专题3.3
多项式的乘法（知识解读）
【学习目标】
1. 掌握多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．
2. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混
合运算。
【知识点梳理】
知识点1：单项式乘多项式
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
考点2：多项式乘多项式
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【典例分析】
【考点1：多项式乘单项式运算】
【典例1】（闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（
x2+xy﹣
y2）．
【解答】解：（﹣2xy）•（
x2+xy﹣
y2）
＝﹣2xy•
x2﹣2xy•xy+2xy•
y2
＝﹣3x3y﹣2x2y2+
xy3．
【变式1-1】（沈河区期末）（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）．
【解答】解：（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）
＝﹣6x3y2z+4x2y3z﹣2x2y．
【变式1-2】（石景山区期末）计算：x2y（x+y3）﹣（3xy2）2．
【解答】解：原式＝x3y+x2y4﹣9x2y4
＝x3y﹣8x2y4．
【变式1-3】（槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．
【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a
＝﹣6a2+12ab
【考点2：多项式乘多项式运算】
【典例2】（大安市月考）化简：（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）．
【解答】解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab
＝﹣4a2﹣2b2．
【变式2-1】（杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．
【解答】解：原式＝12a2b﹣3ab2+a2b﹣ab2
＝13a2b﹣4ab2．
【变式2-2】（长宁区校级期中）
．
【解答】解：
＝
＝﹣2x3y+4x2y2﹣3x2y2+6x3y
＝4x3y+x2y2．
【变式2-3】（高唐县期中）化简下列整式：
（1）（
x﹣
xy）•（﹣12y）；
（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．
【解答】解：（1）（
x﹣
xy）•（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；
（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）
＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a
＝6a3﹣35a2+13a．
【考点3：多项式乘法的有关应用】
【典例3】（东方期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
（3）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【解答】解：（1）长方形地块的面积为：
（3a+2b）（2a+b）
＝6a2+3ab+4ab+2b2
＝（6a2+7ab+2b2）平方米．
（2）小长方形地块的面积为：
2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．
（3）绿化部分的面积为：
6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，
当a＝3，b＝1时，
原式＝6×32+3×3×1+4×12
＝6×9+9+4
＝54+9+4
＝67（平方米）．
【变式3-1】（韩城市期末）如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
【解答】解：（1）根据题意得：
（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2
＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）
＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（14ab﹣8b2）平方米，
答：绿化的面积是（14ab﹣8b2）平方米；
（2）根据题意得：
（14ab﹣8b2）÷8b×200
＝（
a﹣b）×200
＝（350a﹣200b）元，
答：该物业应该支付绿化队需要（350a﹣200b）元费用．
【变式3-2】（陕州区期末）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．
【解答】解：
（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是
（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab
答：广场上需要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．
（2）把a＝30，b＝10代入
5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400 m2
答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．
【变式3-3】（双阳区校级月考）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+5；乙长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）
（1）图中的甲长方形的面积S1＝ ，乙长方形的面积S2 ，比较：S1 S2（填“＜”、“＝”或“＞”），并说明理由；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．
【解答】解：（1）甲长方形的面积S1＝（m+1）（m+5）＝m2+6m+5，
乙长方形的面积S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
S1＜S2，
理由如下：
S1﹣S2
＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）
＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8
＝﹣3＜0，
即S1﹣S2＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：m2+6m+5，m2+6m+8，＜．
（2）∵正方形的周长与图中的甲长方形周长相等，
∴正方形的周长为：2（m+1+m+5）＝4m+12，
∴正方形的边长为：m+3，
∴正方形的面积为：S＝（m+3）2＝m2+6m+9，
∴S﹣S1
＝m2+6m+9﹣（m2+6m+5）
＝m2+6m+9﹣m2﹣6m﹣5
＝4．
∴正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差是一个常数，这个常数是4
【典例4】（石泉县期末）若（x+3p）（x2﹣x+
q）的积中不含x的一次项与x的二次项．
（1）求p、q的值；
（2）求式子p2020q2021的值．
【解答】解：（1）（x+3p）（x2﹣x+
q）
＝x3﹣x2+
qx+3px2﹣3px+pq
＝x3+（3p﹣1）x2+（
q﹣3p）x+pq，
∵不含x项与x2项，
∴3p﹣1＝0，
q﹣3p＝0，
∴p＝
，q＝3；
（2）当p＝
，q＝3时，
原式＝（
）2020×32021
＝（
）2020×32020×3
＝（
×3）2020×3
＝12020×3
＝1×3
＝3．
【变式4-1】（长宁区校级期中）若关于x的多项式2x+a与x2﹣bx﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a、b的值．
【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）
＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a
＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．
∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，
∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，
∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．
【变式4-2】（阎良区期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，求m，n的值．
【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）
＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n
＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，
∵展开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，
∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，
解得m＝﹣1，n＝2．
【变式4-3】（温江区校级期中）已知（x2+mx+1）（x﹣n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，求mn+m﹣n的值．
【解答】解：（x2+mx+1）（x﹣n）
＝x3﹣nx2+mx2﹣mnx+x﹣n
＝x3+（﹣n+m）x2+（﹣mn+1）x﹣n
∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣2，
∴﹣mn+1＝0，﹣n+m＝﹣2，
整理得：mn＝1，m﹣n＝﹣2，
∴mn+m﹣n
＝1﹣2
＝﹣1．