专题07乘法公式压轴题五种模型全攻略

【类型一展开式是完全平方式问题】

例1．（重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x，y的多项式x²﹣2kxy+16y²是完全平方式，则k＝_____．

【答案】4或-4

【解析】

【分析】

根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．

【详解】

解：∵ ，

∴ ，

解得：k＝±4．

故答案为：4和−4．

【点睛】

本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．

【变式训练1】（河南驻马店·七年级阶段练习）已知x²﹣2ax+9是完全平方式，则a＝______．

【答案】±3

【解析】

【分析】

将代数式化为完全平方和常数项的形式，令常数项为0求a；

【详解】

解：原式= x²﹣2ax+a²－a²＋9=（x－a）²－a²＋9，

令－a²＋9=0，解得：a=±3，

故答案为：±3

【点睛】

本题考查完全平方公式的运用，牢记完全平方公式 是解题关键．

【变式训练2】（山东·肥城市边院镇过村初级中学期末）若4x²-（k-2）x+25是一个完全平方式，则k的值为______．

【答案】-18或22##22或-18

【解析】

【分析】

根据完全平方公式的特征可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得： ，

解得： 或 ；

故答案为-18或22．

【点睛】

本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

【变式训练3】（陕西西安·八年级阶段练习）若4x²+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k＝_____．

【答案】13或﹣11##﹣11或13

【解析】

【分析】

这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍，故k﹣1＝±12，可求出答案．

【详解】

解：由于（2x±3）²＝4x²±12x+9＝4x²+（k﹣1）x+9，

则k﹣1＝±12，

k＝13或﹣11．

故答案为：13或﹣11．

【点睛】

本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．

【变式训练4】（湖北十堰·八年级期末）若 是完全平方式，则 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用完全平方公式判断即可确定出 的值．

【详解】

解：由题意知， ，

．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．

【类型二利用乘法公式化简求值问题】

例2.（福建漳州·八年级期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）²+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝ ．

【答案】x-2y，-3

【解析】

【分析】

根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．

【详解】

解：原式=（x²-4xy+4y²+x²-4y²）÷2x

=（2x²-4xy）÷2x

=x-2y，

当x=-2，y= 时，

原式=-2-2×

=-2-1

=-3．

【点睛】

本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．

【变式训练1】（山东青岛·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】 ，

【解析】

【分析】

由平方差公式、完全平方公式，整式的加减乘除运算进行化简，然后把 ， 代入计算，即可求出答案．

【详解】

解：

=

=

=

= ；

当 ， 时，

原式= ；

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，整式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．

【变式训练2】（山东枣庄·七年级阶段练习）化简和化简求值

(1)（2x+y）²+（x+2y）²﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），

(2)（x﹣2）²﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中

【答案】(1)﹣2xy+y²

(2)x²+3，3

【解析】

【分析】

（1）直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，进而得出答案；

（2）直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．

(1)

解：原式＝4x²+4xy+y²+x²+4y²+4xy﹣x²﹣xy﹣2（2x²+xy+4xy+2y²）

＝4x²+4xy+y²+x²+4y²+4xy﹣x²﹣xy﹣2（2x²+5xy+2y²）

＝4x²+4xy+y²+x²+4y²+4xy﹣x²﹣xy﹣4x²﹣10xy﹣4y²

＝﹣2xy+y²；

(2)

原式＝x²﹣4x+4﹣4x²+4x+4x²﹣1

＝x²+3，

当x 时，

原式＝（ ）²+3

＝3 ．

【点睛】

本题考查整式化简求值．熟练掌握整式的混合运算法则，乘法公式是解题的关键

【变式训练3】（辽宁锦州·七年级期中）先化简，再求值： ，其中x＝－1，y＝1．

【答案】 ，-9

【解析】

【分析】

首先进行整式的乘法和除法，然后进行加减运算，再代入数值求出结果．

【详解】

解：原式 ，

当x＝－1，y＝1时，原式＝－9．

【点睛】

本题考查整式的化简求值，首先进行整式的混合运算，再把数值代入化简后的式子求值，运算中注意乘法公式的应用．

【变式训练4】（海南海口·八年级期末）计算

(1) ；

(2) ；

(3)先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】(1)

(2)

(3) ，

【解析】

【分析】

（1）根据整式的混合运算化简即可；

（2）根据完全平方公式和平方差公式化简即可；

（3）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式化简，再根据多项式除以单项式化简，再将字母的值代入求解即可．

(1)

(2)

(3)

当 ， 时，原式

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．

【类型三利用完全平方配方求最值问题】

例3．（四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 及 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x²+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝(x+2)²+1．

∵(x+2)²≥0，

∴当x＝﹣2时，(x+2)²的值最小，最小值是0，

∴(x+2)²+1≥1

∴当(x+2)²＝0时，(x+2)²+1的值最小，最小值是1，

∴x²+4x+5的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题：

（1）当x＝时，代数式x²﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多项式 的最大(小)值时，我们可以这样处理：

解：原式= ，因为无论x取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是 ，所以当 时，原多项式的最小值是−22．

解决问题：请根据上面的解题思路，探求：

（2）多项式 的最小值是多少，并写出对应的x的取值．

（3）多项式 的最大值是多少，并写出对应的x的取值．

【答案】（1）3，3；（2）最小值是12， 的值为1．（3）最大值是7， 的值为 ．

【解析】

【分析】

（1）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．

（2）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．

（3）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．

【详解】

解：（1） ，

∵ ，

∴当 时， 的值最小，最小值是0，

∴ ，

∴当 时， 的值最小，最小值是3，

∴ 的最小值是3，

故答案为：3，3；

（2）原式= ，

因为无论x取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是 ，所以当 时，原多项式的最小值是12；

（3）原式= ，

因为无论x取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，

进而 的最大值是 ，所以当 时，原多项式的最大值是7．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的值恒为非负数的特点以及不等式的性质．

【变式训练1】（云南曲靖·八年级期末）阅读下列材料，并回答后面的问题：

数学课上，李老师在求代数式 的最小值时，利用公式 ，对式子作如下变形：

解：

∵

∴

∴当 时，代数式 的最小值是－7

通过阅读，求代数式 的最小值．

【答案】－2

【解析】

【分析】

把原式用完全平方公式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．

【详解】

x²－6x+7

=x²－6x+9－2

=（x²－6x+9）－2

=（x－3）²－2，

∵（x－3）²≥0，

∴（x－3）²－2≥－2，

当x=3时，代数式x²－6x+7的最小值为－2．

【点睛】

此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

【变式训练2】（河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：

在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？

小丽：能．求解过程如下：因为 ，

因为 ，所以 的最小值是 ．

问题：

（1）小丽的求解过程正确吗？

（2）你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程；

（3）求 的最大值．

【答案】（1）正确；（2）能，最小值为-11，见解析；（3）4.

【解析】

【分析】

（1）根据配方法，将 配方成 ，进一步即可进行判断；

（2）利用配方法解题；

（3）先将二次项系数化为1，再利用配方法将整式化简，最后根据平方的非负性解题．

【详解】

解：（1）小丽的求解过程正确；

（2） =         

∵ ，

∴ 的最小值为 ；

（3）

=

=

∵ ，

∴ 的最大值为4.

【点睛】

本题考查配方法求最值，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

【变式训练3】（湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）²＝a²±2ab+b²的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x²+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1

∵（x+2）²≥0，

∴当x＝﹣2时，（x+2）²的值最小，最小值是0，

∴（x+2）²+1≥1

∴当（x+2）²＝0时，（x+2）²+1的值最小，最小值是1，

∴x²+4x+5的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题

（1）知识再现：当x＝　　时，代数式x²﹣6x+12的最小值是　　；

（2）知识运用：若y＝﹣x²+2x﹣3，当x＝　　时，y有最　　值（填“大”或“小”），这个值是　　；

（3）知识拓展：若﹣x²+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．

【答案】（1）3，3；（2）1，大，−2；（3）y＋x的最小值为−6

【解析】

【分析】

（1）配方后即可确定最小值；

（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；

（3）首先得到有关x＋y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．

【详解】

解：（1）∵x²−6x＋12＝（x−3）²＋3，

∴当x＝3时，有最小值3；

故答案为：3，3；

（2）∵y＝−x²＋2x−3＝−（x−1）²−2，

∴当x＝1时有最大值−2；

故答案为：1，大，−2；

（3）∵−x²＋3x＋y＋5＝0，

∴x＋y＝x²−2x−5＝（x−1）²−6，

∵（x−1）²≥0，

∴（x−1）²−6≥−6，

∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6．

【点睛】

考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．

【变式训练4】（湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．

小明在学习完全平方公式a²±2ab+b²＝（a±b）²时，代数式（a±b）²的值具有非负性（即该式的值总是正数或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x²+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：

解：x²+6x﹣1＝x²+6x+9﹣10

＝（x²+6x+9）﹣10

＝（x+3）²﹣10．

因为无论x取什么数，都有（x+3）²的值为非负数，所以（x+3）²的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）²﹣10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．

解决问题：

（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x²﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；

（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x²﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．

【答案】（1）当x＝2时，原多项式的最小值是3；（2）当x＝﹣1时，原多项式的最大值是6

【解析】

【分析】

（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；

（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．

【详解】

【解：（1）x²﹣4x+7＝（x²﹣4x+4）+3

＝（x﹣2）²+3．

∴当x＝2时，原多项式的最小值是3；

（2）﹣x²﹣2x+5＝﹣（x²+2x+1﹣1）+5

＝﹣（x²+2x+1）+1+5

＝﹣（x+1）²+6．

∴当x＝﹣1时，原多项式的最大值是6．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.

【类型四平方差公式在几何图形中的应用】

例4.（广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是________________（请选择正确的一个）

A.a²－2ab＋b²＝（a－b）²B.a²－b²＝（a＋b）（a－b）

C.a²＋ab＝a（a＋b）D.a²－ab＝a（a－b）

(2)若x²－9y²＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；

(3)计算：（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）．

【答案】(1)B

(2)3

(3)

【解析】

【分析】

（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．

（2）利用平方差公式计算即可．

（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．

(1)

∵边长为a的正方形面积是a²，边长为b的正方形面积是b²，剩余部分面积为a²－b²；图（2）长方形面积为（a＋b）（a－b）；

∴验证的等式是a²－b²＝（a＋b）（a－b）

故答案为：B．

(2)

∵x²－9y²＝（x＋3y）（x－3y）＝12，且x＋3y＝4

∴x－3y＝3

(3)

（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）

＝（1＋ ）（1－ ）（1＋ ）（1－ ）…（1＋ ）（1－ ）

＝ ×

＝

＝

【点睛】

本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

【变式训练1】（广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

(1)设图1中阴影部分面积为S₁，图2中阴影部分面积为S₂，请用含a、b的代数式表示：S₁＝　　，S₂＝　　（只需表示，不必化简）；

(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式　　；

(3)运用（2）中得到的公式，计算：2015²﹣2016×2014．

【答案】(1) ， ；

(2)平方差公式， ；

(3)1

【解析】

【分析】

（1）利用面积公式计算即可；

（2）由 ，即可得到 = ；

（3）将2016×2014利用平方差公式变形为（2015+1）×（2015-1），再计算乘法及加减法．

(1)

解： ， ，

故答案为： ， ；

(2)

解：∵ ，

∴ = ，是平方差公式，

故答案为：平方差公式， ；

(3)

解：2015²﹣2016×2014

=

=

=1．

【点睛】

此题考查了平方差公式的应用，平方差公式与几何图形的结合，正确掌握平方差公式的计算是解题的关键．

【变式训练2】（河南信阳·八年级期末）实践与探索：如图1，边长为a的大正方形里有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

(1)上述操作能验证的等式是：___________（请选择正确的一个）

A． B． C．

(2)请应用这个等式完成下列各题：

①已知 ， ，则 ____________.

②计算： .

【答案】(1)A

(2)①4；② ．

【解析】

【分析】

（1）分别求出①阴影部分的面积和②的面积，由②是由①阴影部分拼成，即①阴影部分的面积与②的面积相等，由此即可得出答案；

（2）①利用平方差公式将 ，变形为 ，再将 代入，即可求出 的值；②将9改为(10-1)，即可利用平方差公式计算．

(1)

①阴影部分的面积为 ，②的面积为 ，

由②是由①阴影部分拼成，

∴①阴影部分的面积与②的面积相等，即 ．

故选A．

(2)

①∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

故答案为：4．

②

．

【点睛】

本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，幂的乘方，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．

【变式训练3】（江西·新余四中八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）

A. ；B． ；C．

(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①己知 ， ，则 ______．

②计算：

【答案】(1)A

(2)①4；②

【解析】

【分析】

（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；

（2）①根据平方差公式，4a²-b²=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；

②先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．

(1)

解：图1阴影部分的面积为：a²-b²，

图2阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），

∵图1和图2阴影部分面积相等，

∴a²-b²=（a+b）（a-b），

故选：A；

(2)

解：①∵4a²-b²=24，

∴（2a+b）（2a-b）=24，

∵2a+b=6，

∴2a-b=4，

故答案为：4；

②

．

【点睛】

本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．

【变式训练4】（广东东莞·八年级期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　　；

（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：

①已知：a﹣b＝3，a²﹣b²＝21，求a+b的值；

②计算： ．

【答案】（1）a²-b²=（a+b）（a-b）；（2）①7；② ．

【解析】

【分析】

（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；

（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．

【详解】

解：（1）图1阴影部分的面积为a²-b²，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的等式为：a²-b²=（a+b）（a-b），

故答案为：a²-b²=（a+b）（a-b）；

（2）①∵a-b=3，a²-b²=21，a²-b²=（a+b）（a-b），

∴21=（a+b）×3，

∴a+b=7；

②

=

=

=

= ．

【点睛】

本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

【类型五完全平方公式在几何图形中的应用】

例5．（内蒙古赤峰·七年级期中）如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼图．

(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________________．

(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．

方法①________________________________________________________．

方法②________________________________________________________．

(3)观察图②，你能写出 ， ， 这三个代数式之间的等量关系吗？

(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 ． ，求 的值

【答案】(1) ；

(2)① ；② ；

(3) ；

(4)

【解析】

【分析】

（1）根据题意，得四个相同的小长方形的长 ，宽 ；再根据代数式的性质分析，即可得到答案；

（2）①根据（1）的结论， ，通过图②中阴影部分的面积=正方形 面积 四个相同的小长方形面积总和的关系式计算，即可得到答案；

②根据（1）的结论，得 ，通过计算即可得到答案；

（3）根据（2）的结论分析，即可得到答案；

（4）根据代数式和含乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案．

(1)

根据题意，四个相同的小长方形的长 ，宽

∴图②中的阴影部分的正方形的边长等于：

故答案为： ；

(2)

①如图：

根据（1）的结论，

∴正方形 面积 ，四个相同的小长方形面积    

∴四个相同的小长方形面积总和为

图②中阴影部分的面积=正方形 面积 四个相同的小长方形面积总和 ；

故答案为：

②根据（1）的结论，得

∴图②中阴影部分的面积

故答案为： ；

(3)

根据（2）的结论，得： ；

(4)

∵

∴ ．

【点睛】

本题考查了代数式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解．

【变式训练1】（重庆九龙坡·八年级期末）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b²，ab，ab，a²分别为4个小方块的面积．

(1)请用图1中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系：　　．

(2)利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a²+b²＝　　，a﹣b＝　　．

(3)若实数m、n满足（m﹣n﹣2）²+（8﹣m+n）²＝10，则（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝　　．

(4)如图2，Rt△ABC的斜边AC＝26，分别以边AB、BC为直径向△ABC的外侧作半圆，两半圆面积分别记作S₁和S₂．若△ABC的周长为60，S₁+S₂＝ ，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)25；-1

(3)78

(4)120

【解析】

【分析】

（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可；

（2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可；

（3）利用完全平方公式的变形求解即可；

（4）先根据题意得到 ， ，再由△ABC的周长为60，得到AB+BC=60-AC=34，再根据完全平方公式的变形求解即可．

(1)

解：由题意得： ，

故答案为： ；

(2)

解：∵a+b＝7，

∴ ，

又∵ab＝12，

∴ ，

∵ ，

∴ （根据图形，正值已经舍去），

故答案为：25；-1；

(3)

解：

，

∴ ，

∴ ，

∴

，

故答案为：78；

(4)

解：由题意得： ， ，

∵△ABC的周长为60，

∴AB+AC+BC=60，

∴AB+BC=60-AC=34，

∴

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．

【变式训练2】（湖南衡阳·八年级期末）完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：若a＋b＝3，ab＝1，求 的值．

解：因为a＋b＝3，ab＝1，所以 ，2ab＝2，

即可得得 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x＋y＝8， ，则xy＝______；

(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；

②若（4－x）（5－x）＝8，求 的值；

(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分面积．

【答案】(1)

(2)① ；②

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式变形求出 的值，从而求出 的值；

（2）①先求出 的值，再求出 的值；②先把要求的式子变形之后在代入求值；

（3）先设出 、 的长度，再代入题目中得到关于 、 的式子，再根据完全平方公式求出 的值，最后求出阴影部分的面积．

(1)

解：∵

∴

∵

∴

∴

(2)

解：①∵ ，

∴

∴

②∵

∴

(3)

解：设 ，

∵ ，

∴ ，

∴

∴

∵四边形 为正方形

∴

∴

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的运用，以及三角形的面积计算，熟练掌握运用完全平方公式是解答本题的关键．

【变式训练3】（河南驻马店·七年级阶段练习）阅读下列材料并解答后面的问题：完全平方公式（a±b）²＝a²±2ab+b²，通过配方可对a²+b²进行适当的变形，如a²+b²＝（a+b）²﹣2ab或a²+b²＝（a﹣b）²+2ab，从而使某些问题得到解决．

已知a+b＝5，ab＝3，求a²+b²的值．

解：a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝5²﹣2×3＝19．

(1)已知a+ ＝6．求a²+ 的值；

(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a⁴+b⁴的值．

【答案】(1)34

(2)82

【解析】

【分析】

根据所给材料完全平方公式的变形形式，对所求整式进行变形即可解题．

(1)

（1）∵（a+ ）²＝a²+ +2，

∴a²+

＝（a+ ）²﹣2

＝6²﹣2

＝34；

(2)

（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，

∴a²+b²＝（a﹣b）²+2ab

＝4+2×3

＝10，

a²b²＝9，

∴a⁴+b⁴＝（a²+b²）²﹣2a²b²

＝100﹣2×9

＝82．

【点睛】

本题主要考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式，并对其灵活变形应用是解题的关键．

【变式训练4】（福建龙岩·八年级期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）²，（a-b）²，ab之间的等量关系：______；

（2）【应用】若m+n=6，mn=5，则m-n=______；

（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）（a+b）²-（a-b）²=4ab；（2）±4；（3）图中阴影部分的面积为1300．

【解析】

【分析】

（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案；

（2）将m+n=6，mn=5代入（1）中公式即可；

（3）由正方形ABCD的边长为x，则DE=x-5，DG=x-15，得（x-5）（x-15）=300，设m=x-5，n=x-15，mn=300，得m-n=10，则S_阴影=（m+n）²=（m-n）²+4mn，代入即可．

【详解】

解：（1）由图形知，大正方形的面积为（a+b）²，中间小正方形的面积为（b-a）²，

大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，

∴（a+b）²-（a-b）²=4ab，

故答案为：（a+b）²-（a-b）²=4ab；

（2）∵（a+b）²-（a-b）²=4ab，

将m+n=6，mn=5代入得：6²-（m-n）²=4×5，

∴（m-n）²=16，

∴m-n=±4，

故答案为：±4；

（3）∵正方形ABCD的边长为x，

∴DE=x-5，DG=x-15，

∴（x-5）（x-15）=300，

设m=x-5，n=x-15，mn=300，

∴m-n=10，

∴S_阴影=（m+n）²=（m-n）²+4mn

=10²+4×300

=1300，

∴图中阴影部分的面积为1300．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．

【课后训练】

一、填空题

1．（广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）若x²＋mx＋121是一个完全平方公式，则m＝________．

【答案】±22

【解析】

【分析】

利用完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²计算即可．

【详解】

解：∵x²+mx+121是一个完全平方公式形式，

∴x²+mx+121=(x±11)²=x²±22x+121，

∴m=±22．

故答案为：±22．

【点睛】

本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

2．（重庆一中七年级阶段练习）若4x²+（m﹣2）x+9是完全平方式，则m＝______．

【答案】14或﹣10

【解析】

【分析】

根据完全平方式得出（m﹣2）x＝±2•2x•3，再求出答案即可．

【详解】

解：∵4x²+（m﹣2）x+9是完全平方式，

∴（m﹣2）x＝±2•2x•3，

即m﹣2＝±12，

解得：m＝14或﹣10，

故答案为：14或﹣10．

【点睛】

本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：a²+2ab+b²和a²﹣2ab+b²．

3．（湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）已知 ，则 的值为______．

【答案】9

【解析】

【分析】

先将 化简得到 ，然后利用完全平方公式得到 ，再将 代入求值．

【详解】

解：∵

又∵

∴

故答案为：9

【点睛】

本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．

4．（海南海口·八年级期末）已知 ， ，则 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据平方差公式进行计算即可求解．

【详解】

解：∵ ， ，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．

5．（辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）若 是完全平方式，则m＝___________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．

【详解】

解：∵ ， 是完全平方式，

∴ ，

解得： ．

故答案为：

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．（湖北·公安县教学研究中心八年级期末）已知 ， ，则 的值为________．

【答案】10

【解析】

【分析】

将 变形为 ，代入即可求得．

【详解】

解： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查完全平方差公式，掌握完全平方差公式的特点是解决本题的关键．

7．（上海同济大学实验学校期末）若代数式 的值为0，则 ______．

【答案】6

【解析】

【分析】

首先将 分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出 ， 的值，再代入计算即可．

【详解】

解： ，

，

，

， ，

， ，

．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查完全平方和与差公式，正确的理解并写出公式是解题的关键．

8．（山东烟台·期中）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一边为a，另一边长是 ______．

【答案】a+8

【解析】

【分析】

先求出剩余部分的面积为：（a+4）²﹣16＝a²+8a，再由面积相等，即可求解．

【详解】

解：∵边长为（a+4）的正方形的面积为（a+4）²，边长为4的正方形的面积为16，

∴减去正方形后剩余部分的面积为：（a+4）²﹣16＝a²+8a，

∵长方形的宽为a，

∴长方形的长为：（a²+8a）÷a＝a+8，

故答案为：a+8．

【点睛】

本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，多项式除以单项式．能够通过所给正方形和长方形的面积关系进行求解是解题的关键．

二、解答题

9．（吉林·长春市第八十七中学九年级开学考试）先化简，再求值：2b²+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）²，其中a＝ ，b＝﹣6．

【答案】 ， ．

【解析】

【分析】

先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将 的值代入计算即可得．

【详解】

解：原式

，

将 代入得：原式 ．

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．

10．（重庆一中七年级阶段练习）化简求值：|（x+2y）²﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y²|÷x，其中x，y满足：x²+y²﹣4x+6y+13＝0．

【答案】|﹣8x²+4xy|÷x；28．

【解析】

【分析】

先算乘法，再合并同类项，去掉绝对值符号，最后求出答案即可．

【详解】

解：|（x+2y）²﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y²|÷x

＝|x²+4xy+4y²﹣9x²+y²﹣5y²|÷x

＝|﹣8x²+4xy|÷x，

∵x²+y²﹣4x+6y+13＝0，

∴x²﹣4x+4+y²+6y+9＝0，

即（x﹣2）²+（y+3）²＝0，

∴x﹣2＝0，y+3＝0，

解得：x＝2，y＝﹣3，

当x＝2，y＝﹣3时，﹣8x²+4xy＝﹣32﹣24＝﹣56，

原式＝（8x²﹣4xy）÷x＝8x﹣4y＝16+12＝28．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，绝对值，整式的混合运算与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

11．（福建省福州第十六中学八年级期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】 ，-4045

【解析】

【分析】

通过乘法公式对括号的进行计算化简，然后计算除法，将 ， 代入代数式中求值即可；

【详解】

解：

．

当 ， 时，代入 中，解得

∴化简结果为 ，值为 ，

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算及代数式求值．解题的关键在于利用乘法公式进行化简．

12．（河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）化简求值： ，其中 ， ．

【答案】 ；

【解析】

【分析】

利用完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式计算得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．

【详解】

解：原式 ，

              ，

              ，

当 ， 时，原式 ．

【点睛】

本题主要考查的是整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

13．（广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：

(1)已知a²＋b²＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；

(2)若a＋ ＝3，那么a²＋ ＝_____；若a－ ＝3，那么a⁴＋ ＝_____．

【答案】(1)a＋b＝±2；a－b＝0

(2)7，119

【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可；

（2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可

(1)

解：∵a²＋b²＝2，ab＝1，

∴（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；

（a－b）²＝a²＋b²－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．

(2)

解：∵a＋ ＝3，

∴

若 a－ ＝3，

∴

故答案为：7,119

【点睛】

本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键．

14．（河南·濮阳市华龙区高级中学八年级阶段练习）（1）试说明：代数式 的值与 的取值无关．

（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】（1）见解析；（2） ．

【解析】

【分析】

（1）将代数式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并得到一个常数，可得代数式的值与 的取值无关；

（2）将代数式利用平方差公式、完全平方公式计算，进行化简后，将 ， 代入求值即可．

【详解】

（1）原式

所以，代数式的值与 的取值无关；

（2）原式

将 ， 代入得

原式 ．

【点睛】

本题主要考查了整式的混合运算及代数式求值，涉及单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式等，熟练掌握运算法则是解题的关键．

15．（贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：　　．

（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：

①已知4a²﹣b²＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　　；

②计算：200²﹣199²+198²﹣197²+…+4²﹣3²+2²﹣1²．

【答案】（1） ；（2）①4；②20100．

【解析】

【分析】

（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出 ，代入求值即可；②利用平方差公式将 写成 ，以此类推，然后化简求值．

【详解】

解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，

所以，得到公式

故答案为 ．

（2）①∵

∴

又∵2a+b＝6，

故答案为4．

②

【点睛】

本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．

16．（辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．

方法1　　；

方法2　　．

(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）²，a²+b²，àb之间的等量关系为　　；

(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a²+3ab+2b²的长方形，这个长方形相邻两边长为　　；

(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b＝6，a²+b²＝14，求ab的值；

②已知：（x﹣2020）²+（x﹣2022）²＝34，求（x﹣2021）²的值．

【答案】(1) ，

(2) =

(3)a+b，a+2b

(4)①11；②16

【解析】

【分析】

（1）方法1由图知，大正方形的边长为a+b，则可求得正方形的面积；

方法2由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的两个小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；

（2）由（1）知，可得（a+b）²，a²+b²，ab之间的等量关系；

（3）由于 ，从而可得长方形相邻两边的长；

（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab的值；

②考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1，利用（2）中的等量关系即可求得结果．

(1)

方法1   由图知，大正方形的边长为a+b，则大正方形的面积为 ；

方法2   由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，所以大正方形的面积为 ；

故答案为：方法1 ；方法2   

(2)

由（1）知： 、 均表示同一正方形的面积，所以 =

故答案为： =

(3)

由于

所以面积为a²+3ab+2b²的长方形相邻两边长为a+b，a+2b

故答案为：a+b，a+2b

(4)

①∵ =

即

∴ab=11

②∵x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1

∴

即

∴

∴

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用等知识，注意数形结合．

17．（福建泉州·八年级期末）乘法公式 给出了 、 与 的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．

(1)若 ， ，求 的值；

(2)若 满足 ，求 的值；

(3)如图，点 、 分别在正方形 的边 、 上，且 ，以 为一边作正方形 ，以 的长为边长过点 作正方形 ，若长方形 的面积是 ，求阴影部分的面积．

【答案】(1)19

(2)195

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式进行解答即可得；

（2）将 进行变形 ，进行解答即可得；

（3）根据正方形的性质得 ， ，则 ，根据边的关系得 ，根据长方形 的面积是 得 ，根据完全平方公式得 ，则 ， ，又因为 ，所以 ，即可得阴影部分的面积．

(1)

解：∵ ， ，

∴ ．

(2)

解：∵ ，

∴ ，

即 .

∴ ．

(3)

解：∵四边形 和 都是正方形，       

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ .

∴ ，

∵长方形 的面积是 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴

．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，完全平方公式与几何的综合，解题的关键是掌握完全平方公式．

18．（上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：

方法1：　　；

方法2：　　；

(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）²，a²+b²，ab之间的等量关系　　；

(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b＝5，（a﹣b）²＝13，求ab的值；

②已知（2021﹣a）²+（a﹣2020）²＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．

【答案】(1) ；

(2)

(3)① ；②-2

【解析】

【分析】

（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；

（2）由（1）直接可得关系式；

（3）①由（a-b）²=a²+b²-2ab=13，（a+b）²=a²+b²+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x²+y²=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．

(1)

方法一：∵大正方形的边长为（a+b），

∴S=（a+b）²；

方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，

∴S=b²+ab+ab+a²=a²+b²+2ab；

故答案为：（a+b）²，a²+b²+2ab；

(2)

由（1）可得（a+b）²=a²+b²+2ab；

故答案为：（a+b）²=a²+b²+2ab；

(3)

①∵（a-b）²=a²+b²-2ab=13①，

（a+b）²=a²+b²+2ab=25②，

由①-②得，-4ab=-12，

解得：ab=3；

②设2021-a=x，a-2020=y，

∴x+y=1，

∵（2021-a）²+（a-2020）²=5，

∴x²+y²=5，

∵（x+y）²=x²+2xy+y²=1，

∴2xy=1-（x²+y²）=1-5=-4，

解得：xy=-2，

∴（2021-a）（a-2020）=-2．

【点睛】

本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．

19．（广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．

(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；

(2)观察图②，写出代数式(m＋n)²，(m-n)²与mn之间的等量关系；

(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：

①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)²的值；

②若a＋ =3，求a²＋ 的值．

【答案】(1)m-n

(2)(m＋n)²=(m-n)²＋4mn

(3)①29；②7

【解析】

【分析】

(1)结合图形即可求得；

(2)根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可写出；

(3)根据(2)中关系即可分别求得．

(1)

解：图②中画有阴影的小正方形的边长(m-n)；

(2)

解：∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，

∴(m＋n)²=(m-n)²＋4mn；

(3)

解：①由(2)得：(m＋n)²=(m-n)²＋4mn；

∵m＋n=7，mn=5，

∴(m-n)²=(m＋n)²-4mn=49-20=29；

②∵a＋ =3，

∴ ．

【点睛】

本题考查完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．

20．（江西赣州·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）²，（a﹣b）²，ab之间的等量关系为　．

(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．

(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S₁+S₂＝26，求图中阴影部分面积．

【答案】(1)（a+b）²=（a-b）²+4ab

(2)m+n=2或-2

(3)图中阴影部分面积为

【解析】

【分析】

（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；

（2）由（1）得到的关系式求解即可；

（3）设AC=m，BC=n，则m+n=8，m²+n²=26，由（1）得到的关系式求解即可．

(1)

解：由图形面积得（a+b）²=（a-b）²+4ab，

故答案为：（a+b）²=（a-b）²+4ab；

(2)

解：由（1）题所得（a+b）²=（a-b）²+4ab，

∴（m+n）²=（m-n）²+4mn，

∴当mn=-3，m-n=4时，

（m+n）²=4²+4×（-3）=4，

∴m+n=2或-2；

(3)

解：设AC=m，BC=n，

则m+n=8，m²+n²=26，

又由（m+n）²=m²+2mn+n²，得

2mn=（m+n）²-（m²+n²）=64-26=38，

∴图中阴影部分的面积为： mn= ．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用．

21．（四川省渠县中学七年级开学考试）我们在求代数式 的最小值时，可以考虑用如下法求得：

解：

∵    ∴

∴ 的最小值是4．

请用上面的方法解决下面的问题：

(1)代数式 的最小值为______．

(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】(1)3

(2)当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m²．

【解析】

【分析】

（1）先把代数式配方成（m+1）²+3，再根据（m+1）²≥0，求出代数式的最小值；

（2）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．

(1)

解：m²+2m+4=m²+2m+1+3=（m+1）²+3，

∵（m+1）²≥0，

∴（m+1）²+3≥3，

∴m²+2m+4的最小值是3；

故答案为：3；

(2)

解：由题意得：S=x（20-2x）=-2x²+20x=-2（x-5）²+50，

∵（x-5）²≥0，

∴-（x-5）²≤0，

∴-（x-5）²+50≤50，

∴当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m²．

【点睛】

本题考查了非负数的性质，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

22．（云南·昆明市第三中学八年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）²＝a²±2ab+b²的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x²+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1

∵（x+2）²≥0，

∴当x＝﹣2时，（x+2）²的值最小，最小值是0，

∴（x+2）²+1≥1

∴当（x+2）²＝0时，（x+2）²+1的值最小，最小值是1，

∴x²+4x+5的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题

（1）当x＝　　时，代数式x²﹣6x+12有最小值；最小值是　　；

（2）若y＝﹣x²+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？

（3）若﹣x²+3x+y+5＝0，则y+x=　　（用含x，y的代数式表示）请求出y+x的最小值．

【答案】（1）3，3；（2）有最大值-2，此时x＝1；（3）x²-2x-5，-6．

【解析】

【分析】

（1）配方后即可确定最小值；

（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；

（3）首先得到有关x＋y的关系式，然后配方确定最小值即可；

【详解】

（1）∵x²−6x＋12＝（x−3）²＋3，

∴当x＝3时，有最小值3；

故答案为3，3．

(2) ∵y＝−x²＋2x−3＝−（x−1）²−2，

∴当x＝1时有最大值−2；

故y＝﹣x²+2x﹣3有最大值-2，此时x＝1．

(3) ∵−x²＋3x＋y＋5＝0，

∴x＋y＝x²−2x−5＝（x−1）²−6，

∵（x−1）²≥0，

∴（x−1）²−6≥−6，

∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6．

故答案为：x²−2x−5，y＋x的最小值为−6．

【点睛】

考查了完全平方公式的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．

23．（河北邢台·八年级阶段练习）观察：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和长方形EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积可表示为　　（写成平方差的形式）；

（2）将图1中的长方形ABGE和长方形EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　　（写成多项式相乘的形式）；

探究：（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得等量关系　　；

（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，则49x²﹣y²＝　　；

应用：（5）利用公式计算：（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）+ ．

【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）1

【解析】

【分析】

（1）根据图形可得阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求解；

（2）根据图形求得阴影部分的长和宽，即可求解；

（3）由题意可得（1）与（2）式相等；

（4）将代数式 写成多项式相乘的形式，即可求解；

（5）利用平法差公式进行求解即可．

【详解】

解：（1）根据图形可得阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，

即 ，

（2）由题意可得，阴影部分的长和宽分别为 、 ，则阴影部分的面积为

故答案为： ，

（3）由题意可得： ，

（4） ，

（5）

，

【点睛】

此题考查了平方差公式的证明以及应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握平方差公式．

24．（安徽蚌埠·七年级阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大长方形

(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积

方法1_________；方法2_______．

(2)观察图2，请写出代数式（a+b）²，a²+b²，ab之间的等量关系：_______；

(3)根据题（2）中的等量关系，解决下列问题：

①已知a+b＝3，a²+b²＝5，求ab的值；

②已知（2021﹣n）²+（n﹣2018）²＝7，求（2021﹣n）（n﹣2018）的值．

【答案】(1)（a+b）²；a²+b²+2ab

(2)（a+b）²＝a²+2ab+b²

(3)①2；②1

【解析】

【分析】

（1）方法1：图2是边长为 的正方形，利用正方形的面积公式可得出 ；方法2：图2可看成1个边长为 的正方形、1个边长为 的正方形以及2个长为 宽为 的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出 ；

（2）由图2中的图形面积不变，可得出 ；

（3）①由 可得出 ，将其和 a代入 中即可求出 的值；

②设 ， ，则 ，由 ，可得出 ，将其和 代入 中即可求出 的值，进而可以解决问题．

(1)

解：方法1：图2是边长为 的正方形，

；

方法2：图2可看成1个边长为 的正方形、1个边长为 的正方形以及2个长为 宽为 的长方形的组合体，

；

故答案为： ； ；

(2)

由（1）可得： ．

故答案为： ；

(3)

① ，

，

，

又 ，

；

②设 ， ，则 ，

，

，

，

，

，

即 ．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：（1）利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；（2）由图2的面积不变，找出 ；（3）利用（2）的公式求值．

25．（四川·成都市第十八中学校七年级阶段练习）阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）²+（x﹣9）²的值．

解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）²+（x﹣4）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝5²﹣2×4＝17．

请仿照上面的方法求解下列问题：

(1)若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）²+（x﹣2）²的值．

(2)（n﹣2019）²+（2020﹣n）²＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．

(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．

【答案】(1) ；

(2) ；

(3)阴影部分的面积为16

【解析】

【分析】

对于（1），先根据题中提供的方法，类比计算即可；

对于（2），根据题意可求出a²+b²＝1，a+b＝1，再将题目转化为 ，即可求出答案；

对于（3），先确定长方形EMFD的长DE＝x﹣1，宽DF＝x﹣3，因此有（x﹣1）（x﹣3）＝15，求出x的值，再代入阴影部分的面积（x﹣1）²﹣（x﹣3）²中计算即可求出结果．

(1)

设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，

∴（5﹣x）²+（x﹣2）²＝a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝3²﹣2×2＝5；

(2)

设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则（n﹣2019）²+（2020﹣n）²＝a²+b²＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，

∴ ；

(3)

由题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，

则有a﹣b＝2，

由题意得（x﹣1）（x﹣3）＝15，

即ab=15，

∴（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝4+60＝64，

∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）．

所以阴影部分的面积为：（x﹣1）²﹣（x﹣3）²＝a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，

答：阴影部分的面积为16．

【点睛】

本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键．

26．（山东淄博·期中）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．

(1)如图1所示，甲同学从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的正方形（ ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），求长方形的面积；

(2)乙同学用如图2所示的两个不同的正方形与两个相同的长方形纸片拼成了，一个如图3所示的正方形．

①用两个不同的代数式分别表示图2和图3中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；

②根据①中的结论计算：已知 ，求 的值．

【答案】(1)

(2)① ；理由见解析；②

【解析】

【分析】

（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积得到长方形的面积即可；

（2）①根据正方形的面积公式表示出阴影部分的面积，根据图形表示出阴影部分的面积，得到等式，根据完全平方公式证明结论；

②根据①的结论计算即可．

(1)

长方形的面积＝（a＋4）²−（a＋1）²＝a²＋8a＋16−a²−2a−1＝6a＋15；

(2)

①如图2，阴影部分的面积＝a²＋b²，

如图3，阴影部分的面积＝（a＋b）²−2ab，

则得到等式a²＋b²＝（a＋b）²−2ab，

证明：（a＋b）²−2ab＝a²＋2ab＋b²−2ab＝a²＋b²；

②（2022−m）²＋（m−2020）²

＝（2022−m＋m−2020）²−2×（m−2020）（2022−m）

＝4＋2021×2

＝4046．

【点睛】

本题考查的是完全平方公式、列代数式，根据正方形的面积公式、结合图形正确列出代数式是解题的关键．

27．（福建·莆田二中八年级期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量一两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算如图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）²；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a²+2ab+b²，由此得到（a+b）²=a²+2ab+b²．

(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别为a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对       图2的面积进行计算，你发现的等式是（用a，b表示）

(2)应用探索结果解决问题：

已知：两数x，y满足x+y=7，xy=6，求x-y的值．

(3)如图3，四个三角形都是全等的直角三角形，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为；（用a，b，c表示）

(4)解决问题：若a=n²-1，b=2n，c=n²+1，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．

【答案】(1)（a+b）²=（a-b）²+4ab

(2)±5

(3)c²=2ab+（a-b）²

(4)见解析

【解析】

【分析】

（1）可以把图2看作一个大正方形组成，也可以看作是由4个长方形和1个小正方形组成，分别表示出面积可得等式；

（2）根据（1）中所得等式，代入计算即可；

（3）可以把图3看作一个大正方形，也可以看作是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，分别表示出面积可得等式；

（4）分别求出a²，b²，c²，然后进行计算即可．

(1)

解：把图2看作一个大正方形组成，面积为（a+b）²，把图2看作是由4个长方形和1个小正方形组成，面积为：（a-b）²+4ab，

故发现的等式是：（a+b）²=（a-b）²+4ab；

(2)

解：由（1）得（a+b）²=（a-b）²+4ab，

∴（x+y）²=（x-y）²+4xy，

∵x+y=7，xy=6，

∴7²=（x-y）²+24，

∴x-y=±5；

(3)

解：把图3看作一个大正方形，面积为c²，把图3看作是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成，面积为： +（a-b）²=2ab+（a-b）²，

故发现的等式是：c²=2ab+（a-b）²；

(4)

解：∵a=n²-1，b=2n，c=n²+1，

∴a²=（n²-1）²=n⁴+1-2n²，b²=（2n）²=4n²，c²=（n²+1）²=n⁴+1+2n²，

∴a²+b²=n⁴+2n²+1=c²，

∴a²+b²=c²，

∴（a+b）²-2ab=c²，

∴c²=（a-b）²+2ab．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用．