专题01 平行线的判定和性质

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（沙坪坝区期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（　　）

A．23° B．67° C．77° D．113°

解：∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠1＝113°，

∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，

故选：B．

2．（2分）（九龙坡区校级月考）将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°

解：如图，

∵∠3＝∠1，

∴∠2＝∠A+∠3＝140°．

故选：D．

3．（2分）（青云谱区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°

解：∵长方形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，

∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，

由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，

∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，

∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，

在△EFM中，

∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，

故选：B．

4．（2分）（殷都区校级月考）如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（　　）

A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°

解：如图，延长AE交直线CD于F，

∵AB∥CD，

∴∠α+∠AFD＝180°，

∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，

∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，

故选：C．

5．（2分）（绿园区校级模拟）如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M．N；③连MN，OM．则下列结论错误的是（　　）

A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝30°

C．MN∥CD D．MN＜3CD

解：连接ON，MD，

由作法得CM＝CD＝DN，

∴∠COM＝∠COD，所以A选项正确；

∵OM＝ON，

∴当OM＝MN时，△OMN为等边三角形，

∴∠MON＝60°，

∵∠AOB＝∠MOA＝∠NOB＝ ×60°＝20°，所以B选项错误；

∵ ，

∴∠MDC＝∠DMN，

∴MN∥CD，所以C选项正确；

∵CM+CD+DN＞MN，

∴3CD＞MN，所以D选项正确．

故选：B．

6．（2分）（淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，

∴∠EFC+∠EFC'＝200°，

∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，

故选：A．

7．（2分）（奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，

∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，

∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，

而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，

∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，

∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，

在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°

故β﹣α＝40°，

而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，

故选：B．

8．（2分）（博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（　　）

A．104° B．128° C．138° D．156°

解：如图：

∵AB∥CD，∠1＝24°，

∴∠A＝∠1＝24°，

∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，

∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，

∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．

故选：B．

9．（2分）（南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3

C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1

解：∵AB∥CD∥EF，

∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，

又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，

∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．

故选：D．

10．（2分）（青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）

①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；

②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；

③如图（2）中，若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；

④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝ ∠CDF，则∠M＝（ ）°．

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

解：∵AB∥CD，

∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，

∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，

∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，

∴∠ABE+∠CDE＝280°，

∵AB∥CD，

∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，

∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝ （∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，

与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝ （∠ABF+∠CDF），

∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，

∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，

由题意，④不一定正确，

∴①②③正确，

故选：C．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（朝阳区校级期末）如图，已知AC∥BD，∠CAE＝30°，∠DBE＝35°，则∠AEB等于　65°　．

解：过点E作EF∥AC，

∵AC∥BD，

∴AC∥EF∥BD，

∴∠AEF＝∠CAE＝30°，∠BEF＝∠DBE＝35°，

∴∠AEB＝∠AEF+∠BEF＝65°．

故答案为：65°．

12．（2分）（宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　54　度．

解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，

设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，

由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，

即10x＝180°，

解得x＝18°，

∵AD∥BC，

∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，

故答案为：54．

13．（2分）（沙坪坝区校级期末）如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝ ∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为　45°　．

解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：

设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，

∴∠AGM＝180°﹣2α，

∵GH平分∠AGM，

∴∠MGH＝ ∠AGM＝90°﹣α，

∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，

∵AB∥CD，

∴MF∥AB∥CD，

∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，

∵∠M＝ ∠N+∠HGN，

∴2α+β＝ ×2α+∠HGN，

∴∠HGN＝β﹣α，

∵HE∥CN，

∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，

∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，

∵AB∥CD，

∴∠BGH+∠GHD＝180°，

∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，

∴α+β＝45°，

∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，

故答案为：45°．

14．（2分）（苏州模拟）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝50°，则∠FGE＝　80　°．

解：由折叠得∠GEF＝∠DEF，

∵AD∥BC

∴∠DEF＝∠1

∴∠GEF＝∠1

∵∠FGE+2∠1＝180°，

∴∠FGE＝180°﹣2×50°＝80°，

故答案为：80．

15．（2分）（大荔县校级月考）如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB、BC上，连接DE，且DE∥AC，∠1＝∠2，若∠B＝50°，则∠BAF的度数为　130°　．

解：∵DE∥AC，

∴∠2＝∠C，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠C，

∴AF∥BC，

∴∠B+∠BAF＝180°，

∵∠B＝50°，

∴∠BAF＝180°﹣50°＝130°．

故答案为：130°．

16．（2分）（新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度．

解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，

∴∠A′EF＝∠AEF．

∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．

∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．

由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，

∴∠A′ED＝∠A″ED．

∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，

∴∠A′ED＝105°+∠DEF．

∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．

∴∠DEF＝25°．

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB＝25°．

∴∠CFE＝180°﹣∠EFB

＝180°﹣25°

＝155°．

故答案为：155．

17．（2分）（思明区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°．

解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，

∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，

∴∠BFE＝65°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF+∠BFE＝180°，

∴∠AEF＝115°，

∴∠A'EF＝115°，

过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，

∵AD∥BC，

∴∠MB'F＝∠1，

∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，

∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，

∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，

∵∠A'＝90°，

∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，

∴∠A'EH＝2×50°＝100°，

∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．

故答案为：15．

18．（2分）（南岗区校级期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　30°　．

解：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，

∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠EFD，

∴∠PEF+∠PFE＝ （∠BEF+∠EFD）＝90°，

∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°，

∵GH⊥EG，

∴∠EGH＝∠EPF＝90°，

∴FP∥HG，

∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG，

设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°，

∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°，

∵PQ平分∠EPK，

∴∠QPK＝ ∠EPK＝ （90°+2x°）＝45°+x°，

∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°，

∵∠HPQ：∠QFP＝3：2，

∴∠QFP＝30°，

∴∠EHG＝∠QFP＝30°；

故答案为：30°．

19．（2分）（香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝　88°　．

解：∵AB∥CD，

∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，

∵∠BAE：∠CAE＝2：3，

∴∠CAE＝120× ＝72°，

∵∠AEC＝78°，

∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE

＝180°﹣78°﹣72°

＝30°，

设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，

∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，

∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，

∴60°﹣3x＝30°，

∴x＝10°，

∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，

∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE

＝180°﹣20°﹣72°

＝88°，

故答案是：88°．

20．（2分）（东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有　3　个．

解：∵AC′∥BD′，

∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；

∵∠C′EF＝∠FEC，

∴∠C′EC＝2×32°＝64°，

∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②错误；

∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；

∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．

故答案为3．

三．解答题（共7小题，满分60分）

21．（6分）（长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．

（1）求∠BOF的度数；

（2）试说明AB∥CD的理由．

解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，

∴ ， ，

∵∠COE+∠DOE＝180°，

∴∠2+∠AOC＝90°，

∵∠COE＝∠3，

∴ ，

∴ ，

∵∠2：∠3＝2：5，

∴ ，

∴ ，

∴∠2＝40°，

∴∠3＝100°，

∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；

（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，

∴∠1＝∠AOC，

∴AB∥CD．

22．（6分）（市北区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．

（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．

（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．

解：（1）AB∥CE，

∵∠1+∠2＝180°（已知），

∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），

∵∠B＝∠E（已知），

∴∠ADF＝∠E（等量代换），

∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．

（2）∵AB∥CE，

∴∠B+∠BCE＝180°，

∵∠B＝50°，

∴∠BCE＝130°，

∵CA平分∠BCE，

∴∠ACE＝ ＝65°，

∵AB∥CE，

∴∠A＝∠ACE＝65°．

23．（6分）（荆门期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，G是BA延长线上一点，AH平分∠GAC．且AH∥BC，E是AC上一点，连接BE并延长交AH于点F．

（1）求证：AB＝AC；

（2）猜想并证明，当E在AC何处时，AF＝2BD．

（1）证明：∵AH平分∠GAC，

∴∠GAF＝∠FAC，

∵AH∥BC，

∴∠GAF＝∠ABC，∠FAC＝∠C，

∴∠ABC＝∠C，

∴AB＝AC．

（2）解：当AE＝EC时，AF＝2BD．

理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC，

∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠C，

∵∠AEF＝∠CEB，AE＝EC，

∴△AEF≌△CEB（ASA），

∴AF＝BC＝2BD．

24．（10分）（南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．

（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：　∠A+∠C＝88°　．

（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为　46°　．

解：（1））过点B作BE∥AM，如图，

∵BE∥AM，

∴∠A＝∠ABE．

∵BE∥AM，AM∥CN，

∴BE∥CN．

∴∠C＝∠CBE．

∵∠ABC＝88°．

∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．

故答案为：∠A+∠C＝88°；

（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：

过点B作BE∥AM，如图，

∵BE∥AM，

∴∠A＝∠ABE．

∵BE∥AM，AM∥CN，

∴BE∥CN．

∴∠C+∠CBE＝180°．

∴∠CBE＝180°﹣∠C．

∵∠ABC＝88°．

∴∠ABE+∠CBE＝88°．

∴∠A+180°﹣∠C＝88°．

∴∠C﹣∠A＝92°．

（3）设CH与AB交于点F，如图，

∵AE平分∠MAB，

∴∠GAF＝ ∠MAB．

∵CH平分∠NCB，

∴∠BCF＝ ∠BCN．

∵∠B＝88°，

∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．

∵∠AFG＝∠BFC，

∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．

∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，

∴∠AGH＝ （∠BCN﹣∠MAB）．

由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，

∴∠AGH＝ ×92°＝46°．

故答案为：46°．

25．（10分）（铜梁区校级月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．

（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；

（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．

①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．

②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）

解：（1）∵ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；

故答案为：∠EAB；∠DAC；

（2）过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D+∠FCD＝180°，

∵CF∥AB，

∴∠B+∠FCB＝180°，

∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；

（3）①过E作EG∥AB，

∵AB∥DC，

∴EG∥CD，

∴∠GED＝∠EDC，

∵DE平分∠ADC，

∴ ，

∴∠GED＝25°，

∵BE平分∠ABC，

∴ ，

∵GE∥AB，

∴∠BEG＝∠ABE＝18°，

∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；

②过E作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠PED＝∠EDC＝25°，

∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，

∴ ，

∵AB∥PE，

∴∠ABE+∠PEB＝180°，

∴ ，

∴ ．

26．（10分）（铁东区校级月考）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．

（1）求∠F的度数．

（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　115°　．

（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，

解：（1）∵AF∥DE，

∴∠F+∠E＝180°，

∴∠F＝180°﹣105°＝75°；

（2）延长DC交AF于K，

可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+9°＝114°，

故答案为：114°；

（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，

∵AF∥DE，

∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，

∴∠GAD＝∠CGF，

∴BC∥AD．

27．（12分）（江汉区校级月考）如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．

（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）

（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，

∠2+∠DFE＝180°，

∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，

∵GH∥AB，即∠EGH＝90°，

∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，

∵∠2＝120°，

∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，

∵FH平分∠EFD，

∴∠HFD＝30°，

∵PH∥CD，

∴∠PHF＝∠HFD＝30°，

∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；

（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，

∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，

∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF

＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN

＝∠MPH+∠PMN

＝∠EMP+∠PMN

＝∠EMN

＝120°；

如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，

∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，

∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF

＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ

＝∠MPH+∠PMN

＝∠EMP+∠PMN

＝∠EMN

＝120°；

如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，

∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，

∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF

＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN

＝∠MPH+∠PMN+180°

＝∠EMP+∠PMN+180°

＝∠EMN+180°

＝300°；

如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，

∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，

∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF

＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ

＝∠MPH﹣∠PMN

＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN

＝180°﹣∠EMN

＝60°；

综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝60°