专题02 解二元一次方程组
姓名：___________班级：___________考号：___________
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一、选择题(每题2分，共20分) |
1．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）已知方程组
的解也是关于
，
的方程
的一个解，则
的值为（ ）
A．1 B．
C．
D．3
【答案】B
【思路点拨】先求出原方程组的解，再把该解代入方程
中即可求出a的值.
【规范解答】解：
把②式带入①式得
把
代入①式得
∴原方程组的解是
把
代入方程
得
故选：B
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解法及二元一次方程的解的概念.熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
2．(本题2分)（江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组
的唯一解是
，则关于m，n的方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】先将关于
的方程组变形为
，再根据关于
的方程组的解可得
，由此即可得出答案．
【规范解答】解：关于
的方程组可变形为
，
由题意得：
，
解得
，
故选：C．
【考点评析】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
3．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组
，下列结论：
①当
时，方程组的解也是
的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若
，则
．
其中不正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路点拨】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程
即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程
的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【规范解答】解：将
代入原方程组，得
，
解得：
．
将
代入方程
的左右两边，
得：左边
，右边
，即左边
右边，
∴当
时，方程组的解不是方程
的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得
，
∴
，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵
，
∴x、y为自然数的解有
，
，
，
，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵
，
，
∴
，
解得：
，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
【考点评析】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．
4．(本题2分)（七年级课时练习）无人知甲、乙两人年龄，只知道当甲是乙现在的年龄时，乙只有2岁；当乙到甲现在的年龄时，甲是38岁了，问甲、乙现在的年龄各是（ ）
A．24岁，14岁 B．26岁，14岁 C．26岁，16岁 D．28岁，16岁
【答案】B
【思路点拨】找等量关系，列方程组解题．
【规范解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，则
，
解得
．
所以甲、乙现在的年龄各是26岁，14岁．
故选：B．
【考点评析】本题考查二元一次方程组解应用题，按等量关系列方程组是解题的关键．
5．(本题2分)（全国·七年级专题练习）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【规范解答】解：∵
，
∴
，
解得：
，
故选：C．
【考点评析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
6．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）若方程组
的解是
，则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】将
变形为
，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
【规范解答】解：将
变形为
,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：
，
因为方程组
的解是
，
所以
，解得：
，
所以方程组
的解是
，
故选：A．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
7．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组
，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，
的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当
时，
D．当
，方程组的解也是方程
的解
【答案】D
【思路点拨】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【规范解答】解：
，解得：
，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，
，值始终不变，成立；
B选项，
，解得
，存在这样的实数k，成立；
C选项，
，解得
，成立；
D选项，当
时，
，则
，不成立；
故选D．
【考点评析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
8．(本题2分)（浙江·七年级专题练习）若方程组
的解是
，则方程组
的解是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路点拨】先将
化简为
，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；
【规范解答】解：
，
，
设
，
，
方程组
的解是
，
方程组
的解为
，
，
解得：
．
故选C．
【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
9．(本题2分)（七年级统考课时练习）“若方程组
的解是
，则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【规范解答】∵方程组
的解是
，
∴
，
两边都除以5得：
，
对照方程组
可得，
方程组
的解为
，
故选D．
【考点评析】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．
10．(本题2分)（河北秦皇岛·七年级校考期末）由方程组
可得出x与y的关系式是（ ）
A．x+y=9 B．x+y=3
C．x+y=－3 D．x+y=－9
【答案】A
【规范解答】分析：由①得m=6-x，代入方程②，即可消去m得到关于x，y的关系式．
解答：解：
由①得：m=6-x
∴6-x=y-3
∴x+y=9．
故选A．
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二、填空题(每题2分，共20分) |
11．(本题2分)（浙江宁波·七年级校考期中）若关于
、
的方程组
的解是
，则方程组
解为______．
【答案】
【思路点拨】先将
化为
的形式，然后通过整体思想解决即可．
【规范解答】方程组
，可化为
，
∵方程组
的解是
，
∴
，
解得
，
即方程组
解为
故答案为：
．
【考点评析】本题主要考查整体法解二元一次方程组，熟练掌握整体法解二元一次方程组是解决此题的关键．
12．(本题2分)（七年级单元测试）若关于
，
的二元一次方程组
的解也是二元一次方程
的解，则
___________．
【答案】
【思路点拨】先解二元一次方程组，得到
，再根据方程组与方程同解，代入二元一次方程
，得到关于
的方程，求解即可得到答案．
【规范解答】解：
，
由①
②得
，解得
；
由②
①得
，解得
；
方程组的解为
，
关于
，
的二元一次方程组
的解也是二元一次方程
的解，
，即
，解得
．
【考点评析】本题考查利用方程组与方程的同解求参数问题，涉及解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，熟练掌握解方程及方程组的方法是解决问题的关键．
13．(本题2分)（湖南邵阳·七年级统考期末）若
是方程组
的解，则
的值是______________.
【答案】
【思路点拨】将
，
代入方程组中，得到关于
与
的方程组，解出方程组即得到答案．
【规范解答】解:
是方程组
的解，
，
①
②得：
，
，
①
②得：
，
，
，
故答案为：
．
【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，方程组的解是使方程组中两方程均成立的未知数的值．
14．(本题2分)（全国·七年级专题练习）方程组
的解是
，请你写出方程组
的解______．
【答案】
【思路点拨】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【规范解答】解：方程组
变形为
，
∵方程组
的解为
，
∴
，解得：
，
故答案为：
．
【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．(本题2分)（全国·七年级专题练习）三个同学对问题“若方程组
，的解是
求方程组
的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
【答案】
【思路点拨】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【规范解答】解：设m=x−1，n=y−2，
∵方程组
，的解是
，
∴
的解是
，
∴
，
∴
，
故答案为
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．
16．(本题2分)（七年级课时练习）已知关于x，y的方程组
的解是
，则与方程组
有关的
的值为_____．
【答案】
【思路点拨】由整体换元思想可得
，求出
，
，然后代入求值即可．
【规范解答】∵关于x，y的方程组
的解是
，
∴方程组
的解满足关系式
，
解得：
，
∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16．
故答案为：-16．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
17．(本题2分)（江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）若关于
，
的方程组
的解为
，则方程组
的解为__________．
【答案】
【思路点拨】将解方程组变形为
，依据题意得
，求解即可．
【规范解答】∵关于
，
的方程组
的解为
，
将解方程组
变形为
，
∴关于
，
的方程组
的解为
，
解得
，
故答案为：
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想．
18．(本题2分)（江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知多项式
是二次多项式，则
________．
【答案】13
【思路点拨】根据多项式为二次多项式，可得
，进一步求出
，即可求出
．
【规范解答】解：∵
．
且此多项式为二次多项式，
∴
，解得
．
∴
．
故答案为：13
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的解法及多项式的次数的定义：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．一个多项式的次数为二次，即此多项式中高于二次的项的系数为0．本题根据多项式的次数的定义，得出四次项系数、三次项系数都为0是解题的关键．
19．(本题2分)（全国·七年级专题练习）若方程组
的解是
，则方程组
的解是_____．
【答案】
【思路点拨】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5，通过换元替代的方法来解决．
【规范解答】解：将方程组
的两个方程都乘以5得：
，
∵方程组
的解是
，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
【考点评析】本题是考查了解二元一次方程组，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，有一定的难度．
20．(本题2分)（重庆·七年级校考期中）已知关于
，
的二元一次方程组
的解关于
，
满足
，
，则
的取值范围为________．
【答案】
【思路点拨】先解关于
，
的二元一次方程组，然后根据
，
，得到关于
的一元一次不等式组即可求解．
【规范解答】解：
①＋②，得
，
解得
，
将
代入①得，
，
解得
，
∵
，
，
∴
，
解得
故答案为：
【考点评析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的解法，正确地求得二元一次方程组的解是解题的关键．
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三、解答题(共60分) |
21．(本题6分)（广东河源·七年级校考期末）解方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）先由②
得到
，再由①
③求出x的值，最后代入②求解即可；
（2）先由①
②求出x的值，再代入①求出y的值即可．
【规范解答】（1）
，
②
，得
，
①
③，得
，
，
把
代入②，得：
，
方程组的解为：
（2）原方程组化为
，
①
②，得
，
，
把
代入①，得
，
方程组的解为：
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
22．(本题6分)（天津南开·七年级南开翔宇学校校考期末）解下列方程：
(1)
；
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤，解方程即可；
（2）利用加减消元法，解方程组即可．
【规范解答】（1）解：去分母得：
去括号，得：
移项，得：
合并，的：
系数化1，得：
．
（2）解：原方程组整理得：
，
由
可得：
，解得：
，
把
代入①得：
，
所以原方程组的解为：
．
【考点评析】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组．熟练掌握解一元一次方程的步骤，以及加减消元法解二元一次方程组，是解题的关键．
23．(本题8分)（四川绵阳·七年级校考期中）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）
；（2）
【思路点拨】（1）先利用绝对值、算数平方根、立方根的定义化简，再进行加减运算
（2）先化简方程组，再用加减消元法解方程组即可
【规范解答】解：（1）
（2）
化简方程组得：
①
②，得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
∴方程组的解为：
【考点评析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组，涉及到绝对值、算数平方根、立方根等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键
24．(本题8分)（浙江宁波·七年级校联考期中）若方程组
的解是
，求方程组
的解．
【答案】方程组
的解为
【思路点拨】将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到
，求出
的值即可得到答案．
【规范解答】解：将方程组
的两个方程的两边同时除以4，得
，
方程组
的解是
，
，
解得：
，
方程组
的解为
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于
的方程组
是解题的关键．
25．(本题8分)（七年级课时练习）解下列方程组：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）先化简方程组，根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【规范解答】（1）解：
得，
③，
得，
，
解得
，
把
代入①得
，
解得
，
所以方程组的解为
；
（2）原方程组可以化为：
，
得
，
把
代入①得
，
解得
，
所以方程组的解为
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答，第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法，解题的关键是根据方程的特点选用合适的方法．
26．(本题8分)（四川内江·七年级校考期中）【发现问题】已知
，求
的值．
方法一：先解方程组，得出
，
的值，再代入，求出
的值．
方法二：将①
②，求出
的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①
②
，可得
．
令等式左边
，比较系数可得
，求得
．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求
的值；
（2）对于方程组
利用方法二的思路，求
的值；
【迁移应用】
（3）已知
，求
的范围．
【答案】（1）2；（2）26；（3）
【思路点拨】（1）利用方法二来求
的值；由题意可知
；
（2）先根据方法二的基本步骤求出
，即可得
；
（3）通过方法二得出
，再利用不等式的性质进行求解．
【规范解答】解：（1）利用方法二来求
的值；
由题意可知：
，
即
；
（2）对于方程组
，
由①
②
可得：
，
则
，
由③
④可得：
，
，
将
代入④可得
，
，
则
；
（3）已知
，
通过方法二计算得：
，
又
，
．
【考点评析】本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．
27．(本题8分)（江苏盐城·七年级校考期中）[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程
变形：
，
即
，
把方程
代入
得：
，
所以
，
将
代入
得
，
所以原方程组的解为
．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组
，
（2）已知x，y满足方程组
，求
的值．
【答案】（1）原方程组的解为
；（2）
【思路点拨】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【规范解答】解：
将方程
变形得:
把方程
代入
得:
，
所以
将
代入
得
，
所以原方程组的解为
；
，
把方程
变形，得到
，
然后把
代入
，得
，
∴
，
∴
；
【考点评析】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
28．(本题8分)（湖南永州·七年级校考阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组
，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组
呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组
与
有相同的解，求a、b的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）a＝3，b＝2．
【思路点拨】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；
（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．
【规范解答】解：（1）两个方程相加得
，
∴
，
把
代入
得
，
∴方程组的解为：
；
故答案是：
；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为
，
由（1）可得：
，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴
，
故答案是：
；
(3)由方程组
与
有相同的解可得方程组
，
解得
，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【考点评析】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．