专题03用二元一次方程组、分式方程解决实际问题
【考点一解决实际问题列二元一次方程组】
1．（全国·八年级单元测试）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．
【详解】
依题意，得：
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
2．（江西吉安·八年级期末）中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重列出方程即可．
【详解】
解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，
由根据题意得
，
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
3．（江苏·徐州市新城实验学校一模）《九章算术》原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?译文：现有一些人共买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，则还差4钱，问共多少人，物品价格多少钱?设共有x人，物品的价格是y钱，则可列方程组为____________·
【答案】
【解析】
【分析】
找出题中的等量关系，列出相应的的方程组，即可得．
【详解】
解：根据题意得，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了列方程组解应用题，解题的关键是理解题意，找出题中的等量关系．
4．（广东·
广州市番禺区教师进修学校（广州市番禺区教师发展中心）七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元．设甲服装的成本是
元，乙服装的成本是
元，根据题意可列方程组为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元，”“共获利157元”，列方程组解决问题．
【详解】
解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，由题意得
，
故答案为：
．
【点睛】
此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
5．（吉林四平·七年级期末）新冠疫情得到有效控制后，妈妈去药店为即将开学的杨光和已经复工的爸爸购买口罩．若买50只一次性医用口罩和15只N95口罩需付325元；若买60只一次性医用口罩和30只N95口罩需付570元．设一只一次性医用口罩
元，一只N95口罩
元，根据题意，可列方程组为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据买50只一次性医用口罩和15只N95口罩需付325元；买60只一次性医用口罩和30只N95口罩需付570元．列二元一次方程组即可.
【详解】
解：由题意得：
，
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准题中等量关系列方程是解题关键．
6．（广东·湛江市雷阳实验学校七年级阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元，问共有几个人购买此物品？设有
人共同购买，则列出的方程是______________
【答案】
【解析】
【分析】
设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组即可．
【详解】
解：设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，
依题意，得：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（北京·中国人民大学附属中学分校一模）某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组：______________．
【答案】
【解析】
【分析】
两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．列出方程组即可；
【详解】
设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意可得：
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（四川·九年级专题练习）某商店购进A、B两种商品共50件．已知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组______．
商品类别 |
进货单价（元/件） |
销售单价（元/件） |
A |
30 |
40 |
B |
40 |
55 |
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意即可直接列出方程组．
【详解】
设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，
则根据题意可列方程组
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
【考点二解决实际问题列分式方程】
1．（山东潍坊·一模）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2分钟．设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为
千米/小时，根据实行潮汐车道前后的时间关系建立方程即可，注意时间要化成小时．
【详解】
由题意得，实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为
千米/小时，则列出方程：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象成分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
2．（辽宁鞍山·一模）某高科技企业要完成6000个零件的生产任务，按原计划工作一天后，为了尽快完成该项任务，延长了工作时间，之后每天生产的零件数量是原计划的
倍，结果提前3天完成任务，求原计划每天生产零件多少个？设原计划每天生产零件x个，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为
个，根据提前3天完成任务，列方程即可．
【详解】
解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为
个，
由题意得，
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
3．（四川眉山·八年级期中）“绿水青山就是金山银山”，为改善环境，某村计划在荒山上种植960棵树苗，实际比原计划每天多种20棵树苗，结果提前4天完成任务，原计划每天种树苗多少棵？设原计划每天种树苗x棵，根据题意可列出方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，找出等量关系式：原计划所用天数-实际所用天数=4，进而列出方程．
【详解】
解：由题意，得
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际问题，找到等量关系式是解决问题的关键．
4．（山东青岛·一模）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程____________．
【答案】
【解析】
【分析】
设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可．
【详解】
解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，
根据题意得：
．
故答案为：
．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．
5．（云南·云大附中模拟预测）疫情无情人有情，某制药厂要为抗击疫情第一线捐赠一种急救药品，有两种包装，大瓶比小瓶可多装20克该药品，已知120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍．设小瓶每个可装这一药品x克，则可列方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，根据“120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍”即可列出方程．
【详解】
解：设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，
由题意得：
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到合适的等量关系列方程是解决问题的关键．
6．（山东·青岛大学附属中学一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：________．
【答案】
【解析】
【分析】
设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可．
【详解】
解：设当前参加生产的工人有x人，
依题意得：
．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程．
7．（广西南宁·八年级期末）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题．某试验基地现有
、
两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻．已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍，
块试验田比
块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是
吨，则可列得的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2x吨，根据“A块试验田比B块试验田少10亩”作为等量关系列方程．
【详解】
解: 设乙种杂交水稻的亩产量是x吨，则甲种杂交水稻的亩产量1.2x吨，
根据题意得
，
故答案为
．
【点睛】
本题考查列分式方程，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系．
8．（吉林四平·八年级期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是1.2x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】
解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，
依题意可得：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【考点三用二元一次方程组解决实际问题】
1．（海南·陵水黎族自治县教研培训中心一模）为了更好地提高业主垃圾分类的意识，某小区管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和5个垃圾箱共需要490元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜50元．求购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需要多少元．
【答案】购买1个温馨提示牌需要30元，购买1个垃圾箱需要80元
【解析】
【分析】
设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，根据买3个温馨提示牌和5个垃圾箱共需要490元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜50元列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】
设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元．
根据题意得：
解得
答：购买1个温馨提示牌需要30元，购买1个垃圾箱需要80元．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，能够找到等量关系是解决问题的关键．
2．（海南省直辖县级单位·一模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共
，其中桥梁长度比隧道长度的9倍少
，求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度49km，隧道长度6km
【解析】
【分析】
设港珠澳大桥隧道长度为
，桥梁长度为
，由桥梁和隧道全长共
，得
，桥梁长度比隧道长度的9倍少
，得
，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】
解：设港珠澳大桥隧道长度为
，桥梁长度为
，根据题意得：
由题意列方程组得：
，
解得：
，
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为
和
．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
3．（海南华侨中学一模）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，供需花费1500元；如果购买120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，供需花费1720元．每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
【答案】每瓶免洗手消毒液的价格为9元，每瓶84消毒液的价格为4元
【解析】
【分析】
设每瓶免洗手消毒液的价格为x元，每瓶84消毒液的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】
解：设每瓶免洗手消毒液的价格为x元，每瓶84消毒液的价格为y元，
依题意，得：
，
解得：
答：每瓶免洗手消毒液的价格为9元，每瓶84消毒液的价格为4元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
4．（上海·复旦二附中期末）《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知多少，若甲得到乙的钱数的
，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的
，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？
【答案】甲有37.5钱，乙有25钱
【解析】
【分析】
设甲有x钱，乙有y钱，根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】
解：设甲有x钱，乙有y钱，
依题意得：
，解得：
答：甲有37.5钱，乙有25钱．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5．（海南省直辖县级单位·八年级期中）2022北京冬奥会已圆满结束，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起广大网友的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求两种纪念品的单价．
【答案】冰墩墩的单价是55元，雪容融的单价是40元
【解析】
【分析】
设“冰墩墩”的单价是x元，“雪容融”的单价是y元，根据题意：购买2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元即可列出二元一次方程组，然后解方程组即可得到答案.
【详解】
解：设“冰墩墩”的单价是x元，“雪容融”的单价是y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：“冰墩墩”的单价是55元，“雪容融”的单价是40元．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是审清题意，找到等量关系列出二元一次方程组.
6．（重庆市巴川中学校七年级期中）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．
(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？
(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．
【答案】(1)甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩；
(2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．
【解析】
【分析】
（1）设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩，根据“一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型割草机与3台乙型割草机每小时共割草54亩”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出答案；
（2）设租用m台甲型割草机、n台乙型割草机，根据每小时共割草54亩，即可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数即可得出租方用案．
(1)
解：设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩．
根据题意得：
，
解得：
．
答：甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩．
(2)
设租用m台甲型割草机，n台乙型割草机．
根据题意得：6m+8n＝54，
化简得：3m+4n＝27，
∴m＝9
n．
∵m、n均为正整数（两种都要租，m、n均不能为0），
∴
或
．
答：可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据每小时共割草54亩结合m、n均为正整数，找出各租用方案．
7．（广西崇左·七年级期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
|
甲种货车（辆） |
乙种货车（辆） |
物资总量（吨） |
第一次 |
2 |
1 |
10 |
第二次 |
1 |
2 |
11 |
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【答案】(1)甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
【解析】
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；
(1)
设甲种货车每辆能装货
吨，乙种货车每辆能装货
吨，
依题意得：
，
解得：
，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
(2)
设租用甲种货车
辆，乙种货车
辆，
依题意得：
，
又
，
均为非负整数，
或
或
，
共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
【点睛】
本题考查二元一次方程（组
的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组或方程．
8．（山东菏泽·八年级期末）面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，筹款为贫因地区捐赠了一批消毒液．现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨．计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮我们设计租车方案；
(3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送2吨，3吨；
(2)共有3种租车方案：租8辆A型车，1辆B型车；租5辆A型车，3辆B型车；租2辆A型车，5辆B型车；
(3)方案租2辆A型车，5辆B型车最省钱，最少租车费为730元
【解析】
【分析】
（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送x吨，y吨，然后根据用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求，结合题意可知
，然后求出满足题意的a、b的值即可得到答案；
（3）分别算出三种方案的花费即可得到答案．
(1)
解：设1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送x吨，y吨，
由题意得
，
解得
，
∴1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送2吨，3吨；
(2)
解：由题意得
，
∴
，
∵a、b都是整数，
∴当
时，
，当
时，
，当
时，
，
∴一共有3种租车方案：租8辆A型车，1辆B型车；租5辆A型车，3辆B型车；租2辆A型车，5辆B型车；
(3)
解：方案租8辆A型车，1辆B型车的花费为
元，
方案租5辆A型车，3辆B型车的花费为
元，
方案租2辆A型车，5辆B型车的花费为
元，
∵
，
∴方案租2辆A型车，5辆B型车最省钱，最少租车费为730元．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出式子是解题的关键．
9．（浙江·台州市书生中学七年级期中）在我校艺术节的各项比赛中，七年级某班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，王老师特意到新华书店买书给学生作为奖励，书城二楼专设
折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表：
文教类图书 |
原价（元） |
中国历史故事 |
50 |
名人名言 |
20 |
幻夜 |
25 |
(1)若王老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共
本，共付了
元钱，请求出这两种书王老师各买了多少本？
(2)若王老师买了以上三种书
每种都有
本，共付了
元钱，求王老师的购买方案？
【答案】(1)购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本；
(2)《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本
【解析】
【分析】
（1）设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题中相等关系可得
，解方程组可得答案；
（2）设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题中相等关系可得：
，再利用方程组的解为正整数，从而可得答案．
(1)
解：设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题意得：
，解得：
，
答：购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本；
(2)
设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题意得：
，
消去z得：20x-4y=-40，
∴y=5x+10，
∵x、y都是正整数，
∴
∴《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
10．（浙江嘉兴·七年级期中）某市教育局捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 |
甲 |
乙 |
丙 |
汽车运载量（吨/辆） |
5 |
8 |
10 |
汽车运费（元/辆） |
300 |
400 |
500 |
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节省运费，该教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省运费是多少元？
【答案】(1)甲车8辆，乙车10辆；
(2)甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆；
(3)方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元.
【解析】
【分析】
（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费6400元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车有
辆，乙车有
辆，则丙车有
辆，列出等式，再根据车辆数均为正整数，求出
，
的值，从而得出答案；
（3）根据（2）中得出的两种方案得出运费比较厚即可解答．
(1)
解：设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得，
，
解得
，
答：甲车8辆，乙车10辆；
(2)
解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（16﹣a﹣b）辆，由题意得，
5a+8b+10（16﹣a﹣b）=120，
化简得5a+2b=40，
即a=8﹣
b，
∵a，b，14﹣a﹣b均为正整数，
∴当b=5，从而a=6，16﹣a﹣b=5，或当b=10，从而a=4，16﹣a﹣b=2，
∴甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆或甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆；
(3)
解：由（2）知分两种情况分别来求运费：
方案1：甲车6辆，乙车5辆，丙车5辆，需运费300×6+400×5+500×5=6300（元）；
方案2：甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆，需运费300×4+400×10+500×2=6200（元）；
，
∴方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，
答：方案2甲车4辆，乙车10辆，丙车2辆运费最省，需运费6200元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程.
11．（湖北十堰·七年级期中）为更好落实“双减”精神，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定本学期开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．
(1)七（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学，请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
(2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根(其中a＞15)，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则最多可以买多少根跳绳？
【答案】(1)100元、20元
(2)24根
【解析】
【分析】
(1 )设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
(2)由题意得80a + 15b= 1800(a>15),当全买足球时，可买足球的数量为22.5,对a、b的值进行讨论得两种方案即可．
(1)
解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：
，
解得：
，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
(2)
解：由题意得：80a+15b＝1800，
∴
（a＞15），
∵b＞0，
∴
，解得a＜22.5，
∴15＜a＜22.5，且a为整数，
当a＝18时，b＝24；
当a＝21时，b＝8；
a为其它整数时，b均不是整数，
∴只能购进足球18个，跳绳24根或购进足球21个，跳绳8根，
答：最多可买跳绳24根．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识;理解题意,列出方程组和方程是解题的关键．
【考点四用二元一次方程组和分式方程解决实际问题】
1．（江苏·二模）今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校九年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，问桃树的单价是多少？
【答案】35元
【解析】
【分析】
设桃树树苗的单价为x元，则梨树的单价为(x-5)元，以购买了相同数量的桃树、梨树为等量关系，列出方程求解，再检验即可．
【详解】
解：设桃树树苗的单价为x元，则梨树的单价为(x-5)元，
根据题意，得
解这个方程，得x=35
经检验，x=35是所列方程的根，且符合题意，
答：桃树树苗的单价为35元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意，找出先等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．
2．（辽宁·黑山县教师进修学校一模）2022年春季的疫情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生1800万个口罩支援疫区，为尽快把口罩发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少万个口罩？
【答案】原计划每天生产200万个口罩
【解析】
【分析】
设原计划每天生产x万个口罩，根据工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，利用时间做为等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：设原计划每天生产x万个口罩，
则依据题意，得：
，
解得：x=200，
把x代入原方程，成立，
∴x=200是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产200万个口罩．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键读懂题意，找出列方程利用的等量关系，注意解分式方程需要检验．
3．（福建莆田·一模）为了更好开展劳动教育，某校采购了一批木板供学生组装成课桌和椅子．该校共采购
类木板400块；
类木板500块．已知一张课桌需要2块
类木块和1块
木块，一把椅子需要1块
类木板和2块
类木板．
(1)这批木板可以组装成多少张课桌和多少把椅子？
(2)现安排正在上劳动实践课的九年（1）班的30名学生来组装课桌和椅子，已知一名学生组装一张课桌需要10分钟，组装一把椅子需要7分钟．应当如何分组，才能最快完成全部组装任务？
【答案】(1)100张课桌，200把椅子
(2)13名学生组装课桌，17名学生组装椅子，才能最快完成组装任务
【解析】
【分析】
（1）根据A，B类木板的总数相等列出方程组，求出解即可；
（2）列出关于时间的分式方程，再讨论比较即可．
(1)
设这批木板可以组装成x张课桌，y把椅子，根据题意，得
，
解得
，
所以这批木板可以组装成100张课桌，200把椅子；
(2)
设需要a名学生组装课桌，则有（30-a）名学生组装椅子，根据题意，
令
解得：
；
经检验，该值为原方程的解，
由于实际问题中a应为整数，
∴取a=12或a=13分别讨论；
当a=12时，组装课桌用时为
（分钟），组装椅子用时
（分钟），
所以完成任务时间为
分钟，
当a=13时，组装课桌用时
（分钟），组装椅子用时
（分钟）；
所以完成任务的时间为
分钟．
因为
，
所以应安排13名学生组装课桌，17名学生组装椅子才能最快完成全部组装任务．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并选取特殊值进行讨论．
4．（江苏宿迁·二模）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．
规格 |
A型 |
B型 |
C型 |
单价（元/条） |
4 |
6 |
9 |
(1)求三种型号跳绳的长度．
(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．
【答案】(1)A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米
(2)5
【解析】
【分析】
（1）设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，由题意：用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，由题意：购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，列出二元一次方程组，解方程组即可．
(1)
设A型跳绳的长度为x米，则B型跳绳的长度为2x米，C型跳绳的长度是3x米，
由题意得：
，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
则2x＝8，3x＝12，
答：A型跳绳的长度为4米，B型跳绳的长度为8米，C型跳绳的长度为12米．
(2)
设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，购买C型跳绳b条，
由题意可得：
，
解得：
，
答：购买A型跳绳5条．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
5．（湖南常德·一模）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一个甲种排球的价格与一个乙种排球的价格的和为
元，用
元购进甲种排球的个数与用
元购进乙种排球的个数相同．
(1)求每个甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
(2)该校计划用
元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的个数互换了，结果需
元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少个？
【答案】(1)每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元
(2)原计划购进甲种排球150个、乙种排球
个
【解析】
【分析】
（1）设每个甲种排球进价
元，则每个乙种排球进价为
元．根据题意列出分式方程并求解即可．
（2）设购进甲种排球
个，购进乙种排球
个．根据题意列出二元一次方程组并求解即可．
(1)
解：设每个甲种排球进价
元，则每个乙种排球进价为
元．
根据题意得
．
解得
．
经检验
是原方程的解．
所以
．
答：每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元．
(2)
解：设购进甲种排球
个，购进乙种排球
个
根据题意得
解得
答：原计划购进甲种排球150个、乙种排球
个．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
6．（山东青岛·一模）为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下列问题：
(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是多少？
(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
【答案】(1)A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)a的值为20．
【解析】
【分析】
（1）设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据等量关系，列关于a的方程求解即可．
(1)
解：解：设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元.
依题意得
解得
，
，
∴A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)
解：由题意得：
，
解得
，
经检验：
是所列方程的解，
∴a的值为20
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是找出等量关系，根据等量关系列方程（组）．
7．（上海·九年级专题练习）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：
|
第一次 |
第二次 |
甲种货车（辆） |
2 |
5 |
乙种货车（辆） |
3 |
6 |
累计运货（吨） |
13 |
28 |
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【解析】
【分析】
（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据前两次甲，乙两种货车运货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种货车每辆可装货物吨数．
（2）设甲种货车每辆需运费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，利用租车数量＝总运费÷每辆车的租金，结合租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解答：解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，
依题意得：
，
解得：
．
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．
（2）设甲种货车每辆需运费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，
依题意得：
，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，
∴1.4m＝1.4×100＝140．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【点睛】
本题主要是考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确地从题中找到等量关系，列出对应的方程，并正确求解方程，是解决本题的关键．
8．（江苏·八年级专题练习）某糕点加工点受资金和原料保质期等因素影响，在购买主要原料面包粉和蛋糕粉时需分次购买．下表是该店最近三次购进原料的数量与总金额，其中前两次是按原价购买，第三次享受了优惠．
|
第一次 |
第二次 |
第三次 |
面包粉（袋） |
2 |
3 |
5 |
蛋糕粉（袋） |
4 |
5 |
8 |
总金额（元） |
520 |
700 |
912 |
(1)第三次购买的总金额比按原价购买节省了多少钱？
(2)该店第四次购买原料时，按照第三次购买的经验，预算912元，仍需购买5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的过程中，发现优惠方式又发生了变化，相较于原价，每袋蛋糕粉降低的价格是每袋面包粉降低的价格的两倍，这时用576元能够买到面包粉的袋数是蛋糕粉袋数的
．预算够吗？
【答案】(1)节省228元
(2)预算不足
【解析】
【分析】
（1）根据第一次和第二次购买的数量和总金额列出方程，分别求出面包粉和蛋糕粉的单价，再计算出不打折的总价减去折后总价即为节省的钱；
（2）根据题意列出方程求出降价后面包粉和蛋糕粉的单价，再计算出买5袋面包粉和8袋蛋糕粉的总价，然后与预算进行比较．
(1)
解：设每袋面包粉x元，每袋蛋糕粉y元．依题意得
，
解得
（元）
答：节省228元．
(2)
解：设每袋面包粉降价m元，则每袋蛋糕粉降价2m元．
.
解得m=4．经检验，m=4符合题意．
故第四次购买时，面包粉每袋96元，蛋糕粉每袋72元．
∵
，
∴预算不足．
答：预算不够．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组与实际问题和分式方程与实际问题，熟练运用二元一次方程组解决实际问题和分式方程解决实际问题是解答本题的关键．
9．（浙江宁波·七年级期末）端午节前夕，肉粽的单价比蜜枣粽的单价多4元，用200元购买肉粽与用100元购买蜜枣粽的只数相同．
（1）肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？
（2）某商铺端午节前夕用800元购买了肉粽和蜜枣粽；端午节后由于肉粽单价打了6折，蜜枣粽的单价打了5折，该商铺又买了与节前同样数量的肉粽和蜜枣粽，只花了420元，求该商铺每次购买肉粽和蜜枣粽的只数．
10．（浙江湖州·七年级期末）为开展“光盘行动”，某学校食堂规定，每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得免费香蕉一只或免费橘子两只作为奖励．在两天时间里，学校食堂花费1800元采购了单价相同的香蕉若干千克，花费1500元采购了单价相同的橘子若干千克用于奖励，并刚好全部奖励完．已知这两天采购的香蕉比橘子多75千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低20%．
（1）求橘子的采购单价；
（2）若平均每千克香蕉有8只，每千克橘子有12只，第二天获得奖励的学生人数比第一天的3倍少100人，问这两天分别有多少学生获得奖励？
11．（浙江嘉兴·七年级期末）某车行经营A，B两种型号的电瓶车，已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和2500元．
（1）该车行去年A型车销售总额为8万元，今年A型车每辆售价比去年降低200元，若今年A型车的销售量与去年相同，则A型车销售额将比去年减少10%，求去年每辆A型车的售价．
（2）今年第三季度该车行计划用3万元再购进A，B两种型号的电瓶车若干辆，问：
①一共有几种进货方案；
②在（1）的条件下，已知每辆B型车的利润率为24%，①中哪种方案利润最大，最大利润是多少？（利润＝售价﹣成本，利润率＝利润÷成本×100%）．
12．（浙江金华·七年级期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．建A类，B类摊位每平方米的费用分别为40元，30元．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的
．
（1）求每个A，B类摊位的占地面积．
（2）已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完．
①请写出建A，B两类摊位个数的所有方案，并说明理由．
②请预算出该社区建成A，B两类摊位需要投入的最大费用．