专题04二元一次方程组的应用压轴题四种模型全攻略
【类型一方案问题】
例1．（四川青羊·八年级期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出m，n的值；
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
(2)物流公司共有以下三种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
(3)方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．
【解析】
【分析】
（1）设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，由题意：用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意：某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．列出二元一次方程，求出正整数解即可．
（3）分别计算三种方案的费用，比较大小即可．
(1)
设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，
根据题意，得：
，
解得：
，
答：一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
(2)
由题意得：3m+4n=31，
∵m、n均为正整数，
∴
或
或
，
∴该物流公司共有以下三种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
(3)
方案一费用：100×1+120×7=940（元），
方案二费用：100×5+120×4=980（元），
方案三费用：100×9+120×1=1020（元），
∵940＜980＜1020，
∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
【变式训练1】（广西玉林·九年级期末）已知：用2辆
型车和1辆
型车载满货物一次可运货13吨；用1辆
型车和2辆
型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用
型车
辆，
型车
辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆
型车和1辆车
型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若
型车每辆需租金110元
次，
型车每辆需租金150元
次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆
型车载满货物一次可运货4吨，1辆
型车载满货物一次可运货5吨
(2)最省钱的租车方案为：租用10辆
型车，1辆
型车，最少租车费为1250元
【解析】
【分析】
（1）设1辆A型车载满货物一次可运货
吨，1辆B型车载满货物一次可运货
吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨”，即可得出关于
，
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次性运45吨货物，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于
，
的二元一次方程，结合
，
均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
(1)
设1辆A型车载满货物一次可运货
吨，1辆B型车载满货物一次可运货
吨，
依题意得：
，
解得：
．
答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨；
(2)
依题意得：
，
．
又
，
均为自然数，
或
或
，
共有3种租车方案，
方案1：租用9辆B型车，所需总租金为
（元
；
方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需总租金为
（元
；
方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需总租金为
（元
．
，
最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组的实际应用和二元一次方程有整数解的实际意义．在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解．
【变式训练2】（河南·七年级期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，8天可以完成，需付两队费用3520元，若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做16天可以完成，需付费用4040元．
（1）甲、乙两队工作一天，商店各应付多少钱？
（2）若装修完，商店每天可盈利200元，则如何安排施工更有利于商店？请说明理由．
【答案】（1）甲、乙两队工作一天，商店各应付300元和140元；（2）甲单独做施工更有利于商店，理由详见解析．
【解析】
【分析】
（1）设甲队工作一天商店应付x元，乙队工作一天商店付y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲的工作效率为m，乙的工作效率为n，求出甲和乙单独完成需要的时间，再计算三种情况的损失，进行比较即可得出结论．
【详解】
解：（1）设甲队工作一天商店应付x元，乙队工作一天商店付y元．
由题意得
，
解得
，
答：甲、乙两队工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）甲单独做施工更有利于商店，理由：
设甲的工作效率为m，乙的工作效率为n，则
．
解得
．
即：甲单独做需要10天完成，乙单独做需要40天完成．
甲单独做，需费用3000元，少赢利200×10＝2000元，相当于损失5000元；
乙单独做，需费用5600元，少赢利200×40＝8000元，相当于损失13600元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8＝1600元，相当于损失5120元；
因为13600＞5120＞5000，
所以甲单独做损失费用最少．
答：甲单独做施工更有利于商店．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练3】（上海普陀·期末）以“花开中国梦”为主题的第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海市崇明区东平国家森林公园举办，本届花博会的门票分为平日票、指定日票等种类，其中平日票每张120元，指定日票每张180元，小明计划用2100元购买平日票和指定日票共15张．
(1)求小明计划购买平日票和指定日票各几张？
(2)为了鼓励大家提前购买，主办方决定，凡是在5月21日前购票的，平日票和指定日票都可以享受低于原价的预售价．小明决定按照预售价提前购票，在购票时小明发现：如果不改变原计划购买的门票种类及相应的张数，总金额可以节约300元；如果不改变原计划购票的总金额，那么可以购买5张平日票和10张指定日票，求平日票和指定日票的预售价分别是多少元？
【答案】(1)小明计划购买平日票为10张，指定日票为5张
(2)平日票的预售价为100元，指定日票的预售价为160元
【解析】
【分析】
（1）设小明计划购买平日票为
张，指定日票为
张，由题意：平日票每张120元，指定日票每张180元，小明计划用2100元购买平日票和指定日票共15张．列出方程组，解方程组即可；
（2）设平日票的预售价为
元，指定日票的预售价为
元，由题意：不改变原计划购买的门票种类及相应的张数，总金额可以节约300元；不改变原计划购票的总金额，那么可以购买5张平日票和10张指定日票，列出方程组，解方程组即可．
(1)
解：设小明计划购买平日票为
张，指定日票为
张，
由题意得：
，
解得：
，
答：小明计划购买平日票为10张，指定日票为5张；
(2)
解：设平日票的预售价为
元，指定日票的预售价为
元，
由题意得：
，
解得：
，
答：平日票的预售价为100元，指定日票的预售价为160元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出二元一次方程组．
【类型二分配问题】
例2．（海南文昌·七年级期末）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住10人，小宿舍每间可住8人，该校420名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间．
【答案】大宿舍有10间，小宿舍有40间
【解析】
【分析】
设学校大的宿舍有
间，小的宿舍有
间．根据宿舍50间；大的宿舍每间可住10人，小的每间可住8人，该校420个住宿生恰好住满这50间宿舍．这两个等量关系列方程求解．
【详解】
解：设学校大的宿舍有
间，小的宿舍有
间．
依题意有
，
解得
，
答：学校大的宿舍有10间，小的宿舍有40间．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组进行求解．
【变式训练1】（浙江·嵊州市初级中学七年级期中）某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？
【答案】6人生产螺栓，8人生产螺母
【解析】
【分析】
设
人生产螺栓，
人生产螺母，根据题意列二元一次方程组解决问题．
【详解】
解：设
人生产螺栓，
人生产螺母，
由题意得
，
解得
答：6人生产螺栓，8人生产螺母能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练2】（陕西榆林·八年级期末）学校计划从某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉．1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉？1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？
【答案】1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉,1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉．
【解析】
【分析】
设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉,1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉,根据等量关系：1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉，列方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉,1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉,
根据题意得：
，
把②代入①×2得
，
解得
，
把
代入②得
，
解得x=500,
∴
，
答1辆甲型货车满载一次可运输500盆花卉,1辆乙型货车满载一次可运输400盆花卉．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；2辆甲型货车比3辆乙型货车满载一次少运输200盆花卉列方程组是解题关键．
【变式训练3】（江苏镇江·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱
【解析】
【分析】
设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：
，
解得：
．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点睛】
本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【类型三销售利润问题】
例3．（广东东莞·七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
|
甲 |
乙 |
进价（元/件） |
22 |
30 |
售价（元/件） |
29 |
40 |
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
(3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)购进甲种商品150件，购进乙种商品90件
(2)1950元
(3)70
【解析】
【分析】
（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可．
（2）根据利润公式求解即可．
（3）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可．
(1)
解：设购进甲，乙商品分别为m，n件，
依题意可知：
解得：
，
故购进甲种商品150件，购进乙种商品90件．
(2)
解：
（元）
故该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元．
(3)
解：设以五折售出的乙商品有y件．
根据题意得：
解得：
故以五折售出的乙商品有70件．
【点睛】
此题考查了一元一次方程和二元一次方程组的问题，解题的关键是掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．
【变式训练1】（辽宁和平·八年级期末）（列二元一次方程组求解）某商场购进商品后，加价30%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款546元，两种商品原销售价之和为650元．甲、乙商品进价分别为多少元？
【答案】甲商品进价为200元，乙商品进价为300元．
【解析】
【分析】
设甲商品进价为x元，乙商品进价为y元，根据“顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款546元，两种商品原销售价之和为650元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出甲、乙两商品的进价．
【详解】
解：设甲商品进价为x元，乙商品进价为y元，
依题意得：
解得：
．
答：甲商品进价为200元，乙商品进价为300元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练2】（云南砚山·八年级期末）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
(1)求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
(2)现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
【答案】(1)甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒
(2)购买的口罩数量能满足市教育局的要求
【解析】
【分析】
（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价=单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种口罩购进数量；
（2）利用购进口罩的总数量=每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数=2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
(1)
解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：
，
解得：
．
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒；
(2)
解：20×700+25×200=14000+5000=19000（个），
2×900×10=18000（个）．
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量=每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．
【变式训练3】（山东济南·八年级期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．
(1)求A、B两种品牌的篮球的单价．
(2)我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？
【答案】(1)A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元
(2)910元
【解析】
【分析】
（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，根据“购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A、B两种品牌的篮球的单价；
（2）利用总价=单价×数量，即可求出打折后学校购买篮球所需费用．
(1)
设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元．
(2)
40×80%×20+100×90%×3
＝640+270
＝910（元）．
答：打折后学校购买篮球需用910元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【类型四几何问题】
例4．（湖南新田·七年级期中）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是多少？
【答案】图中阴影部分的面积是
【解析】
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：
，
解得：
，
∴S阴影＝14×（6+2×2）﹣8×2×6＝44（cm2）．
答：图中阴影部分面积是44cm2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练1】（辽宁和平·八年级期末）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长为（ ）
A．2cm B．6cm C．12cm D．16cm
【答案】D
【解析】
【分析】
设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①1个长=3个宽，②一个长+一个宽=8cm，列出方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：
，
解得：
，
则每块小长方形地砖的周长为2（x+y）=2×（6+2）=16（cm），
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练2】（山东邹平·七年级期末）在“实践与探究”的数学活动中，让一组和二组分别用8个一样大小的长方形纸片进行拼图．一组拼成一个如图1所示的大长方形：二组拼成一个如图2所示的正方形，但中间留下一个边长为
的小正方形，据此计算出每个小长方形的面积是______
【答案】135
【解析】
【分析】
要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为
，长为
，根据题中的等量关系：①5个长方形的宽
个长方形的长，②大矩形面积
大正方形的面积，列方程求解．
【详解】
解：设每个长方形的宽为
，长为
，那么可列出方程组为：
，
解得：
．
所以每个长方形的面积为
．
故答案是：135．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是注意图片给出的等量关系即，①5个长方形的宽
个长方形的长，②大矩形面积
大正方形的面积，以此可得出答案．
【变式训练3】（江西石城·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法解决以下问题：
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求出图中阴影部分面积．
【答案】（1）小长方形的长为8cm，宽为2cm．（2）44cm2
【解析】
【分析】
（1）设小长方形的长为x cm，宽为ycm，根据题意列二元一次方程组，进而解方程组解决问题；
（2）根据（1）的结论，根据阴影部分面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求得
【详解】
（1）解：设小长方形的长为x cm，宽为ycm，由题意得;
解得：
．
答：小长方形的长为8cm，宽为2cm．
（2）由题意可得：
=44（
）
所以阴影部分面积为44
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出二元一次方程组是解题的关键．
【课后训练】
1．（甘肃肃州·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【解析】
【分析】
设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】
解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
2．（广东·深圳中学八年级期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数．
【答案】这个两位数为36
【解析】
【分析】
设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，然后根据题意可直接列方程组进行求解．
【详解】
解：设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，由题意得：
，
解得：
，
∴这个两位数为36．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程的应用是解题的关键．
3．（云南五华·七年级期末）为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？
【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为
千米
【解析】
【分析】
设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为
千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可．
【详解】
解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为
千米，由题意可得：
，化简得
解得
答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为
千米．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（山东天桥·八年级期末）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元?
(2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？
【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件
(2)188元
【解析】
【分析】
（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可．
(1)
解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，
由题意可列方程：
，
由①得：
，
将③代入②中得：
，
解得：
，
答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件．
(2)
由题意得：
（元），
答：总费用为188元．
【点睛】
本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键．
5．（重庆·西南大学附中七年级期末）一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，从乙地到甲地逆流航行用10小时．（请列方程或方程组解答）
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
【答案】(1)静水中的速度是16千米/小时，水流速度是4千米/小时
(2)75千米
【解析】
【分析】
（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程=速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（120-a）千米，根据时间=路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小题1】
解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：
，
解得：
，
答：该轮船在静水中的速度是16千米/小时，水流速度是4千米/小时．
【小题2】
设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（120-a）千米，
依题意，得：
，
解得：a=75，
答：甲、丙两地相距75千米．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
6．（云南昆明·七年级期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔
分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔
分钟快的追上慢的一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【答案】甲同学每分钟跑
圈，乙同学每分钟跑
圈．
【解析】
【分析】
设甲同学每分钟跑x圈，乙同学每分钟跑y圈，根据“同时同地出发，反向而行，每隔
分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔
分钟快的追上慢的一次”，列出方程组，解出即可．
【详解】
（1）解：设甲同学每分钟跑x圈，乙同学每分钟跑y圈．
依题意列方程组得：
，
解方程组得：
，
答：甲同学每分钟跑
圈，乙同学每分钟跑
圈．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．（广东番禺·七年级期末）（1）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
（2）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走
，平路每小时走
，下坡每小时走
，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时．甲地到乙地全程是多少？
【答案】（1）1台大收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小收割机每小时收割小麦0.2公顷；（2）甲地到乙地全程是3.1km
【解析】
【分析】
（1）设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割小麦y公顷，根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设从甲地到乙地上坡路长mkm，平路长nkm，利用时间=路程÷速度，结合“从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，再将其代入（m+n）中即可求出结论．
【详解】
解：（1）设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割小麦y公顷，
依题意得：
，
解得：
，
答：1台大收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小收割机每小时收割小麦0.2公顷．
（2）设从甲地到乙地上坡路长mkm，平路长nkm，
依题意得：
，
解得：
，
∴m+n=1.5+1.6=3.1（km）．
答：甲地到乙地全程是3.1km．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（重庆市第二十九中学校七年级阶段练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【解析】
【分析】
设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得：
，
解得：
．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（广西富川·七年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．
（1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?
（2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人?
【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人
【解析】
【分析】
（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可；
【详解】
解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．
依题意，得：
解之得：
答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米．
（2）设甲工程队最多可以调走m人．
依题意，得：
8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140．
解之得：m=8．
答：甲工程队最多可以调走8人．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键；
10．（山东宁阳·七年级期末）已知：用3辆
型车和1辆
型车载满货物一次可运货13吨；用1辆
型车和2辆
型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题．
（1）1辆
型车和1辆
型车载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用
型车6辆，
型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？
【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨（2）该物流公司有50吨货物要运输
【解析】
【分析】
（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据货物质量＝6辆A型车的满载量＋8辆B型车的满载量，代入数据即可得出结论．
【详解】
解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
根据题意得：
，
解得：
，
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）该批货物的质量为3×6＋4×8＝50（吨）．
答：该物流公司有50吨货物要运输．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（广东和平·八年级期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个
品牌的篮球和3个
品牌的篮球共需380元；购买4个
品牌的篮球和2个
品牌的篮球共需360元．
（1）求
、
两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个
品牌的篮球和3个
品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中
品牌打八折，
品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
【答案】（1）A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；（2）学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
【解析】
【分析】
（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，根据“购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量，列式计算，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；
（2）20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）．
答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列式计算．
12．（全国·八年级课时练习）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？
【答案】甲带钱
，乙带钱25．
【解析】
【分析】
设甲带钱x，乙带钱y，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱50．”列方程组求解即可．
【详解】
解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，
得
，
①×2得：
③，
③-②得：
，
把
代入③得
，
∴
．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．
13．（湖南荷塘·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】（1）每头牛3两银子，每头羊2两银子；（2）共有三种购买方法：方案一：购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊
【解析】
【分析】
（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买a头牛，b只羊，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】
解：（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．（含设）
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
∵a、b均为正整数
∴该方程的解为
或
或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、数学常识以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
14．（陕西城固·八年级期末）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元．
(1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；
(2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？
【答案】(1)甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元
(2)小静一共有三种购买方案
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，然后根据进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元，列出方程组求解即可；
（2）先求出甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，即可推出
，再由m、n都是自然数，进行求解即可．
(1)
解：设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，
由题意得：
，
解得
，
∴甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元，
答：甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元；
(2)
解：∵专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，
∴甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，
∴
，
∴
即
，
∵m、n都是自然数，
∴当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴小静一共有三种购买方案，
答：小静一共有三种购买方案．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程（组）求解．
15．（福建宁德·七年级期末）为缓解电力供需矛盾，促进能源绿色低碳发展，某市推行峰谷分时电价政策．峰谷分时电价为：峰时（8:00～22:00）每度电0.55元，谷时（22:00～次日8:00）每度电0.3元．小颖家10月份用电120度，缴纳电费61元．
(1)求小颖家10月份，峰时、谷时各用电多少度？
(2)为响应节电政策，小颖11月份计划将20%的峰时用电转移至谷时，这样在她用电量保持不变的情况下能节省电费多少元？
【答案】(1)小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
(2)在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．
【解析】
【分析】
（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据“10月份用电120度，缴纳电费61元”列出二元一次方程组求解即可；
（2）计算出变化后的电费，用61相减即可．
(1)
设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据题意得，
解得，
答：小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
(2)
=
=5（元）
答：在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
16．（广东阳山·八年级期末）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）因受季节影响，A种树苗价格下降10%，B种树苗价格上升20%，计划购进A种树苗25棵，B种树苗20棵，问总费用是多少元？
【答案】（1）A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；（2）总费用需1140元．
【解析】
【分析】
（1）设A、B两种树苗每棵的价格分别是x元、y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得答案；
（2）根据（1）所求得结果进行求解即可．
【详解】
解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）
=1140元。
答：总费用需1140元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
17．（广西桂林·七年级期末）2021年4月，习近平总书记赴广西考察调研的首站来到桂林市红军长征湘江战役纪念园，缅怀革命先烈．某校为传承红色基因，计划组织师生共500人赴纪念园开展教育活动．现有甲、乙两种型号的客车可租用，已知2辆甲型客车和1辆乙型客车可以满载师生130人，1辆甲型客车和2辆乙型客车可以满载师生140人．
（1）求甲、乙型两种客车每辆可分别满载多少人？
（2）若计划租用甲型客车a辆，乙型客车b辆，恰好能一次运送所有师生且每辆车都坐满，问共有哪几种租车方案？
【答案】（1）甲型客车每辆可满载40人，乙型客车每辆可满载50人；（2）共有3种租车方案，方案1：租用乙型客车10辆；方案2：租用甲型客车5辆，乙型客车6辆；方案3：租用甲型客车10辆，乙型客车2辆
【解析】
【分析】
（1）设甲型客车每辆可满载x人，乙型客车每辆可满载y人，根据“2辆甲型客车和1辆乙型客车可以满载师生130人，1辆甲型客车和2辆乙型客车可以满载师生140人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用师生人数＝每辆甲型客车的满载人数×租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的满载人数×租用乙型客车的数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案．
【详解】
解：（1）设甲型客车每辆可满载x人，乙型客车每辆可满载y人，
依题意得：
，
解得：
．
答：甲型客车每辆可满载40人，乙型客车每辆可满载50人．
（2）依题意得：40a+50b＝500，
∴b＝10﹣
a．
又∵a，b均为非负整数，
∴
或
或
，
∴该校共有3种租车方案，
方案1：租用乙型客车10辆；
方案2：租用甲型客车5辆，乙型客车6辆；
方案3：租用甲型客车10辆，乙型客车2辆．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
18．（全国·九年级专题练习）为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．
（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．
（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？
【答案】（1）第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．（2）小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．
【解析】
【分析】
（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，根据2月分的电费及3月份的电费可列出关于x与y的方程组，解方程组即可；
（2）按照阶梯电价的计算方法计算，4月份按第一档计算电费，5月份按第二档计算电费即可．
【详解】
（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，
依题意，得：
，
解得：
．
即第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．
（2）0.59×160＝94.4（元），
0.59×180+0.64×（230﹣180）＝138.2（元）．
所以小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组解决分段问题的应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程组．