专题01幂的运算、乘法公式、因式分解、分式运算、解二元一次方程组、解分式方程

【考点一幂的运算】

1．（江苏·洪泽新区中学七年级阶段练习）计算：

(1) ；(2) ；

(3) ；(4) ；

(5) ；(6) ；

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)1

(5)

(6)

【解析】

【分析】

（1）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可；

（2）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可；

（3）先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行有理数的混合运算即可；

（4）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法法则计算即可；

（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可；

（6）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法，再合并同类项即可．

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

；

(5)

；

(6)

．

【点睛】

本题考查幂的混合运算和有理数的混合运算．涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方．掌握各运算法则是解题关键．

2．（广东茂名·七年级期中）计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)-17

【解析】

【分析】

（1）原式先算积的乘方和幂的乘方，再算乘除即可得到答案；

（2）原式先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，然后再计算加减法即可．

(1)

=

=

= ；

(2)

＝－1＋1－9－8

＝－17．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，实数的运算是基础知识要熟练掌握．

3．（江苏·七年级专题练习）计算

(1) ．

(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后加减即可；

（2）用多项式的每一项分别除以单项式即可．

(1)

解：原式

(2)

解：原式

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，多项式除以单项式．解题的关键在于正确的计算求解．

4．（山东·东营市东营区实验中学阶段练习）计算：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）先计算幂的乘方，然后根据单项式的乘除运算法则求解即可；

（2）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方以及同底数幂的除法，最后计算加减；

（3）先计算负整数指数幂和零指数幂，有理数的乘方运算，最后计算加减．

(1)

(2)

(3)

【点睛】

此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂以及有理数的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．

5．（山东·鲁村中学九年级阶段练习）计算：

(1) ；

(2)利用乘法公式计算 ；

(3) ；

(4)已知 ，求 的值．

【答案】(1) ；

(2)1；

(3) ；

(4)27．

【解析】

(1)

解： ；

(2)

解： ；

(3)

解： ，

；

(4)

解：∵ ，

∴ ，解得： ，

∴ ．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，做题的关键是要理解记忆公式并能够熟练运用．

6．（广东·深圳市龙华区潜龙学校七年级阶段练习）已知： ．

(1)求 的值．

(2)求 的值．

(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系．

【答案】(1)9

(2)27

(3)c=2a+b

【解析】

【分析】

（1）根据幂的乘方法则解答即可；

（2）根据同底数幂的乘、除法则进行解答即可；

（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．

(1)

解：∵ =3，

∴ ；

(2)

解：∵ =3， =8， =72

∴ ；

(3)

解：∵ ，

∴ ，

即c=2a+b．

【点睛】

本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

7．（贵州·毕节市七星关区长春堡中学七年级阶段练习）按要求解答下列各小题

(1)已知 ， ，求 的值；

(2)如果 ，求 的值；

(3)已知 ，求m的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）利用同底数幂除法的逆运算，即可求解；

（2）利用幂的乘方和同底数相乘法则计算，即可求解；

（3）利用同底数幂除法法则计算，即可求解．

(1)

解：∵ ， ，

∴ ；

(2)

解：∵ ，

∴

；

(3)

解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂除法和其逆运算，幂的乘方和同底数相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

8．（四川省渠县中学七年级期中）（1）已知4^m＝a，8ⁿ＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：

①求：2^2m＋3n的值．

②求：2^2m－6n的值．

（2）已知2×8^x×16＝2²³，求x的值．

【答案】（1）① ；② ；（2）x=6．

【解析】

【分析】

（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；

（2）由题意将8x化为2³x，将16化为2⁴，列出方程求出x的值．

【详解】

解：（1）∵4m=a，8n=b，

∴ ， ，

① ；

② ；

（2）∵2×8^x×16=2²³，

∴2×（2³）^x×2⁴=2²³，

∴2×2^3x×2⁴=2²³，即2³x⁺⁵=2²³

∴3x+5=23，

解得：x=6．

【点睛】

本题考查同底数幂的除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算和积的乘方的逆运算，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．

【考点二乘法公式】

1．（河南南阳·八年级期末）化简求值： ，其中 ， ．

【答案】 ；-14

【解析】

【分析】

根据多项式除以单项式运算法则化简原式，代值求解即可；

【详解】

解：原式=

当 ，

原式=

【点睛】

本题主要考查整式的化简及求值，掌握相关的运算法则是解题的关键．

2．（广东梅州·七年级期末）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 x﹣2y，0

【解析】

【分析】

根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．

【详解】

解：

＝（x²﹣4xy+4y²﹣2x²+2y²﹣6y²）÷（2x）

＝（﹣x²﹣4xy）÷（2x）

＝ x﹣2y，

当x＝2，y＝ 时，

原式＝ ×2﹣2×（ ）

＝﹣1+1

＝0．

【点睛】

此题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

3．（福建三明·七年级期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】 ，-1

【解析】

【分析】

先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．

【详解】

解：

＝

＝

＝ ，

当 ， 时，原式＝2×（- ）＋（- ）＝-1．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

4．（福建·永安市第六中学七年级期中）先化简，再求值：[（3x＋2y）（3x－2y）＋（x－2y）²]÷2x其中x＝2，y＝－1．

【答案】5x－2y，12

【解析】

【分析】

先根据平方差公式与完全平方公式化简括号内的，再根据多项式除以单项式求解即可．

【详解】

解：原式＝（9x²－4y²＋x²－4xy＋4y²）÷2x     

＝（10x²－4xy）÷2x

＝5x－2y   

其中x＝2，y＝－1．原式＝5×2－2×（－1）＝12．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算与化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．

5．（江苏·苏州中学七年级期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．

【答案】 ，

【解析】

【分析】

根据平方差公式与多项式除以单项式进行计算，然后将字母的值代入求解即可．

【详解】

解：

当 ， 时，

原式

【点睛】

本题考查了整式的混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．

6．（四川省渠县中学七年级期中）先化简，再求值：[（x＋y）²－（x－y）²－（2y－x）（x＋2y）＋2x]÷（2y），其中x，y满足（x－2）²＋|y＋1|＝0

【答案】 ，

【解析】

【分析】

先用平方差、完全平方公式及单项式乘多项式法则算括号内的，再算除法，化简后根据已知求出 、 的值，代入即可得答案．

【详解】

解：原式

，

，

， ，

， ，

原式 ．

【点睛】

本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握平方差、完全平方公式及单项式乘多项式法则，把所求式子化简．

7．（辽宁盘锦·八年级期末）计算：

(1)（12a⁴+4a³-2a²b）÷2a²

(2)先化简，再求值：（x+3）（x-1）+（x+2）（x-2）-2（x-1）²，其中x=

【答案】(1)

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）按照多项式除以单项式法则计算即可；

（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

(1)

原式=

(2)

原式=

当x= 时，原式=

【点睛】

本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

8．（山东·招远市教学研究室期中）（1）先化简，再求值：（2x+y）²﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y），其中x＝﹣3，y＝ ．

（2）说明代数式[（x﹣y）²﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．

【答案】（1） ， ；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）先按照完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则进行乘法运算，得到化简的结果，再把x＝﹣3，y＝ 代入化简后的代数式求值即可；

（2）先计算括号内整式的乘法与合并同类项，再计算整式的除法运算，根据结果可得到答案.

【详解】

解：（1）（2x+y）²﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y）

＝4x²+4xy+y²﹣（x²﹣4y²）﹣（3x²﹣15xy﹣xy+5y²）

＝4x²+4xy+y²﹣x²+4y²﹣3x²+15xy+xy﹣5y²

＝20xy．

当x＝﹣3，y＝ 时，

原式＝20×（﹣3）× ＝﹣12；

（2）[（x﹣y）²﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y

＝[x²﹣2xy+y²﹣（x²﹣y²）]÷（﹣2y）+y

＝（x²﹣2xy+y²﹣x²+y²）÷（﹣2y）+y

＝（﹣2xy+2y²）÷（﹣2y）+y

＝x﹣y+y

＝x．

因此：代数式[（x﹣y）²﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．

【点睛】

本题考查的是整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的应用，化简求值，代数式的值与某字母的值无关的问题，掌握“整式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.

【考点三因式分解】

1．（湖北随州·八年级期末）分解因式：

(1) ；

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)利用提取公因式法，即可分解因式；

(2)首先进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式，即可分解因式．

(1)

解：

(2)

解：

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差和完全平方公式是解题关键．

2．（江苏·苏州中学七年级期中）因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据提公因式法因式分解，提取 ，即可求解；

（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．

(1)

解：原式＝

(2)

解：原式＝

【点睛】

本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

3．（广东茂名·八年级期中）因式分解

(1)2a³b³+3a²b²-ab；

(2)5x²(y+4)-15x(y+4)，

【答案】(1)ab(2a²b²+3ab-1)

(2)5x(y+4）(x-3)

【解析】

【分析】

（1）提取公因式ab，即可分解因式；

（2）提取公因式5x(y+4），即可分解因式．

(1)

解∶2a³b³+3a²b²-ab=ab(2a²b²+3ab-1)

(2)

解：原式=5x(y+4）(x-3)

【点睛】

此题考查了分解因式，解题的关键是掌握提取公因式法分解因式．

4．（河南南阳·八年级期末）分解因式

(1)

(2)

(3) ．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据提公因式法求解即可；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式求解即可；

（3）利用完全平方公式进行求解即可．

(1)

解： ；

(2)

解：

；

(3)

解： ；

【点睛】

此题考查了因式分解，涉及了提公因式法和公式法，解题的关键是掌握因式分解的方法．

5．（山东泰安·八年级期末）因式分解

(1) (2)

(3) (4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】

【分析】

（1）先提出公因式，再利用十字相乘法分解，即可求解；

（2）先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解；

（3）提出公因式，即可求解；

（4）提出公因式，即可求解．

(1)

解：

；

(2)

解：

；

(3)

解：

；

(4)

解：

．

【点睛】

本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法——提公因式法、公式法，分组分解法，十字相乘法是解题的关键．

6．（河北唐山·八年级期末）观察下列因式分解的过程：

（先加入 ，再减去 ）

（运用完全平方公式）

（运用平方差公示）

．

像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．

请你用配方法分解因式： ．

【答案】

【解析】

【分析】

原式利用阅读材料中的方法分解即可．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，掌握和灵活运用配方法是解决本题的关键．

7．（安徽阜阳·八年级期末）观察猜想：

如图，大长方形是由四个小长方形拼成的

(1)请根据此图填空：

（___________）（___________）.

说理验证：

事实上，我们也可以用如下方法进行变形：

___________=（___________）（___________）

于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.

尝试运用：

例题：把 分解因式.

解： .

(2)请利用上述方法将下面多项式因式分解： ；

【答案】(1) ， ； ， ，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据三个小长方形的面积与一个正方形的面积之和等于大长方形的面积列出等式即可；也可先根据分组分解法进行因式分解，两者得出的结果一致．

（2）根据题干的结论： = ，将一个二次三项式分解因式，从而求出结果．

(1)

解：

= ；

=

=

=

= ；

故答案为：x+p，x+q；（x+p）x+（x+p）q，x+p，x+q

(2)

解：

．

【点睛】

本题考查了利用几何图形的面积方法和分组分解法进行二次三项式的因式分解，掌握利用几何图形的面积的不同求法进行因式分解是解题的关键．

8．（江苏盐城·七年级期中）阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，

∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）＝0

（m﹣n）²+（n﹣4）²＝0，

∴（m﹣n）²＝0且（n﹣4）²＝0，

∴   m＝n＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)a²﹣2a+1+b²＝0，则a＝______，b＝______；

(2)已知x²+2y²﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；

(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a²+b²﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．

【答案】(1)1，0

(2)xy＝

(3)△ABC的周长为11

【解析】

【分析】

（1）利用因式分解将已知等式进行变形，得到： ，结合非负数的性质求得 、 的值；

（2）将 变形为 ，再根据非负数的性质求出 ， ，代入 ，计算即可；

（3）利用因式分解把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．

(1)

解： ，

， ，

， ，

， ，

故答案为：1，0；

(2)

解： ，

，

， ，

， ，

；

(3)

解：∵2a²+b²﹣4a﹣10b+27＝0，

∴2a²﹣4a+2+b²﹣10b+25＝0，

∴2（a﹣1）²+（b﹣5）²＝0，

则a﹣1＝0，b﹣5＝0，

解得，a＝1，b＝5，       

∵5-1＜c＜5+1，即4＜c＜6，且c是正整数

∴c=5

即三角形三边分别为1、5、5，

∴△ABC的周长为1+5+5＝11．

【点睛】

本题考查的是因式分解的应用和三角形三边关系，非负性、灵活运用完全平方公式、解题的关键是因式分解为两个非负数的和．

【考点四分式运算】

1．（江苏·南京市第三十九中学八年级期中）计算

(1) ．

(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据同分母分式减法进行计算即可；

（2）根据分式的混合运算，先去括号，把除法变为乘法把分式化简．

(1)

解：原式＝

(2)

解：原式＝

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2．（陕西宝鸡·二模）化简： ．

【答案】

【解析】

【分析】

将    分子、分母利用完全平方公式、平方差公式进行化简得到 ，把分子分母进行约分，计算括号里的 利用分式的性质通分再进行减法计算，最后进行除法运算．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查分式的化简，计算过程中注意运算优先级，并且灵活运用平方差公式、完全平方公式进行化简．

3．（湖北十堰·一模）化简：

【答案】

【解析】

【分析】

先进行通分，把能分解的进行分解，除法转化成乘法，再进行约分即可．

【详解】

解：原式

【点睛】

本题考查分式的化简，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．

4．（贵州遵义·八年级期末）化简求值： ，其中 ．

【答案】 ；

【解析】

【分析】

先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可．

【详解】

解：原式

把m=3，n=−1代入得：

原式

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则，是解题的关键．

5．（新疆·乌市一中二模）先化简，再求值 ，其中 ．

【答案】 ，2．

【解析】

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．

【详解】

解：

=

当a=2时，原式= ．

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

6．（山东·巨野县教学研究中心九年级期中）先化简 ，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

【答案】 ，

【解析】

【分析】

先将括号里的异分母分式相加减通分为同分母分式相加减，再算分式的乘除，再通分计算异分母分式加减即可；根据分式有意义的条件，选取适当的整数代入计算即可．

【详解】

原式 ，

，

，

，

，

，

，

且 ，

且 ，

当 时，原式 ．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握知识点及运算顺序是解题的关键．

7．（新疆农业大学附属中学一模）先化简，再求值： ，并从 ， ，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】 ，当a=2时原式=1

【解析】

【分析】

先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法化为乘法，再计算乘法，计算加减法，最后将符合的a值代入计算即可．

【详解】

解：原式=

=

=

=a-1，

∵ -2，-1，

∴当a=2时，原式=2-1=1．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

8．（山东淄博·一模）先化简 ，然后再从 ， ，0，2，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．

【答案】 ， 或

【解析】

【分析】

先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．

【详解】

解：

=

∵分式的分母不等于0

∴x≠-3，x≠-2，x≠2

∴x=0或x＝3

当 时，将 代入得，原式

（或当 时，将 代入得，原式 ）

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则，分式有意义的条件．

9．（江苏盐城·一模）先化简，再求值： ，再在 范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值．

【答案】 ， ．

【解析】

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．

【详解】

解：

= ，

根据分式有意义条件知：x≠3，-3，2，

-4≤x≤4的整数解为 ， 3， 2， 1，0，

∴x可以取1．

当x=1时，原式= ．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．

10．（河南·方城县基础教育教学研究室一模）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ，

【解析】

【分析】

根据分式的运算顺序进行：先算括号再算除法，最后约分即可化简；再求出x的值，并把x的值代入化简后的式子中即可求得值．

【详解】

解：

∵

∴原式=

【点睛】

本题是分式的化简求值，考查了分式的混合运算，算术平方根的计算、零指数幂、负整数指数幂的意义，求代数式的值等知识，分式的化简及求得x的值是关键，分式运算注意运算顺序不能出错．

【考点五解二元一次方程组】

1．（山东聊城·七年级期中）解下列二元一次方程组：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）直接利用代入消元法解方程组即可；

（2）先将原方程组进行整理，再利用加减消元法解方程组即可．

(1)

把①代入②，得

解得

把 代入①，得

所以，原方程组的解为

(2)

原方程组整理得

②-①，得

把 代入②，得

解得

所以，原方程组的解为

【点睛】

本题考查了代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键．

2．（重庆市巴川中学校七年级期中）解方程组：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）①+②得出4x=8，求出x，把x=2代入①求出y即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

(1)

解：①+②得：4x=8，

解得：x=2，

把x=2代入①得：2+2y=9，

解得：y=3.5，

所以原方程组的解为： ；

(2)

方程组整理得： ，

①+②×2得：11x=22，即x=2，

把x=2代入①得：y=3，

则方程组的解为 ．

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

3．（内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室七年级期中）解二元一次方程组

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据代入消元法进行求解二元一次方程组即可；

（2）利用加减消元法进行求解二元一次方程组即可．

(1)

解： ，

把②代入①得： ，

解得： ；

把 代入②得： ，

∴原方程组的解为 ；

(2)

解： ,

②×2+①得： ，

解得： ，

把 代入②得： ，

解得： ，

∴原方程组的解为 ．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

4．（四川成都·八年级期末）解方程组：

(1) ；(2) ．

【答案】(1) ；

(2) ．

【解析】

【分析】

（1）方程组利用加减消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

(1)

解： ，

①+②得：2x=2，

解得：x=1，

把x=1代入①得：1+y=4，

解得：y=3，

则方程组的解为 ；

(2)

解：方程组整理得： ，

①-②得：4y=28，

解得：y=7，

把y=7代入①得：3x-7=8，

解得：x=5，

则方程组的解为 ．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

5．（北京市十一学校龙樾实验中学七年级期中）解方程组或不等式组：

(1) (2)

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

对于（1），先整理，再根据加减消元法求出解；

对于（2），先去分母，形成关于(x+y)，(x-y)的方程组，再根据加减法求解即可．

(1)

整理，得 ，

②-①，得5y=10，

解得y=2．

将y=2代入①，得x=6．

所以原方程组的解是 ；

(2)

整理，得

①+②，得10（x+y）=60，

即x+y=6，

可得x-y=20．

所以 ，

③+④，得x=13．

将x=13代入③，得y=-7．

所以原方程组的解是 ．

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．

6．（河南南阳·七年级期中）解方程组：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

1（1）把第二个方程变形，利用代入消元法即可求得 的值，然后代入变形得到的方程即可求出 的值，即可得到方程组的解；

（2）把原方程组化简整理，然后变形，利用代入消元法分别求得 、 的值，即可得到方程组的解．

(1)

解：

由②得： ③，

把 代入①得： ，

解得： ，

把 代入③得： ，

∴原方程组的解为 ．

(2)

解：原方程组整理得：

由①得： ③，

把 代入②得： ，

解得： ，

把 代入③得： ，

∴原方程组的解为 ．

【点睛】

本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点选用合适的方法是解题的关键．

7．（·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期中）已知方程组 的解和方程组 的解相同，求 的值．

【答案】1

【解析】

【分析】

联立两方程组中不含 与 的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到 与 的值，代入剩下的方程求出 与 的值，即可求出原式的值．

【详解】

解：联立得： ，

① ②得： ，即 ，

把 代入①得： ，

∴ ，

解得： ， ，

则原式 ．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

8．（重庆云阳·七年级期中）解方程组

解：设 ，

原方程组可以化为

解得

即： 此种解方程组的方法叫换元法．

(1)运用上述方法解下列方程组 ；

(2)已知关于x，y的方程组 的解为 ，求关于m、n的方程组 的解．

【答案】(1) ；

(2) ．

【解析】

【分析】

（1）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答；

（2）仿照前两个题的思路，利用换元法进行计算即可解答．

(1)

解：设  ， ，

∴原方程组可变为： ，

解这个方程组得 ，

即 ，

所以 ；

(2)

解：由题意得， ，

解得： ．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．

【考点六解分式方程】

1．（陕西榆林·二模）解方程： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先去分母化成整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．

【详解】

解：去分母，得 ，

去括号，得 ，

移项、合并同类项，得 ，

系数化为1，得 ．

检验：当 时， ，

∴原方程的解为 ．

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键，注意解分式方程时，最后要进行检验．

2．（辽宁盘锦·八年级期末）解方程：

【答案】分式方程无解

【解析】

【分析】

先对分式分子分母进行因式分解，然后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：

整理得 ，

等式两边同乘以最简公分母 得 ，

去括号得 ，

移项得 ，

合并同类项得 ，

系数化1得 ，

验根：当 时，最简公分母 ，

∴ 是增根，

原分式方程无解．

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

3．（广西·贺州市八步区教学研究室一模）解分式方程： ．

【答案】

【解析】

【分析】

去分母，去括号，移项，合并同类项，将x的系数化为1，然后检验即可．

【详解】

解：方程两边同乘 得，

，

，

检验： 是原方程的根，

即：原分式方程的解是 ．

【点睛】

本题考查了解分式方程，注意分式方程需要对所求的解进行检验．

4．（河南洛阳·八年级期中）解分式方程：

(1) ．

(2) ．

【答案】(1)x=-1

(2)

【解析】

【分析】

（1）两边应同时乘以最简公分母（x﹣2），可2x＝x﹣2+1，解得x＝﹣1，再进行检验即可；

（2）两边应同时乘以最简公分母3（x﹣1），可得 ，解出并检验即可．

(1)

方程两边同乘以（x-2），去分母得，

2x＝x﹣2+1

解得x＝﹣1，

经检验，x=-1是原方程的解，

所以，原方程的解为：x=-1；

(2)

方程两边同乘以3（x-1），去分母得，

解得，

经检验， 是原方程的解，

所以，原方程的解为：

【点睛】

本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程．

5．（福建·福州立志中学八年级期末）解方程：

(1) ；

(2) ．

【答案】(1)

(2)无解

【解析】

【分析】

（1）方程两边同时乘以 ，化为整式方程求解即可，最后检验；

（2）方程两边同时乘以 ，化为整式方程求解即可，最后检验；

(1)

，

，

解得 ，

经检验 是原方程的根；

(2)

解得

经检验 是原方程的增根；

【点睛】

本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．

6．（河南周口·八年级期末）解方程：

(1)

(2)

【答案】(1)x=1；

(2)x=- ．

【解析】

【分析】

（1）方程两边都乘（x-3）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；

（2）方程两边都乘（x²-1）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．

(1)

解：方程两边都乘（x-3），得1+2（x-3）=x-4，

解得：x=1，

检验：当x=1时，x-3≠0，

所以x=1是原分式方程的解，

即原分式方程的解是x=1；

(2)

解：方程两边都乘（x²-1），得（x-1）² -3= x²-1，

解得：x=- ，

检验：当x=- 时，x²-1≠0，

所以x=- 是原分式方程的解，

即原分式方程的解是x=- ．

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．

7．（湖南邵阳·八年级期末）解下列分式方程：

(1) ；

(2)

【答案】(1)x＝0

(2)无解

【解析】

【分析】

（1）方程两边同时乘（x﹣1）化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；

（2）方程两边同时乘（x＋2）（x﹣2）化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；

(1)

解：∵ ＋ ＝1，

∴ ﹣ ＝1，

方程两边同时乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，

解得：x＝0，

经检验：x＝0是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为：x＝0．

(2)

解：∵ ﹣1＝ ，

∴ ﹣1＝ ，

方程两边同时乘（x＋2）（x﹣2），

可得：x（x＋2）﹣（x＋2）（x﹣2）＝8，

整理得：2x﹣4＝0，

解得x＝2，

检验：当x＝2时，（x＋2）（x﹣2）＝0，

∴原分式方程无解．

【点睛】

本题考查了解分式方程，解题的关键是把方程两边同时乘以方程分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程并检验，即可确定分式方程的根．

8．（山东东营·八年级期末）（1）解方程

（2）先化简，再求值： ，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．

【答案】（1） ；（2） ，当 时，原式 ．

【解析】

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）原式括号中的项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，选取合适的x的值代入计算即可求出值．

【详解】

（1）解：

分式方程两边同时乘 ，得 ，

解得 ．

把 代入 ，所以 是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为 ．

（2）解：

．       

由题知， 且 ，且

∴ 或 ，       

可取 ．

当 时，原式 ．

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键约分，约分的关键是找公因式．解分式方程不要忘记验根．