专题2.2
解二元一次方程组（知识解读）
【学习目标】
1.了解什么是二元一次方程组及其解．
2.会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
3.会运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，
【知识点梳理】
知识点1：二元一次方程组
1.方程组：把x+y=2
和x-y=0
合在一起写成
，就组成了一个方程组
2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解．
知识点2：解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【典例分析】
【考点1：二元一次方程组的概念】
【典例1】（岳麓区校级期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵方程组中含有分式方程，
∴选项A不符合题意；
∵方程组中含有3个未知数，
∴选项B不符合题意；
∵方程组中共有2个未知数，未知项的次数为1，两个方程都是整式方程，
∴选项C符合题意；
∵方程组中含有二次项，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（武江区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
D．方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（武江区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
D．方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：C．
【考点2：二元一次方程组的解】
【典例2】（白云区期中）下列是二元一次方程组
的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：
，
②代入①得，x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②得，y＝2，
∴方程组的解为
，
故选：D．
【变式2-1】（五华区校级期中）已知一个二元一次方程组的解是
，则这个方程组可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：A选项，x+y＝﹣3，xy＝2，故该选项符合题意；
B选项，x﹣2y＝﹣1﹣（﹣4）＝3，故该选项不符合题意；
C选项，y﹣x＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，故该选项不符合题意；
D选项，y﹣x＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，故该选项不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】（路北区二模）已知方程组
的解为
，则〇、▢分别为（ ）
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
【答案】C
【解答】解：把x＝2代入x+y＝3得，2+y＝3，
把y＝1代入2x+y＝〇，〇＝2×2+1＝5．
故选：C．
【考点3：二元一次方程组的解法：代入消元法】
【典例3】（江津区校级期中）用代入消元法解方程组：
【解答】解：（1）
，
把②代入①得2（1﹣5y）+3y＝﹣19，
解得y＝3，
把y＝3代入②得x＝1﹣5×3＝﹣14，
∴方程组的解为
；
（2）
，
由②得x＝13﹣4y③，
把③代入①得，2（13﹣4y）+3y＝16，
解得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝13﹣4×2＝5，
所以方程组的解为
【变式3-1】（南安市期中）关于x、y的二元一次方程组
，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
【答案】D
【解答】解：关于x、y的二元一次方程组
，
用代入法消去y后所得到的方程为3x﹣（x﹣5）＝8，
去括号得：3x﹣x+5＝8．
故选：D．
【变式3-2】（方城县期中）运用代入消元法解二元一次方程组
，使代入后化简比较简便的变形是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝2x﹣5
【答案】D
【解答】解：
，
由②，得y＝2x﹣5，
故选：D．
【考点4：二元一次方程组的解法：加减消元法】
【典例4】（方城县期中）运用加减消元法解方程：
（1）
．（2）
【解答】（1）
，
①﹣②得：
4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：
2x+3＝7，
解得：x＝2，
∴原方程组的解为：
．
（2）
，
①×3+②得12x+2x＝27+1，
解得x＝2，
把x＝2代入①得8﹣y＝9，
y＝﹣1，
∴方程组的解为
．
【变式4-1】（张家川县期末）关于x、y的二元一次方程组
，用加减消元法消去x后得到的结果为（ ）
A．y＝2 B．2y＝2 C．﹣2y＝2 D．12y＝36
【答案】B
【解答】解：
，
②﹣①得：2y＝2，
故选：B．
【变式4-2】（伊川县期中）解方程组：
（用加减消元法）．
【解答】解：
，
①+②，得4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入②，得y＝﹣1，
故原方程组的解为：
．
【变式4-3】（朝阳区校级期中）用加减法解方程组
．
【解答】解：
，
①+②×2得：6x＝1，
解得：x＝
，
把x＝
代入②得：
﹣y＝1，
解得：y＝﹣
，
则方程组的解为
．
【考点5：同解型】
【典例5】（饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组
和
有相同解，求（﹣a）b值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得
，
代入（2）得
，
解得：
．
所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．
【变式5-1】（梁山县期末）已知关于x，y的方程组
和
的解相同，则（3a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2021
【答案】A
【解答】解：联立得：
，
解得：
，
把
代入其他方程得：
，
①+②得：3a+b＝﹣1，
∴（3a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
【变式5-2】（九龙坡区期末）若关于x、y的方程组
和
有相同的解，则（a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2021
【答案】A
【解答】解：由题意，关于x、y的方程组
与方程组
的解相同，
解方程组
得
．
把解
代入方程组
中得
，
（①+②）÷4，得a+b＝﹣1．
∴（a+b）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1．
故选：A．
【考点6：错解型】
【典例5】（南京模拟）解方程组
时，小强正确解得
，而小刚看错了c，解得
．
（1）求出c的值；
（2）求a，b的值．
【解答】解：（1）把
代入方程组
得：
，
解得：c＝1；
（2）由题意得，
把
代入①得：a+2b＝6，即a＝6﹣2b③，
把③代入2a+b＝6，得：12﹣4b+b＝6，
解得：b＝2，
把b＝2代入③得：a＝2，
则a、b的值分别为2、2．
【变式6-1】（天心区期末）甲、乙两名同学在解方程组
时，甲解题时看错了m，解得
；乙解题时看错了n，解得
．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【解答】解：把
代入得：7+2n＝13，
把
代入得：3m﹣7＝5，
解得：n＝3，m＝4，
∴原方程组为
，
解得：
．
【变式6-2】（和平区校级期中）解方程组
时，小强正确解得
而小刚之看错了c，解得
（1）求出方程组中的c值．
（2）求a、b的值．
【解答】解：（1）方程组
，
把
代入方程组得：
，
解得：c＝3；
（2）把
代入①得：﹣2a+4b＝6，即a＝2b﹣3③，
把③代入方程组得：2b﹣3+b＝3，
解得：b＝2，
把b＝2代入③得：a＝1，
则a、b的值分别为1、2．
【考点7：方程组的含参数问题】
【典例7】（张湾区期中）关于x，y、的方程组
的解x，y的和为10，则k的值为（ ）
A．10 B．14 C．0 D．﹣14
【答案】B
【解答】解：两式相加得：3x+3y＝2k+2，
∴3（x+y）＝2k+2，
∵x，y的和为10，
∴x+y＝10，
∴2k+2＝30，
∴k＝14．
故选：B．
【变式7-1】（毕节市期末）若关于x、y的二元一次方程组
的解，也是方程3x+y＝20的解，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．无法计算
【答案】C
【解答】解：
，
①+②得：4x＝12m，
解得：x＝3m，
把x＝3m代入①得：3m+2y＝5m，
解得：y＝m，
把x＝3m，y＝m代入3x+y＝20得：9m+m＝20，
解得：m＝2．
故选：C．
【变式7-2】（盘龙区期末）若关于x、y的方程组
的解满足x+y＝3，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣1 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：
，
①+②，得：3x+3y＝3a+6，
∴x+y＝a+2，
∵x+y＝3，
∴a+2＝3，
∴a＝1．
故选：D