【324495】2024春七年级数学下册 专题3.4 乘法公式（知识解读）（含解析）（新版）浙教版

专题3.4 乘法公式（知识解读）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题

【知识点梳理】

知识点1：平方差公式

_{平方差公式：}

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

知识点2：平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

①位置变化，xyyxx²y²

②符号变化，xyxyx²y² x²y²

③指数变化，x²y²x²y²x⁴y⁴

④系数变化，2ab2ab4a²b²

⑤换式变化，xyzmxyzm

xy²zm²

x²y²zmzm

x²y²z²zmzmm²

x²y²z²2zmm²

⑥增项变化，xyzxyz

xy²z²

xyxyz²x²xyxyy²z²x²2xyy²z²

知识点3：完全平方公式

_{完全平方公式}：

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

； ；

； .

【典例分析】

【考点1：平方差公式】

【典例1】用平方差公式计算：

（1）（1+x）（1﹣x）；（2）（a+3b）（a﹣3b）；

（3）（3+2a）（3﹣2a）；（4）（ x﹣2y）（﹣ x﹣2y）．

【解答】解：（1）原式＝1﹣x²；

（2）原式＝a²﹣（3b）²＝a²﹣9b²；

（3）原式＝3²﹣（2a）²＝9﹣4a²；

（4）原式＝ ＝ ．

【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．

【解答】解：原式＝a²﹣b²．

【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．

【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）

＝4m²﹣n²．

【变式1-3】（唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（　　）

A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）

C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）

【答案】A

【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；

∴选项A符合题意；

∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）²，

∴选项B不符合题意；

∵（x+2）（2+x）＝（x+2）²，

∴选项C不符合题意；

∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，

∴选项D不符合题意，

故选：A．

【典例2】用简便方法计算下列各题：

（1）99²；

（2）102²﹣101×103．

【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）²

＝100²﹣2×100×1+1

＝10000﹣200+1

＝9801；

（2）原式＝102²﹣（102﹣1）（102+1）

＝102²﹣102²+1

＝1．

【变式2-1】计算2021²﹣2020×2022的结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2×2021²﹣1

【答案】A

【解答】解：原式＝2021²﹣（2021﹣1）×（2021+1）

＝2021²﹣（2021²﹣1）

＝2021²﹣2021²+1

＝1．

故选：A．

【变式2-2】简便计算：

（1）2022²﹣2020×2024；

（2）188²﹣376×88+88²．

【解答】（1）2022²﹣2020×2024

＝2022²﹣（2022﹣2）（2022+2）

＝2022²﹣（2022²﹣4）

＝2022²﹣2022²+4

＝4．

（2）188²﹣376×88+88²

＝188²﹣2×188×88+88²

＝（188﹣88）²

＝100²

＝10000．

【考点2：平方差公式的几何背景】

【典例3】（邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是　　（请选择正确的一个）．

A．a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²

B．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

C．a²+ab＝a（a+b）

（2）若x²﹣9y²＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；

（3）计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．

【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，

阴影部分的面积为：a²﹣b²，

由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），

所以a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

故选：B．

（2）∵x²﹣9y²＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，

∵x+3y＝4

∴x﹣3y＝3

（3） ＝ ＝ ＝ ．

【变式3-1】（离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a²﹣ab＝a（a﹣b） B．a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）

C．（a+b）²＝a²+2ab+b² D．（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²

【答案】B

【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a²﹣b²；

拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），

所以得出：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），

故选：B．

【变式3-2】乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是　　；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式　　；

（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①103×97；

②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．

【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a²﹣b²，

由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²，

故答案为：（a+b）（a﹣b），a²﹣b²，（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²；

（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）

＝100²﹣3²

＝10000﹣9

＝9991；

②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]

＝（2x）²﹣（y﹣3）²

＝4x²﹣（y²﹣6y+9）

＝4x²﹣y²+6y﹣9．

【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）探究：上述操作能验证的等式是　　．

（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算： ．

【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a²﹣b²，

第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），

则a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）．

故答案为：a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）；

（2）原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）⋯（1﹣ ）（1+ ）

＝ × × × ×⋯× ×

＝ ．

【考点3：完全平方公式】

【典例4】（罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：

（1）（3a+b）² （2）（ x﹣2y）²

（3）（﹣x﹣y）² （4）199²．

【解答】解：（1）（3a+b）²＝9a²+6ab+b²；

（2）（ x﹣2y）²＝ x²﹣2xy+4y²；

（3）（﹣x﹣y）²＝x²+2xy+y²；

（4）199²＝（200﹣1）²＝40000﹣400+1＝39601．

【变式4-1】（沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣ ）²．

【解答】解：原式＝（4x+ ）²

＝16x²+4xy+ y²．

【变式4-2】（沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）²．

【解答】解：（3a﹣b）²＝（3a）²﹣2×3a×b+b²

＝9a²﹣6ab+b²．

【变式4-3】（静安区校级月考）（a+b﹣c）²．

【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]²

＝（a+b）²﹣2（a+b）c+c²

＝a²+2ab+b²﹣2ac﹣2bc+c²．

【典例5】（丰宁县校级期末）若x²+mx+81是完全平方式，则m的值是（　　）

A．±18 B．±9 C．9 D．18

【答案】A

【解答】解：∵x²+mx+81是一个完全平方式，

∴mx＝±2•x•9，

解得：m＝±18．

故选：A．

【变式5-1】（新会区校级期末）已知x²﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

【答案】D

【解答】解：若x²﹣ax+16＝（x﹣4）²时，此时a＝8，

若x²﹣ax+16＝（x+4）²时，此时a＝﹣8，

所以a＝±8，

故选：D．

【变式5-2】（沙坪坝区期末）若x²+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（　　）

A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．±2

【答案】C

【解答】解：∵（x±1）²＝x²±2x+1，

∴k+1＝±2，

∴k＝﹣3或1，

故选：C

【考点4：完全平方公式的几何背景】

【典例6】（西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的正方形的边长是　　；（用含a、b的式子表示）

（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系；

（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．

【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，

故答案为：a﹣b；

（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）²，图2各个部分的面积和为（a﹣b）²+4ab，

所以有（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab，

答：（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系为（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab；

（3）∵m+n＝8，mn＝12，

∴（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn

＝64﹣48

＝16，

∴m﹣n＝±4．

【变式6-1】（南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．

（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是　　；

（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别　　张．

【解答】解：（1）由题意知，（a+b）²＝a²+2ab+b²，

故答案为：（a+b）²＝a²+2ab+b²；

（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a²+3ab+b²，

∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，

故答案为：2，1，3．

【变式6-2】（黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（　　）

A．x²﹣y²＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）²＝x²﹣2xy+y²

C．（x+y）²＝x²+2xy+y² D．（x﹣y）²+4xy＝（x+y）²

【答案】C

【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．

图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）²

分部分来看：左下角正方形面积为x²，右上角正方形面积为y²，

其余两个长方形的面积均为xy，

各部分面积相加得：x²+2xy+y²，

∴（x+y）²＝x²+2xy+y²

故选：C．

【变式6-3】（邗江区期末）完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab+b²适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a²+b²的值；

解：因为a+b＝3，所以（a+b）²＝9，即：a²+2ab+b²＝9，又因为ab＝1，所以a²+b²＝7．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x²+y²＝40，求xy的值；

（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）²+x²＝　　；

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）²+（5﹣x）²＝　　．

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．

【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）²﹣（x²+y²）＝64﹣40＝26，

∴xy＝13．

（2）①令a＝4﹣x，b＝x，

则a+b＝4，ab＝5，

∴a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝16﹣10＝6.，

∴（4﹣x）²+x²＝6，

故答案为：6．

②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，

则a﹣b＝﹣1，ab＝8，

∴a²+b²＝（a﹣b）²+2ab＝1+16＝17，

∴（4﹣x）²+（5﹣x）²＝17，

故答案为：17．

（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，

令a＝25﹣x，b＝15﹣x，

则：a﹣b＝10，ab＝200，

∴a²+b²＝（a﹣b）²+2ab＝100+400＝500，

∴（25﹣x）²+（15﹣x）²＝500，

所以阴影部分的面积和为500平方米．

【考点5：完全平方公式拓展运用】

【典例7】（巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．

（1）求x²+y²的值；

（2）求（x﹣y）²的值．

【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，

∴x²+y²

＝（x+y）²﹣2xy

＝（﹣5）²﹣2×（﹣3）

＝25+6

＝31；

（2）∵xy＝﹣3，x²+y²＝31，

∴（x﹣y）²

＝x²+y²﹣2xy

＝31﹣2×（﹣3）

＝37．

【变式7-1】（平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x²+y²的值．

【解答】解：x²+y²

＝（x+y）²﹣2xy

＝5²﹣2×2

＝21．

【变式7-2】（尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：

（1）x²+y²；

（2）（x﹣y）²．

【解答】解：（1）∵（x+y）²＝x²+y²+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，

∴9＝x²+y²﹣2，

∴x²+y²＝11；

（2）∵x²+y²＝11，

∴（x﹣y）²＝x²+y²﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．

【变式7-3】（汝阳县期中）已知x²+y²＝29，x+y＝7，求各式的值：

（1）xy；

（2）x﹣y．

【解答】解：（1）∵x+y＝7，

∴（x+y）²＝49，

∴x²+2xy+y²＝49，

∵x²+y²＝29，

∴2xy＝20，

∴xy＝10．

（2）∵（x﹣y）²＝x²﹣2xy+y²＝29﹣20＝9，

∴x﹣y＝±3．