专题04 三元一次方程组及其应用
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一、选择题(每题2分，共20分) |
1．(本题2分)（全国·七年级专题练习）
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可．
【规范解答】解：
，
，得：
④；
，得：
⑤；
，得：
，解得：
；
把
代入④得：
，解得：
；
把
，
代入①得：
，解得：
；
∴方程组的解为：
，
故选A．
【考点评析】本题考查解三元一次方程组．熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键．
2．(本题2分)（江苏苏州·七年级校考阶段练习）将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（ ）
3 |
a |
b |
c |
|
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0 |
2 |
|
|
… |
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】D
【思路点拨】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出
，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据
，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为
．
【规范解答】设表格中c后面的数为x，
∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴
，
解得：
，
∴表格中数据从左到右依次为
，
∴每4个数为一个循环组依次循环．
∵
，
∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为
，
故选D．
【考点评析】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键．
3．(本题2分)（全国·七年级专题练习）购买铅笔
支，作业本
本，圆珠笔
支共需
元；购买铅笔
支，作业本
本，圆珠笔
支共需
元，则购买铅笔
支，作业本
本，圆珠笔
支共需（ ）
A．
元 B．
元 C．
元 D．
元
【答案】B
【思路点拨】设铅笔的单价是
元，作业本的单价是
元，圆珠笔的单价是
元．购买铅笔
支，作业本
本，圆珠笔
支共需
元，然后根据题意列方程组求出
的值即可果．
【规范解答】解：设铅笔的单价是
元，作业本的单价是
元，圆珠笔的单价是
元．购买铅笔
支，作业本
本，圆珠笔
支共需
元．
则由题意得
由
得
由
得
由
得
．
故选：B．
【考点评析】本题主要考查了方程组的应用，解答本题的关键是列出方程组以及用加减消元法求出方程组的解．
4．(本题2分)（全国·七年级专题练习）已知
是方程组
的解，则
的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【思路点拨】把
代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【规范解答】解：根据题意，
把
代入方程组，得
，
由①+②+③，得
，
∴
；
故选：A
【考点评析】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
5．(本题2分)（河南南阳·七年级统考期中）我们探究得方程
的正整数解只有1组，方程
的正整数解只有2组，方程
的正整数解只有3组，……，那么方程
的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【思路点拨】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【规范解答】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，
t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组
……，
t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．
故选：B．
【考点评析】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
6．(本题2分)（安徽·七年级周测）已知
，则
等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【思路点拨】根据方程组的特点，三个方程相加即可求出x+y+z的值．
【规范解答】
，
①+②+③得：
2x+2y+2z=12，
x+y+z=6，
故选：A．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，根据方程组中每一个方程的系数特点确定合适的解法是关键．
7．(本题2分)（安徽·七年级周测）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（ ）
A．105元 B．210元 C．170元 D．不能确定
【答案】A
【思路点拨】等量关系为：甲3件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝315，4件的总价+乙10件的总价+丙1件的总价＝420，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．
【规范解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意
，
由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．
故选：A．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．
8．(本题2分)（七年级课时练习）已知方程组
的解
，
使
成立，则
的值是( )
A．0 B．
C．1 D．2
【答案】D
【思路点拨】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到
，解方程即可得到m的值．
【规范解答】解：由题意可知，
①，
②，
由①+②并化简，可得
，
由②×2-①并化简，可得
，
将
，
的值代入
，可解得
．
故选：D．
【考点评析】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法．
9．(本题2分)（湖南长沙·七年级统考期中）已知方程组
（xyz≠0），则x：y：z等于（ ）
A．2：1：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：1：2
【答案】C
【思路点拨】先利用加减消元法将原方程组消去
，得出
和
的关系式；再利用加减消元法将原方程组消去
，得出
和
的关系式；最后将
中
与
均用
表示并化简即得比值．
【规范解答】∵
∴由①×3+②×2，得
由①×4+②×5，得
∴
故选：C．
【考点评析】本题考查加减消元法及方程组含参问题，利用加减消元法将多个未知数转化为同一个参数是解题关键．
10．(本题2分)（全国·七年级假期作业）解方程组
时，第一次消去未知数的最佳方法是(
)
A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个
【答案】C
【思路点拨】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.
【规范解答】解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
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二、填空题(每题2分，共20分) |
11．(本题2分)（七年级课时练习）已知x，y，z满足
，且
，则
____________．
【答案】14
【思路点拨】设
，则整理得出
，
，
，代入
求得t，进一步代入求得x的值．
【规范解答】解：设
，
则
，
，
，
代入
得：
解得：
，
，
故答案为：14．
【考点评析】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．
12．(本题2分)（全国·七年级专题练习）我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
【答案】8．
【思路点拨】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．
【规范解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，
，
②﹣①，得9a＝3c，
∴a＝
c，
把a＝
c代入②，得b＝
c，
把a＝
c，b＝
c，代入③得，
3c+
cx﹣5c=0，
∴cx＝8c，
∵c≠0，
∴x＝8．
故答案为8．
【考点评析】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．
13．(本题2分)（七年级课时练习）某校用一笔钱来购买
，
两种奖品，若购买24个
种奖品和14个
种奖品则差30元，若购买20个
种奖品和18个
种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个
种奖品和10个
种奖品差_________元．
【答案】80
【思路点拨】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
【规范解答】解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得：
，
①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
故答案为：80．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
14．(本题2分)（重庆·七年级重庆十八中校考期中）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等候进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生继续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟时刚好配餐完毕，则两个食堂需要同时一共开放_________个配餐窗口．
【答案】29
【思路点拨】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的代数式表示出a，x，设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟时配餐完毕，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
【规范解答】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，
依题意得：
，
∴
，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my=a+2a+15×（x+2x），
解得：m=29，
故答案为：29．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
15．(本题2分)（七年级单元测试）小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付______元钱．
【答案】7
【思路点拨】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，列出方程组，两式相加即可求解．
【规范解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得
，
由①+②得
，
整理得
，
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱．
故答案为：7．
【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，得到两个等量关系是解决本题的关键；把所给两个等式整理为只含
等式是解决本题的难点．
16．(本题2分)（重庆·七年级期末）为隆重庆祝建党一百周年，某学校欲购买
，
，
三种花卉各100束装饰庆典会场．已知购买4束
花卉，7束
花卉，1束
花卉，共用45元；购买3束
花卉，5束
花卉，1束
花卉，共用35元．则学校购买这批装饰庆典会场的花卉一共要用__元．
【答案】1500
【思路点拨】列出两个三元一次方程，求出购买A、B、C三种花卉各1支的总价格，从而求出购买A，B，C三种花卉各100束的总价．
【规范解答】解：设A种花朵
元
束，
种花朵
元
束，
种花朵
元
束，则
，
①
②，得，
③，
①
③
，得，
④，
③
④，得，
，
（元
．
故答案为：1500．
【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，难点在于无法求出每一个未知数的数值，因而求出购买A、B、C三种花卉各1支的总价格是解决问题的关键，体现了数学的整体思想、化归思想，考查了学生的推理能力、计算能力、应用意识等．
17．(本题2分)（重庆·七年级重庆南开中学校考期末）北京冬奥会志愿者招募迎来全球申请热潮，赛会志愿者将在北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的竞赛场馆开展志愿服务，北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的志愿者人数之比为5∶3∶2．随着赛事的调整，各赛区的志愿者人数均要增加，其中等于其余两个赛区增加的总人数的
，则增加后北京赛区志愿者人数占所有赛区增加后的总人数的
．为使延庆赛区、张家口赛区增加后的志愿者人数之比为6∶5，则延庆赛区增加的志愿者人数与各赛区增加的志愿者总人数之比是______．
【答案】
【思路点拨】根据题意可设北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的志愿者原有人数分别为
，延庆赛区增加的志愿者人数为
，张家口赛区增加的志愿者人数为
，则北京赛区志愿者增加的人数为
，根据延庆赛区、张家口赛区增加后的志愿者人数之比为6∶5，可得
，再由增加后北京赛区志愿者人数占所有赛区增加后的总人数的
．可得
，从而得到
，即可求解．
【规范解答】解：根据题意可设北京赛区、延庆赛区、张家口赛区的志愿者原有人数分别为
，延庆赛区增加的志愿者人数为
，张家口赛区增加的志愿者人数为
，则北京赛区志愿者增加的人数为
，
∵延庆赛区、张家口赛区增加后的志愿者人数之比为6∶5，
∴
，解得：
，
∵增加后北京赛区志愿者人数占所有赛区增加后的总人数的
．
∴
整理得：
，
∴
，解得：
，
∴
，
即延庆赛区增加的志愿者人数与各赛区增加的志愿者总人数之比为
．
故答案为：
【考点评析】本题主要考查了列代数式，三元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18．(本题2分)（江苏·七年级专题练习）幻方，又称为九宫格，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．如图1，它是在
的9个格子中填入9个数，使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．在如图2所示幻方中，只填了5个用字母表示的数，根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，则右上角“x”所表示的数应等于_______．
【答案】3
【思路点拨】根据题意先求出对角线上数字的和，然后再构建一元一次方程进行求解；
【规范解答】解：设x左边的两个数为y和z，
根据题意得：n-a+z=n+m+x①，a+6+m+y=n+m+x②，x+y+z=n+m+x③，
①+②得：n+6+m+（y+z）=2m+2n+2x；
由③得：y+z=n+m
解得：x=3
故答案为：3
【考点评析】本题考查三元一次方程的应用，如果能看透题目，充分利用已知，那么解决问题的难度将大大降低．
19．(本题2分)（七年级课时练习）重庆市举行了中学生足球联赛，共赛17轮（即每队均需比赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若文德中学足球队的积分为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，且胜、平、负的场数各不相同．则文德中学足球队共负____场．
【答案】1或5##5或1
【思路点拨】设该校足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意建立方程组，解方程组从而用k（整数）表示负场数y=kz，根据z为整数，分别求出k的取值，然后求出x、y的值，继而可得出该校足球队负几场即可．
【规范解答】解：设文德中学足球队胜了x场，平了y场，负了z场，由题意得，
，
把③代入①②得：
，
解得：
（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7，y=7，x=3，（因为胜、平、负的场数各不相同，所以，不符合题意，舍去）
当k=2时，z=5，y=10，x=2；
当k=16时，z=1，y=16，x=0，
所以，文德中学足球队负了1或5场．
故答案为：1或5．
【考点评析】本题考查了三元一次组的应用，解答本题的关键是设出未知数列出方程组，用k表示出z的值，根据z为整数，即可分类讨论出z的值．
20．(本题2分)（江苏·七年级专题练习）已知x，y，z满足方程组
，则
____．
【答案】1：2：3
【思路点拨】把
看做是常数，可得
，再分别求解
的值，从而可得答案.
【规范解答】解：
整理得：
①
②得：
把
代入①得：
故答案为：
【考点评析】本题考查的是三元不定方程组，掌握把其中一个未知数看成是常数是解题的关键.
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三、解答题(共60分) |
21．(本题8分)（广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）计算：
(1)
；
(2)
；
(3)解方程
；
(4)解方程
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路点拨】（1）根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号的先计算括号内的；
（2）根据乘方的意义以及乘法结合律化简后，再根据有理数的加减法法则以及除法法则计算即可；
（3）把方程组整理后，再利用加减消元法求解即可；
（4）用
可解得
，再代入
、
可得关于
、
的二元一次方程，再联立成方程组求解即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）由
整理得：
，
得：
，
解得
，
将
代入①得：
，
解得：
，
方程组的解为：
；
（4）解：
得：
，
解得
，
将
分别代入①、③得：
，
，
得：
，
解得：
，
将
代入
得：
，
解得
，
方程组的解为：
．
【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组以及解三元一次方程组，掌握相关运算法则以及消元的方法是解答本题的关键．
22．(本题8分)（七年级课时练习）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品．
(1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
(3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？
【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个
(2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔
(3)一共有7种购买方案，见解析
【思路点拨】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价
单价
数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价
单价
数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为
，最后结合题意进行讨论即可．
【规范解答】（1）设小明原计划购买文具袋x个，
依题意得：
，
解得：
．
答：小明原计划购买文具袋13个．
（2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，
依题意得：
，
解得：
．
答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔．
（3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，
由题意得
，
∵三样都要买，且把48元恰好用完，
∴有如下方案：
①当
时，把48元恰好用完；
②当
时，把48元恰好用完；
③当
时，把48元恰好用完；
④当
时，把48元恰好用完；
⑤当
时，把48元恰好用完；
⑥当
时，把48元恰好用完；
⑦当
时，把48元恰好用完，
综上所述，一共有7种购买方案．
【考点评析】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．(本题8分)（浙江杭州·七年级校考期中）阅读理解：已知实数x，y可满足
……①，
……②，求
和
值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由
可得
，由
可得
．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组
，则
___________，
___________；
(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：
，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知
，
，求
的值．
【答案】(1)
；6
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
(3)
【思路点拨】（1）利用
可得出
的值，利用
可得出
的值；
（2）设铅笔的单价为
元，橡皮的单价为
元，日记本的单价为
元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于
，
，
的三元一次方程组，由
可得出
的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于
，
，
的三元一次方程组，由
可得出
的值，即
的值．
【规范解答】（1）解：
，
由
可得：
，
由
可得：
．
故答案为：
；6．
（2）解：设铅笔的单价为
元，橡皮的单价为
元，日记本的单价为
元，
依题意，得：
，
由
可得
，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）解：依题意，得：
，
由
可得：
，
，
即
．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出
，
的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
24．(本题6分)（七年级单元测试）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知
，求
的值．
解：①
得：
③
②
③得：
∴
的值为2．
(1)已知
，求
的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买
本笔记本、
支签字笔、
支记号笔需要
元．通过还价，班委购买了
本笔记本、
支签字笔、
支记号笔，只花了
元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了
元
【思路点拨】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价
本笔记本、
支签字笔、
支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【规范解答】（1）解：（1）
，
①
②得：
，
则
；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：
，
∴
，
（元），
则比原价购买节省了
元．
【考点评析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
25．(本题6分)（七年级课时练习）某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共
元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共
元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的
，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
【答案】(1)
(2)由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【思路点拨】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各
天，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为
元，根据题意列出方程组，解方程组，进而求得答案．
【规范解答】（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各
天，根据题意可知
解得：
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为
元．
．
解之得∶
．
因为工期要求不超过20天完成全部工程，
由(1)知可选甲或乙．
甲的费用为
，
乙的费用为
．
答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
26．(本题8分)（湖南长沙·七年级校考阶段练习）两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖
元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答．
【答案】第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋
【思路点拨】设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元，第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，根据两个小伙伴卖了同样的价钱，得到ax=
b(100-x)，根据第二个闺蜜鸡蛋的单价如果为a元能卖15元，得到a(100-x)=15，根据第一个闺蜜鸡蛋的单价如果为b元只能卖
元，得到bx=
，把三个方程组成方程组解答．
【规范解答】解：设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元、第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，则：
，
解得：
，
，
；
100-40=60（个）．
答：第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋．
【考点评析】本题主要考查了三元方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，根据题中的等量关系列方程组，整体代入消元．
27．(本题8分)（江苏扬州·七年级统考期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足
，
，求
和
的值．本题常规思路是将
①，
②联立组成方程组，解得
、
的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得
，由①＋②×2可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组
，则
______，
______；
(2)试说明在关于x、y的方程组
中，不论a取什么实数，
的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】(1)－1；3
(2)见解析
(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元
【思路点拨】（1）①－②可求出
，
可求出
；
（2）证明
为定值即可；
（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出
即可．
（1）
解：
①－②得：
，
得：
，
等式两边同时除以3得：
，
故答案为：－1；3．
（2）
证明：
得：
，
等式两边同时除以2得：
，
得：
，
等式两边同时除以2得：
，
因此不论a取什么实数，
的值始终不变．
（3）
解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：
，
等式两边同时乘以2得：
，
得：
，
故
，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【考点评析】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键．
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数
、
满足
①，
②，求
和
的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得
、
的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得
，由①+②×2可得
．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组
，则
_______，
_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数
、
，定义新运算：
，其中
、
、
是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知
，
，那么
_______．
【答案】（1）
；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）
．
【思路点拨】（1）利用①−②可得x－y的值，利用
可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为
元，记事本的单价为
元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①-②可得
的值，再乘5即可求得结果；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出
的值，从而可求得结果．
【规范解答】（1）
由①−②可得：x－y＝－1，由
可得x+y＝5
故答案为：
；5．
（2）设水笔的单价为
元，橡皮的单价为
元，记事本的单价为
元，
依题意，得：
，
由
可得
，
．
故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．
（3）依题意得：
由3×①−2×②可得：
即
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x-y，x+y的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组．