专题3.4
乘法公式（专项训练）
1．（广宗县期末）计算（0.1x+0.3y）（0.1x﹣0.3y）的结果为（ ）
A．0.01x2﹣0.09y2 B．0.01x2﹣0.9y2
C．0.1x2﹣0.9y2 D．0.1x2﹣0.3y2
【答案】A
【解答】解：原式＝（0.1x）2﹣（0.3y）2
＝0.01x2﹣0.09y2，
故选：A．
2．（南京模拟）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x3﹣y3）（x3+y3） B．（c2﹣d2）（d2+c2）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（m﹣n）（﹣m+n）
【答案】D
【解答】解：A、对于（x3﹣y3）（x3+y3）可以令a＝x3，b＝y3，则原式可以化为（a﹣b）（a+b）符合平方差公式，故此选项不符合题意；
B、（c2﹣d2）（d2+c2）可以令a＝c2，b＝d2，则原式可以化为（a﹣b）（a+b）符合平方差公式，故此选项不符合题意；
C、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a+b）（a﹣b），（a﹣b）（a+b）符合平方差公式，故此选项不符合题意；
D、（m﹣n）（﹣m+n）＝﹣（m﹣n）（m﹣n），不符合平方差公式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（ ）
A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣12
【答案】B
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，
∴a2﹣b2＝10×6＝60，
故选：B．
4．（鄞州区校级开学）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（5x﹣2ab）（5x+2ab） B．（x﹣y）（﹣x﹣y）
C．（﹣ab﹣c）（ab﹣c） D．（m+n）（﹣m﹣n）
【答案】D
【解答】解：A．（5x﹣2ab）（5x+2ab）＝25x2﹣4a2b2，能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．原式＝﹣（x﹣y）（x+y），能利用平方差公式，因此选项B不符合题意；
C．原式＝（﹣c﹣ab）（﹣c+ab），因此能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．原式＝﹣（m+n）（m+n），不能利用平方差公式，因此选项D符合题意；
故选：D．
5．用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002﹣7 B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+72
【答案】B
【解答】解：107×93
＝（100+7）×（100﹣7）
＝1002﹣72，
故选：B．
6．计算2022﹣201×203的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：2022﹣201×203
＝2022﹣（202﹣1）×（202+1）
＝2022﹣2022+1
＝1．
故选：A．
7．（﹣5a2+4b2）（ ）＝25a4﹣16b4括号内应填 ．
【答案】﹣5a2﹣4b2
【解答】解：因为（25a4﹣16b4）÷（﹣5a2+4b2）＝（5a2+4b2）（5a2﹣4b2）÷（﹣5a2+4b2）＝﹣5a2﹣4b2．
故答案为：﹣5a2﹣4b2．
8．（河西区期末）计算：（x+3）（x﹣3）．
【解答】解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9．
9．利用公式（平方差公式或完全平方公式）计算下列各题：
（1）97×103；
（2）9982．
【解答】解：（1）97×103
＝（100﹣3）×（100+3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991．
（2）9982
＝（1000﹣2）2
＝10002﹣2×1000×2+22
＝1000000﹣4000+4
＝996004．
10．利用乘法公式计算：
（1）（﹣a+2）（﹣a﹣2）；
（2）1982．
【解答】解：（1）原式＝（﹣a）2﹣22
＝a2﹣4；
（2）原式＝（200﹣2）2
＝2002﹣2×200×2+22
＝40000﹣800+4
＝39204
11．（邯山区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
12．（德州期末）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【答案】A
【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
13．（余庆县期末）通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】A
【解答】解：图中阴影部分面积可以表示为：a2﹣b2，
还可以表示为：2×
＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
14．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]
＝（2x）2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
15．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：
．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（1﹣
）（1+
）（1﹣
）（1+
）⋯（1﹣
）（1+
）
＝
×
×
×
×⋯×
×
＝
．
16．（越秀区校级期末）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1 B．9x2﹣6x+1 C．9x2﹣6x﹣1 D．9x2+6x﹣1
【答案】B
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
17．（卧龙区校级期末）（﹣
m+1）2的计算结果为（ ）
A．1﹣
m2 B．1﹣m+
m2 C．
m2+1 D．1+m+
m2
【答案】B
【解答】解：由题意知，原式＝1﹣m+
m2，
故选：B．
18．（东方期末）若x2+mxy+y2是一个完全平方式，那m的值是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．±4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：∵x2+mxy+y2是完全平方式，
∴mxy＝±2x•y，
解得：m＝±2．
故选：A．
19．（丛台区校级期末）将1022变形正确的是（ ）
A．1022＝1002+22 B．1022＝（100+2）（100﹣2）
C．1022＝1002+2×100×2+22 D．1022＝1002+100×2+22
【答案】C
【解答】解：A.1022＝（100+2）2＝1002+2×100×2+22，因此选项A不符合题意；
B.1022＝（100+2）2＝1002+2×100×2+22，因此选项B不符合题意；
C.1022＝（100+2）2＝1002+2×100×2+22，因此选项C符合题意；
D.1022＝（100+2）2＝1002+2×100×2+22，因此选项D不符合题意；
故选：C．
20．（东丽区期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．a2﹣4a+4 B．1+4a2 C．4b2+4b﹣1 D．a2+ab+b2
【答案】A
【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2．
故选：A
21．（城关区校级期末）若a＝b+3，则a2﹣2ab+b2的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵a＝b+3，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝32
＝9，
故选：C．
22．（广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】C
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
23.（太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
24.（钢城区期末）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）根据图形可观察出：边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）①小正方的边长为a﹣b，面积可表示为：（a﹣b）2，
大正方形的面积为：（a+b）2，
四个矩形的面积和为4ab，
所以小正方形面积可表示为：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由题意得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8
25.（胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面积和．
【解答】解：（1）设3﹣x＝p，x﹣2＝q，则（3﹣x）（x﹣2）＝pq＝﹣1，（3﹣x）+（x﹣2）＝p+q＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2＝p2+q2
＝（p+q）2﹣2pq
＝1+2
＝3；
（2）设n﹣2021＝a，2022﹣n＝b，则（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝11，（n﹣2021）+（2022﹣n）＝a+b＝1，
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝ab
＝
＝
＝﹣5；
（3）由题意可得，DE＝MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则m﹣n＝2，（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝15，
∴（x﹣1）2+（x﹣3）2＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn，
＝4+30
＝34，
即正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为34．
26．（孝昌县期末）若a﹣b＝5，a2+b2＝13，则ab＝ ．
【答案】﹣6
【解答】解：将a﹣b＝5两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25，
把a2+b2＝13代入得：13﹣2ab＝25，
解得：ab＝﹣6．
故答案为：﹣6．
27．（黄陂区期末）已知a2+b2＝17，ab＝4，则（a+b）2的值是 ．
【答案】25
【解答】解：∵a2+b2＝17，ab＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
故（a+b）2的值为25，
故答案为25．
28．（大庆二模）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
当x+y＝4，xy＝3时，
原式＝42﹣2×3＝10．
29．（新邵县期中）已知：a2+ab＝15，b2+ab＝10，a﹣b＝1，求下列各式的值：
（1）a+b的值；
（2）a2+b2的值．
【解答】解：（1）∵a2+ab＝15，b2+ab＝10，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴（a+b）2＝25，
∴a+b＝±5；
（2）∵a﹣b＝1，a+b＝±5，
∴
．