专题1.4 平行线的性质（知识解读）

【学习目标】

1、掌握平行线的三个性质

2、会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算

3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区别

【知识点梳理】

知 识点：平行线性质

性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵a∥b

∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）

性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵a∥b

∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）

性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵a∥b

∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）

【典例分析】

【考点1：平行线性质直接应用】

【典例1】（九龙坡区校级月考）如图，直线AB，CD被直线DE所截，AB∥CD，∠1＝40°，则∠D的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．140°

【答案】B

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠D，

∵∠1＝40°，

∴∠D＝40°，

故选：B．

【变式1-1】（万州区月考）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（　　）

A．130° B．135° C．140° D．145°

【答案】B

【解答】解：∵∠AOB＝45°，CD∥OB，

∴∠AED＝∠AOB＝45°，

∵∠AEC+∠AED＝180°，

∴∠AEC＝135°，

故选：B．

【变式1-2】（乐清市开学）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠2＝110°，则∠1的度数是（　　）

A．130° B．110° C．80° D．70°

【答案】D

【解答】解：如图：

∵a∥b，∠2＝110°，

∴∠3＝∠2＝110°，

∵∠1+∠3＝180°，

∴∠1＝70°．

故选：D．

【考点2：平行线性质与三角板结合】

【典例2】（沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．35° B．20° C．15° D．10°

【答案】C

【解答】解：由图可得，∠CDE＝45°，∠C＝90°，

∴∠CED＝45°，

又∵DE∥AF，

∴∠CAF＝∠CED＝45°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，

故选：C．

【变式2-1】（龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°

【答案】B

【解答】解：∵AB∥CF，

∴∠ABD＝∠EDF＝45°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，

故选：B．

【变式2-2】（邓州市二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB∥DE，则∠EFC的度数是（　　）

A．65° B．60° C．70° D．75°

【答案】D

【解答】解：如图：

∵AB∥DE，

∴∠BGF＝∠D＝45°，

由三角形外角的性质可知：∠BGF＝∠DFA+∠A，

∴∠DFA＝∠BGF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，

∴∠EFC＝180°﹣∠EFD﹣∠DFA＝180°﹣90°﹣15°＝75°．

故选：D．

【考点3：平行线性质与折叠结合】

【典例3】（朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（　　）

A．50° B．65° C．70° D．80°

【答案】A

【解答】解：由题知：∠AEF＝∠A′EF＝130°，AD∥BC，

∴∠AEF+∠EFB＝180，

∴∠BFE＝50°．

故选：A．

【变式3-1】（平南县期末）如图，把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在A'、B'处．若∠B′FC＝50°，则∠AEF的度数是（　　）

A．114° B．115° C．116° D．120°

【答案】B

【解答】解：由题意得，∠BFE＝∠B′FE．

∵∠B′FC＝50°，

∴∠B′FB＝180°﹣∠B′FC＝130°．

∴∠BFE＝65°．

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC．

∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．

故选：B．

【变式3-2】（靖西市期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠AED'＝52°，则∠EFB等于（　　）

A．70° B．64° C．55° D．52°

【答案】B

【解答】解：∵∠AED'＝52°，

∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝128°，

由折叠得：

∠DEF＝∠D′EF＝ ∠DED′＝64°，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB＝64°，

故选：B．

【考点4：平行线的判定与性质】

【典例4】（青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．

（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．

（2）试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵∠CDG＝∠B，

∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），

∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），

∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），

（2）解：∠1＝∠2，

理由∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

【变式4-1】（衡山县期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明EF∥BC．请将下面的推理过程补充完整．

证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）．

∠2＝∠4（　　）．

∴∠　　+∠4＝180°　　．

∴　　∥　　（　　）．

∴∠B＝∠　　（　　　）．

∵∠3＝∠B（　　）．

∴∠3＝∠　　（　　）．

∴EF∥BC（　　）．

【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4 （对顶角相等），

∴∠1+∠4＝180°，

∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠B＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），

∵∠3＝∠B（已知），

∴∠3＝∠FDC（等量代换），

∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：对顶角相等；1；等量代换；AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；FDC，两直线平行，同位角相等；已知；FDC，等量代换；内错角相等，两直线平行．

【变式4-2】（东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．

（1）求证：AB∥CD．

（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠1＝∠3，

又∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴AB∥CD；

（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，

∴∠1＝∠2＝30°，

∵AC⊥CB，

∴∠ACB＝90°，

∴∠DCB＝120°，

∵AB∥CD，

∴∠DCB+∠B＝180°，

∴∠B＝60°．

【变式4-3】（昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．

（1）求证：AD∥EF；

（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．

【解答】（1）证明：∵∠DAC+∠ACB＝180°，

∴BC∥AD，

∵CE平分∠BCF，

∴∠ECB＝∠FCE，

∵∠FEC＝∠FCE，

∴∠FEC＝∠BCE，

∴BC∥EF，

∴AD∥EF；

（2）解：设∠BCE＝∠FCE＝x，

则∠BCF＝2∠FCE＝2x，∠DAC＝3∠BCF＝3×∠FCE＝3×2x＝6x，

依题意得：6x+x+x+28°＝180°

解得：x＝19°，

即∠FEC＝∠FCE＝19°，

∴∠DAC＝6x＝6×19°＝114°．

答：∠DAC的度数为114°，∠FEC的度数为19°．