【324500】2024春七年级数学下册 专题05 同底数幂的乘法压轴题四种模型全攻略（含解析）（新版

专题05 同底数幂的乘法压轴题四种模型全攻略

【类型一 幂的乘法运算】

例1．计算：

（1） （2）

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可直接进行求解；

（2）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项可直接进行求解．

【详解】

解：（1）原式= ；

（2）原式= ．

【点睛】

本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．

【变式训练1】化简： ．

【答案】

【解析】

【分析】

根据幂的运算法则计算，再合并同类项即可．

【详解】

解： ，

= ，

= ，

= ．

【点睛】

本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运幂的运算法则进行计算，再准确地合并同类项．

【变式训练2】计算：（1）        

（2）

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及整式的加减计算法则进行求解即可；

（2）根据积的乘方，以及整式的加减计算法则进行求解即可．

【详解】

（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方以及整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．

【变式训练3】计算

(1) ；(2) ；

(3) ；(4) ；

(5) ；

【答案】(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ；

(5) .

【解析】

【分析】

（1）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可；

（2）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可；

（3）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；

（4）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；

（5）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可.

(1)解： .

(2)解： .

(3)解： .

(4)解： .

(5)解： .

【点睛】

本题考查整式的乘法运算，熟练掌握幂的四则运算法则是解题的关键.

【类型二 幂的运算逆用】

例2（1）已知 ，求 的值．

（2）已知 ，求m的值．

【答案】（1）16；（2）

【解析】

【分析】

（1）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，将 代入求解即可；

（2）等式的左边逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法变形后，根据底数相同指数相同的两个数相同可得m的方程求解即可．

【详解】

解：（1）∵ ，

∴ ；

（2）∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ，解得 ．

【点睛】

本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．

【变式训练1】（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．

（2）已知a³m=3，b³n=2．求（a²m）³+（bn）³-a²mbn·a⁴mb²n的值．

【答案】（1）8；（2）-7

【解析】

【分析】

（1）先化为以2为底的幂的形式，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，最后采用整体代入思想解题；

（2）先利用幂的乘方公式将所要求的式子化简，再代入解题．

【详解】

解：（1）若2x+5y﹣3=0，则2x+5y=3

；

（2）（a²m）³+（bn）³-a²mbn·a⁴mb²n

=（a³m）²+（b³n）-a⁶mb³n

=（a³m）²+（b³n）-（a³m）²b³n

=3²+2-3²×2

=9+2-18

=-7．

【点睛】

本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、整体思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【变式训练2】计算（1）已知 ，求x的值．

（2）若 为正整数，且 ，求 的值．

【答案】（1）4；（2）2450

【解析】

【分析】

（1）已知等式左边利用同底数幂的乘法法则变形，计算即可求出x的值．

（2）首先计算积的乘方可得9x⁶n-13x⁴n，再根据幂的乘方进行变形，把底数变为x²n，然后代入求值即可．

【详解】

解：（1）2x⁺³-2x=8•2x-2x=7×2x=112，

得到2x=16，

则x=4；

（2）∵x²n=7，

∴（3x³n）²-13（x²）²n

=9x⁶n-13x⁴n

=9（x²n）³-13（x²n）²

=9×7³-13×7²

=2450．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式训练3】（1）已知 ，求 的值．

（2）已知： ，求 的值．

（3）已知 ，求 的值．

（4）已知 ，求m的值．

【答案】（1） ；（2） ；（3）16；（4）

【解析】

【分析】

（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解；

（2）利用幂的运算法则都化成底数为x²n的形式，即可求解；

（3）把8x化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；

（4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m的一元一次方程，再解即可．

【详解】

解：（1）（1）∵ ，

∴ ；

（2）∵x²n=3，

∴

=

=

= ．

（3）∵ ，

∴ ；

（4）∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ，解得 ．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．

【类型三 新定义运算】

例3．规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a^m＝b，那么a∧b＝m．例如：因为5²＝25，所以5∧25＝2；因为5⁰＝1，所以5∧1＝0．

（1）根据上述规定填空：2∧32＝　 　；﹣3∧81＝　 　．

（2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．

【答案】（1）5，4；（2）说明见解析．

【解析】

【分析】

（1）结合新定义运算及有理数的乘方运算法则分析计算；

（2）结合新定义运算及同底数幂的乘法运算法则进行分析说明．

【详解】

解：（1）∵2⁵＝32，

∴2∧32＝5，

∵（−3）⁴＝81，

∴−3∧81＝4，

故答案为：5；4；

（2）设8∧9＝a，8∧10＝b，8∧90＝c，

∴8a＝9，8b＝10，8c＝90

∴8a×8b＝8a^＋b＝9×10＝90＝8c，

∴a＋b＝c，

即8∧9＋8∧10＝8∧90．

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握有理数乘方运算法则，同底数幂的乘方运算法则是解题关键．

【变式训练1】规定 ，求：

（1）求 ；

（2）若 ，求x的值．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据规定即可完成；

（2）根据规定及幂的运算，可得关于x的方程，解方程即可．

【详解】

（1） ，

；

（2） ，

，

则 ，

解得： ．

【点睛】

本题是新定义运算问题，考查了同底数幂的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键．

【变式训练2】如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以

（1）根据上述规定填空： __________， __________， __________；

（2）记 ， ， ．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．

【答案】（1）3，0，−2；a＋b＝c．理由见详解

【解析】

【分析】

（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；

（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【详解】

解：（1）∵3³＝27，

∴（3，27）＝3，

∵4⁰＝1，

∴（4，1）＝0，

∵2⁻²＝0.25，

∴（2，0.25）＝−2．

故答案为：3，0，−2；

（2）a＋b＝c．理由：

∵（2，5）＝a，（2，6）＝b，（2，30）＝c，

∴2a＝5，2b＝6，2c＝30，

∴2a×2b＝5×6＝30，

∴2a×2b＝2c，

∴a＋b＝c．

【点睛】

题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法则及其逆运用是解题关键．

【变式训练3】我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果 ＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作 ＝b，例如：因为 ＝125，所以 ＝3；因为 ＝121，所以 ＝2

（1）填空： ＝　 　， ＝　 　；

（2）如果 ＝3，求m的值．

【答案】（1）1，0；（2）m＝10．

【解析】

【分析】

（1）把对数运算转化为幂运算求解即可；

（2）把对数运算转化为幂的运算求解即可．

【详解】

解：（1）∵ ，

∴ =1， =0，

故答案为：1，0；

（2）∵ ＝3，

∴ ＝m﹣2，

解得：m＝10．

【点睛】

本题考查了新运算问题，解答时，熟练将对数运算转化为对应的幂的运算是解题的关键．

【类型四 比较大小】

例4．比较下列各题中幂的大小：

（1）已知 ，比较a、b、c的大小关系；

（2）比较 这4个数的大小关系；

（3）已知 ，比较P，Q的大小关系；

【答案】（1）a＞b＞c；（2） ；（3）P=Q

【解析】

【分析】

（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；

（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；

（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．

【详解】

解：（1）∵ ，

，

，

∴a＞b＞c；

（2） ，

，

，

，

∵ ，

∴ ；

（3）∵ ，

∴P=Q．

【点睛】

本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．

【变式训练1】阅读材料，解决问题．

材料一：比较 和 的大小．

解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．

小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．

材料二：比较 和 的大小．

解：因为 ，而 ，所以 ，即 ．

小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．

（1）比较 ， ， 的大小：

（2）比较 ， ， 的大小．

【答案】（1）3⁴⁴＞4³³＞5²²；（2）81³¹＞27⁴¹＞9⁶¹

【解析】

【分析】

（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；

（2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小．

【详解】

解：（1）∵3⁴⁴=（3⁴）¹¹=81¹¹，

4³³=（4³）¹¹=64¹¹，

5²²=（5²）¹¹=25¹¹，

∵81＞64＞25，

∴81¹¹＞64¹¹＞25¹¹，

即3⁴⁴＞4³³＞5²²；

（2）∵81³¹=（3⁴）³¹=3¹²⁴，

27⁴¹=（3³）⁴¹=3¹²³，

9⁶¹=（3²）⁶¹=3¹²²，

∵124＞123＞122，

∴3¹²⁴＞3¹²³＞3¹²²，

即81³¹＞27⁴¹＞9⁶¹．

【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．

【变式训练2】阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．

(1)比较大小：5²⁰　 4²⁰（填写＞、＜或＝）．

(2)比较2³³与3²²的大小（写出比较的具体过程）．

(3)计算4²⁰²¹×0.25²⁰²⁰﹣8²⁰²¹×0.125²⁰²⁰

【答案】(1)＞

(2)2³³＜3²²

(3)-4

【解析】

【分析】

（1）根据同指数的幂底数越大幂越大，可得答案；

（2）根据幂的乘方，可得指数相同的幂，根据底数越大幂越大，可得答案；

（3）逆向运用积的乘方运算法则解答即可．

(1)

解：∵5＞4，

∴5²⁰＞4²⁰，

故答案是：＞；

(2)

解：∵2³³＝（2³）¹¹＝8¹¹，3²²＝（3²）¹¹＝9¹¹，

又∵8¹¹＜9¹¹，

∴2³³＜3²²；

(3)

解：4²⁰²¹×0.25²⁰²⁰﹣8²⁰²¹×0.125²⁰²⁰

＝

＝4×1²⁰²⁰﹣8×1²⁰²⁰

＝4﹣8

＝﹣4．

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用同指数的幂底数越大幂越大是解题关键．

【变式训练3】将幂的运算逆向思维可以得到 ， ， ， ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．

（1） _________；

（2）若 ，求 的值；

（3）比较大小： ，则 的大小关系是什么？

（提示：如果 ， 为正整数，那么 ）

【答案】（1）1；（2） ；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；

（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；

（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．

【详解】

解：（1）

故答案为：1

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，解得 ；

（3）由题可得： ， ， ， ，

∵ ，

∴ ，

即 ．

【点睛】

本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．

【课后训练】

一、选择题

1．计算： （       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

按照积的乘方法则，先各自乘方，后把积相乘即可．

【详解】

∵

=

= ，

故选：D．

【点睛】

本题考查了积的乘方运算，正确进行各自的乘方计算是解题的关键．

2．下列运算中正确的是（　　）

A．3a﹣2a＝1 B．a•a²＝3a³ C．（ab²）³＝a³b³ D．a²•a³＝a⁵

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则依次计算判断即可得．

【详解】

解：A、合并同类项，系数相加字母部分不变， ，故A错误；

B、同底数幂相乘，底数不变指数相加， ，故B错误；

C、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ，故C错误；

D、同底数幂相乘，底数不变指数相加，故D正确；

故选：D．

【点睛】

题目主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

3．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．

【详解】

解：∵ ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ；

故选A．

【点睛】

本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．

二、填空题

4．计算：a²⋅a⁴＝______． ＝_____．

【答案】     a⁶    

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法法则和积的乘方法则计算．

【详解】

解：a²·a⁴＝a⁶．

＝ ．

故答案为：a⁶；

【点睛】

本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

5．若 为正整数，且 ，则 的值为 _______ ．

【答案】2891

【解析】

【分析】

用幂的乘方法则将原式变形为 ，然后代入求值计算即可．

【详解】

解：原式 ，

因为 ，

所以，原式

故答案为：2891

【点睛】

本题考查幂的乘方法则的灵活应用，熟练掌握幂的乘方法则和整体代入的思想是本题的解题关键．

6．阅读理解：①根据幂的意义， 表示 个 相乘；则 ；② ，知道 和 可以求 ，我们不妨思考；如果知道 ， ，能否求 呢？对于 ，规定 ， ，例如： ，所以 ， ．记 ， ， ， ； 与 之间的关系式为__．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得：x＝5^4m，y−3＝5^4m＋2，然后根据同底数幂的逆用得问题的答案．

【详解】

解：由题意得： ， ，

，即 ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用，正确理解新规定是解题的关键．

三、解答题

7．计算：（﹣3a²）³+（4a³）²﹣a²•a⁴．

【答案】

【解析】

【分析】

原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果．

【详解】

解：（﹣3a²）³+（4a³）²﹣a²•a⁴

=

=

=

【点睛】

本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

8．计算：

（1）

（2）

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；

（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．

【详解】

解：（1） ，

= ，

= ，

= ；

（2） ，

，

．

【点睛】

本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．

9．计算：

(1)已知 ，求 的值；

(2)已知n为正整数，且 ，求 的值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由积的乘方公式解题；

（2）由积的乘方公式解得 ，再利用整体代入法解题．

(1)

解：

．

(2)

原式 ．

【点睛】

本题考查积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

10．（1）若 ， ，求 的值；

（2）若 ，求 的值；

（3）比较大小： ， ， ．

【答案】（1）108；（2）8；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）根据 求解即可；

（2）根据 求解即可；

（3）先得到 ， ， ，然后比较大小即可．

【详解】

解：（1）∵ ， ，

∴ ；

（2）∵ ，

∴ ；

（3） ， ，

∵ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

11．定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如2³＝8，则L₂⁸＝3．

（1）运用以上定义，计算L₅²⁵﹣L₂²；

（2）如果L₂³＝x， ，求x+2y的值．

【答案】（1）1；（2）3．

【解析】

【分析】

（1）由定义和幂的运算可得，L₅²⁵＝2，L₂²＝1；

（2）由定义可得2x＝3，4y＝2²y＝ ，所以2x×4y＝2x×2²y＝2x⁺²y＝3× ＝8＝2³，可求得结果为3．

【详解】

解：（1）∵5²＝25，2¹＝2，

∴L₅²⁵＝2，L₂²＝1，

∴L₅²⁵﹣L₂²＝2﹣1＝1；

（2）由定义可得2x＝3，4y＝2²y＝ ，

∴2x×4y＝2x×2²y＝2x⁺²y＝3× ＝8＝2³，

∴x+2y的值是3．

【点睛】

此题考查了代数式求值及幂的应用能力，关键是能根据题目定义和幂的运算进行准确变形、计算．

12．若 （ 且 ，m、n是正整数），则 ．利用上面结论解决下面的问题：

（1）如果 ，求x的值；

（2）如果 ，求x的值；

（3）若 ， ，用含x的代数式表示y．

【答案】（1） ；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；

（2）利用积的乘方逆运算解答；

（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为 ， ，即可得到x与y的关系式，由此得到答案．

【详解】

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得 ；

（2）∵ ，

∴ ，

，

，

；

（3）∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．

13．规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ．

例如：因为 ，所以(2，8)=3．

（1）根据上述规定，填空：

（5，125）=，（-2，4）=，（-2，1）=；

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明：

设 ，则 ，即

∴ ，即 ，

∴ ．

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．

(4，7)＋(4，8)=(4，56)

【答案】（1）3、2、0 ；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据定义新运算分别进行计算，即可得答案；

（2）设（4，7）=x，（4，8）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．

【详解】

解：（1）5³=125，（5，125）=3，

（-2）²=4，（-2，4）=2，

（-2）⁰=1，（-2，1）=0，              

故答案为：3；2；0；

（2）设（4，7）=x，（4，8）=y，

∴                

∴        

∵              

∴                       

∴(4，56)=x+y，

∴(4，56)= (4，7)+(4，8)

∴等式成立

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．

14．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2＝2³＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8＝3），一般地，若aⁿ＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab＝n），如3⁴＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81＝4）．

（1）计算下列各对数的值：log₂4＝　 　；log₂16＝　 　；log₂64＝　 　；

（2）你能得到log₂4、log₂16、log₂64之间满足怎样的关系式：　 　；

（3）由（2）的结果，请你归纳出log_aM、log_aN、log_aMN之间满足的关系式：　 　；

（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．

【答案】（1）2，4，6；（2）log₂4+log₂16=log₂64；（3）logaM+logaN=loga（MN），（4）验证见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据对数的定义即可求得值；

（2）根据（1）的结果即可得出三者间的关系；

（3）根据（2）的结果即可得出三者满足的关系式；

（4）根据对数的意义及同底数幂的乘法即可证明．

【详解】

（1）∵

∴log₂4=2

∵

∴log₂16=4

∵

∴log₂64=6

故答案为：2，4，6

（2）由（1）知，log₂4+log₂16=log₂64

故答案为：log₂4+log₂16=log₂64

（3）由（2）的结果知：log_aM+log_aN=log_aMN

故答案为：log_aM+log_aN=log_aMN

（4）设log_aM=m，log_aN=n

由对数的定义知， ，

∵

∴

∵log_aM+log_aN=m+n

∴log_aM+log_aN=log_aMN

【点睛】

本题是材料阅读题，考查了同底数幂的运算，乘方的计算等知识，关键是读懂材料中对数的含义．