川成都·七年级统考期末）（1）先化简，再求值：[（2x﹣y）²﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y²]÷x，其中x＝2，y＝﹣3；

（2）已知a为常数，关于x的代数式(x²﹣3x＋2)(x²＋ax)的化简结果中不含x³项，且（m﹣2）²＋|n﹣3|＝0，求am^﹣n的值

【答案】（1）3x−4y；18；（2）

【思路点拨】（1）整式的混合运算，先算括号里的，分别用完全平方公式平方差公式，然后合并同类项，最后计算除法，最后代入求值即可；

（2）用多项式乘法展开，根据化简结果中不含x³项，则其系数为0，可求得a的值，根据平方和绝对值的非负性确定m、n的值，代入求解即可．

【规范解答】（1）[（2x﹣y）²﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y²]÷x

当x=2，y=−3时，原式=3×2−4×(−3)=18

（2）（x²﹣3x＋2）（x²＋ax）

由题意，得：a−3=0    

解得：a=3

∵（m﹣2）²≥0，|n﹣3|≥0，且（m﹣2）²＋|n﹣3|＝0

∴（m﹣2）²=0，|n﹣3|＝0

∴m−2=0，n−3=0

∴m=2，n=3

∴

【考点评析】本题考查整式的混合运算，负整数指数幂的意义，掌握运算顺序和计算法则是解题的关键．

27．(本题8分)（江苏宿迁·七年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ，

【思路点拨】利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【规范解答】原式 ，

当 时，原式 ．

【考点评析】此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

28．(本题8分)（四川广元·七年级校考期中）计算

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【思路点拨】（1）根据单项式乘以多项式法则计算即可；

（2）先分别计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，再计算加减法即可；

（3）利用多项式除以单项式法则计算即可；

（4）根据平方差公式计算即可．

【规范解答】（1）解： ；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【考点评析】此题考查了整式的混合运算和实数的混合运算，正确掌握和运算法则及运算顺序是解题的关键．